Université Joseph Fourier. Master 1 Physique TD de mécanique quantique
TD no1
Une particule à une dimension
1 Particule libre (ex. de cours)
Références : [1] chap.1, complément HI.
On considère une particule de massem, se déplaçant librement à une dimensionxet qui rebondit parfaitement sur deux murs situés enx= 0etx=L. Le potentiel est doncV (x) = 0 pour 0< x < L, et V (x) = +∞ ailleurs imposant ψ(0) = ψ(L) = 0. Trouver les fonctions d'ondes stationnairesψn et les niveaux d'énergieEn.
2 La paquet d'onde Gaussien (ex. de cours)
Références : [1] chap.1, complément GI.
Supposons qu'une particule se déplaçant selon l'axe x soit décrite à la date t = 0 par la fonction d'onde
ψ(x) =Cexp ip0x
~
exp −(x−x0)2 2σ2
!
(1) appelé paquet d'onde Gaussien, avecx0, p0 ∈R ,σ >0 et C >0. En notation de Dirac, on écritψ(x) =hx|ψioù |ψi ∈L2(R) est l'état quantique.
1. TrouverC de façon à ce que|ψi soit normalisé, c'est à dire :kψk2 =hψ|ψi= 1. Tracer et donner l'interprétation physique de P(x) =|ψ(x)|2?
Aide : voici la formule de l'intégrale Gaussienne : Z +∞
−∞
exp − Ax2+Bx+C dx=
rπ Aexp
−C+B2 4A
, A, B, C ∈C, et avec <(A)>0, pour que l'intégrale soit convergente.
2. On note|pi l'état décrivant une onde plane, et déni par hx|pi= 1
√ 2π~
exp ipx
~
Calculer ψ˜(p) =hp|ψi. Tracer et interpréter P˜(p) =
ψ˜(p)
2.
3. Que devient l'état|ψi dans la limiteσ→ ∞, puis dans la limiteσ →0?
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14. On dénit la position moyenne de la particule parhxi = R
xP(x)dx = hψ|ˆxψi, avec P(x) =|ψ(x)|2 . On dénit l'incertitude en position ∆x par
(∆x)2:=
D
(x− hxi)2E Montrer la formule utile :(∆x)2 =
x2
− hxi2.
5. Dans le cas du paquet d'onde Gaussien, calculerhxi,∆x,hpi,∆p et le produit∆x∆p.
3 Dispersion d'une onde. Discussion qualitative.
1. Sachant quep=mv, écrire le principe d'incertitude pour∆x∆v. L'interpréter en mon- trant que une onde quantique libre (non soumise à des forces) ne peut rester localiser au cours du temps (cad que∆x ne peut pas rester petit).
2. Application numérique : avec h = 2π~ = 6.6 10−34J.s. Montrer que pour un électron libre (de masse m= 9 10−31kg), l'onde dépasse forcément une taille macroscopique (' 1cm) après quelques secondes. Au contraire pour une poussière de massem≥10−15kg, montrer que l'on peut ne pas avoir d'eet ondulatoires à une taille macroscopique en des temps raisonnables.
3. Considérons une onde quantique soumise à des forces lui imposant une dynamique chao- tique, une sensibilité aux conditions initiales telles que la dispersion croit exponentiel- lement comme∆x(t)'∆x(0)et/τ,∆v(t)'∆v(0)et/τ avec un temps caractéristique τ (par exemple une boule de loto, τ '1s.). Montrer que∆x(t) atteint une taille ma- croscopique après un temps très court, appelé temps d'Erhenfest TE. Donner une expression analytique (qualitative) et numérique de TE siτ '1s et m= 10−2kg.
4 Évolution d'un paquet d'onde libre
1. A la date t= 0, la particule libre est décrite par un paquet d'onde ψ(x) dont on ne précisera pas l'expression. On suppose seulement que sa transformée de Fourier ψ˜(p) est concentrée enp'p0. Le paquet d'onde évolue librement sur tout l'axex. On note Hˆ = 2mpˆ2 le Hamiltonien du système. Déterminer l'expression de ψ(p, t)e à la date t à partir de ψ(p,e 0).
2. Faire l'approximation, à l'ordre 1 enp, de H au pointp0 : H(p)'H(p0) + (p−p0)
∂H
∂p
p=p0
pour en déduire l'expression de ψ(x, t) à la date t à partir de ψ(x, t= 0). Allure de
|ψ(x, t)|?
3. (Optionnel) Même question que précédemment en poussant le développement jusqu'à l'ordre 2 en p, et en considérant cette fois ci le cas particulier d'un paquet d'onde Gaussien (1). On aura une intégrale Gaussienne à calculer.
Références
[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique.
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2Université Joseph Fourier. Master 1 Physique TD de mécanique quantique, Frédéric Faure.
TD no1 Solution
Niveaux d'énergie d'une particule à une dimension
1 Particule libre
Références : [1] chap.1, complément HI .
Particule libre signie soumise à aucune force. DoncF(x) = 0. Or F =−dV /dx, donc V(x) =constante.On choisitV (x) = 0. Aux bords, V(0) =V (L)→+∞.
Il faut résoudre l'équation de Schrödinger stationnaire Hψˆ = Eψ, avec Hˆ = 2mpˆ2 +V (x) etpˆ=−i~d/dx. Soit
Hψˆ =−~2 2m
d2ψ
dx2 =Eψ: pour0< x < L (1) avec les conditions aux bordsψ(0) =ψ(L) = 0. Les solutions sont (équation diérentielle à coecients constants)
ψn(x) =Cnsin
πnx L
, n= 1,2,3. . . avec une constanteCndonnée par la condition de normalisation :
1 =kψk ⇔1 =Cn2 Z L
0
sin2 πnx
L
dx
=Cn2 Z L
0
1 2
1−cos
2πnx
L
dx=Cn2L 2 donnant Cn=
q2
L. On déduit l'énergie par (1) : Hψˆ n=−~2
2m d2ψn
dx2 = ~2 2m
πn L
2
ψn=Enψn donc
En= ~2 2m
πn L
2
.
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12 La paquet d'onde Gaussien
Références : [1] chap.1, complément GI.
1. UtilisantIdˆ =R
|xihx|dx, on a hψ|ψi=
Z
hψ|xihx|ψidx= Z
|ψ(x)|2dx
=C2 Z
exp −(x−x0)2 σ2
!
dx=C2 Z
exp
−x2 σ2
dx=C2σ√ π
La condition kψk2 =hψ|ψi= 1 donne donc C= 1/ πσ21/4.
P(x) =|ψ(x)|2 =C2exp −(x−x0)2 σ2
!
est une Gaussienne centrée enx0 de largeurσ.P(x)dxs'interprète comme la probabi- lité de détecter la particule (lors d'une mesure) dans l'intervalle de position [x, x+dx]. P(x)est donc une densité de probabilité.
2. On calcule
ψ˜(p) =hp|ψi= Z
hp|xihx|ψidx
= 1
√ 2π~
Z exp
−ipx
~
Cexp ip0x
~
exp −(x−x0)2 2σ2
! dx
C'est une intégrale Gaussienne. On obtient ψ˜(p) =C σ
√
~ exp
ip0x0
~
exp
−ipx0
~
exp −(p−p0)2 2 (~/σ)2
!
Alors
P˜(p) =
ψ˜(p)
2
= C2σ2
~ exp −(p−p0)2 (~/σ)2
!
est une Gaussienne centrée en p0, de largeur ~/σ.P˜(p)dps'interprète comme la pro- babilité de détecter une impulsion dans l'intervalle [p, p+dp] lors d'une mesure de l'impulsion.
3. Dans la limiteσ→ ∞, C√12π
~ψ(x) tends vers l'onde planehx|p0i= √1
2π~exp (ip0x/~), notée|p0iet qui est un état propre d'impulsion. Dans la limiteσ →0,Cσ√12πe−ip0x0/~ψ(x), tend vers la distribution de Dirac hx|x0i = δ(x−x0) notée |x0i, et qui est un état propre de position.
4. On a
hxi= Z
xP(x)dx= Z
xhψ|xihx|ψidx=hψ|ˆxψi et (utilisant l'expression de h.icomme une intégrale donc linéaire)
(∆x)2 = D
(x− hxi)2E
= D
x2+hxi2−2xhxiE
= x2
+hxi2−2hxi hxi= x2
− hxi2
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25. Dans le cas du paquet d'onde Gaussien, on calcule par parties, et utilisant la formule de l'intégrale Gaussienne,
hxi=x0, hpi=p0 puis
x2
= σ22 +x20, donc ∆x= √σ
2,∆p= √1
2(~/σ), et∆x∆p=~/2.
3 Dispersion d'une onde. Discussion qualitative.
1. Le principe d'incertitude∆x∆p≥ ~2 implique
∆x∆v≥ ~ 2m
où ∆x est la largeur de l'onde, et ∆v sa dispersion en vitesse. Si à t = 0, l'onde est localisé cad∆xpetit alors∆vest grand donc l'onde se disperse et ne reste pas localisée.
(Au contraire, peu de dispertion, cad ∆v petit implique ∆x grand). Donc l'onde ne peut pas rester localisée.
2. Pour un électron, (~/m) = 10cm2/s donc si à t= 0, ∆x ≤1cm, alors ∆v≥ 2m∆x~ ≥ 0.5cm/s donc ∆x dépasse1cm après t= 2s.
Au contraire pour une poussière, (~/m) ≥ 10−18m2/s, on peut voir ∆x ' 10−9m et
∆v'10−9m/stous deux très petits.
3. Pour une boule de loto,m'10−3kg,
∆x(0) ∆v(0)≥ ~
2m ∼10−32m2/s
Au minimum ∆x(0)'10−16m,∆v(0)'10−16m/smais après t≥16s.on a∆x(t)≥ 1m.Pour avoir une expression, on écrit :
∆x(TE) =eTE/τ∆x(0) = 1m, ∆v(TE) =eTE/τ∆v(0) = 1m/s, donc en faisant le produit, et en posant a0 = 1m2/s(valeur macroscopique), on a
a0 = ∆x(TE) ∆v(TE) =e2TE/τ ~ 2m donc
TE = τ 2log
a02m
~
= 0.5 log 1032
s.'37s.
qui est un temps assez court. Naturellement, l'interaction de la boule de loto avec son envirronement (le gaz par exemple) fait que cette étude quantique naïve n'est pas valable (phénomène de décohérence). Cependant l'ordre de grandeur obtenue sur l'incertitude de la position∆x(TE) due au eets quantiques est correcte.
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34 Evolution du paquet d'onde libre
1. Le paquet d'onde évolue d'après l'équation de Schrödingeri~dψ(t)dt = ˆHψ(t). En mul- tipliant par hp|et utilisant H|piˆ =H(p)|pi cela donne
i~
dhp|ψ(t)i
dt =hp|Hψˆ (t)i=hHp|ψˆ (t)i=H(p)hp|ψ(t)i
⇔i~dψ˜(p, t)
dt =H(p) ˜ψ(p, t)
⇔ψ˜(p, t) =e−iH(p)t~ ψ˜(p,0)
Remarquer que avec un potentiel V (x) le calcul n'aurait pas été aussi simple, et en général impossible.
2. On suppose queψ˜(p, t)est négligeable hors dep'p0. Alors pourp'p0 le développe- ment de Taylor à l'ordre 1 donne:
H(p)'H(p0) + (p−p0) ∂H
∂p
p=p0
= p20
2m + (p−p0)p0
m =E0+ (p−p0)v0 avec E0 =H(p0) = 2mp20 etv0 = pm0. Alors
ψ(x, t) =hx|ψ(t)i= Z
dphx|pihp|ψ(t)i= Z
dp eipx~ψ˜(p, t)
= Z
dp eipx~ e−iH(p)t~ ψ˜(p,0)
=e−iE~0teip0~v0tZ
dp eip(x−v~0t)ψ˜(p,0)
=ei(p0v0~−E0)tψ(x−v0t,0) et donc
|ψ(x, t)|=|ψ(x−v0t, t)|
On a obtenu que avec cette approximation linéaire du Hamiltonien, le paquet d'onde se déplace à la vitesse v0 sans se déformer (sans dispersion). Sa phase tourne à la fréquence
ω0 = L0
~ , L0 =p0v0−E0
où L0 =p0v0−H(p0) est le Lagrangien, aussi appelé action classique.
3. à l'ordre 2 on a l'expression exacte (carH(p) est quadratique):
H(p) =H(p0)+(p−p0) ∂H
∂p
p=p0
+1
2(p−p0)2 ∂2H
∂p2
p=p0
=E0+(p−p0)v0+(p−p0)2 2m Alors de même
ψ(x, t) = Z
dp eipx~e−iH(p)t~ ψ˜(p,0)
=e−iE~0teip0~xC σ
√
~ Z
dpexp i(p−p0) (x−v0t)
~
−i(p−p0)2
2m~ t−i(p−p0)x0
~
−(p−p0)2 2 (~/σ)2
!
=e−iE~0teip0~xC σ
√
~ Z
dP exp
iP
~ (x−x0−v0t)− P2 2
i t
m~+σ2
~2
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4donnant
|ψ(x, t)|2= C2σ2
σ4+~m2t22
1/2 exp
−σ2(x−x0−vt)2
σ4+~m2t22
On en déduit l'écart quadratique moyen de la variable x :
∆x(t) = σ2
2 + ~2t2 2m2σ2
1/2
=
"
(∆x0)2+ ∆p0
m t 2#1/2
Il y a donc étalement du paquet d'ondes libres. Le terme ∆pm0tsuggère l'image classique d'un ensemble de projectiles groupés initialement dans une bande ∆x0 autour de x0, les vitesses de ces projectiles étant réparties dans une bande ∆v = ∆p0/m autour de la vitesse de groupe du paquet v0 = p0/m. Du fait de la dispersion en vitesse, des projectiles, se trouvant initialement au même point, se trouvent uniformément répartis dans une bande (∆v)t au bout du temps t. A l'instant initial, les particules sont réparties uniformément dans une boîte de dimensions ∆x et ∆p et centrée en (x0, p0). L'impulsion moyenne p0 du paquet d'onde et sa dispersion en impulsion∆p0 ne varient pas au cours du temps car l'impulsion est une constante du mouvement pour la particule libre.
Références
[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique.
