Polynômes – Fractions rationnelles DIVISION EUCLIDIENNE D= bq + r ⇐⇒D d = q + r d ⇐⇒ D d r q Exemple 1 Soit P(x) = 6x3+ x2− 19x + 6. Pest factorisable par x + 2.
On peut utiliser la division euclidienneElle se fait comme celle apprise dans les classes de l’élémentaire. — Effectuer la division 6x3(du dividende) par x (du diviseur) ; on trouve q
1= 6x2.
— Faire le produit de q1= 6x2par (x + 2) ; on trouve 6x3+ 12x2.
— Soustraire 6x3+ 12x2à 6x3+ x2, on trouve −11x2.
— Abaisser le monôme suivant de P(x), −19x et reprendre le procédé.
6x3 +x2 −19x +6 x+ 2 − (6x3 +12x2) 6x2− 11x + 3 −11x2 −19x − (−11x2 −22x) +3x +6 − (3x +6) 0 Et alors on a : P(x) = (x + 2)(6x2− 11x + 3). Exemple 2 Soit f (x) =2x 2− 3x−2 x− 1
Déterminer trois réels a, b et c tels que :
f(x) = ax + b + c
x+ 1 ∀x, x ∈ R \ {−1}
Polynômes – Fractions rationnelles
On peut les déterminer ces réels par la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
2x2 −3x −2 x− 1 −( 2x2 −2x) 2x − 1 −x2 −2 −( −x +1) −3 On a alors : a = 2, b = −1 et c = −3 et ainsi f(x) = 2x − 1 − 3 x− 1 ∀x, x ∈ R \ {−1} Exemple 3 Soit P(x) = −3x3+ x2+ 2.
Il est clair que 1 est une racine de P ; et donc il est factorisable par x − 1. Effectuons cette factorisation de Pà l’aide d’une division euclidienne.
−3x3 +x2 +2 x− 1 − (−3x3 +3x2) −3x2− 2x − 2 −2x2 − (−2x2 +2x) −2x +2 − (−2x +2) 0 Ainsi : P(x) = (x − 1)(−3x2− 2x − 2) 2 S 2
Polynômes – Fractions rationnelles
MÉTHODE DEHÖRNER
La méthode de Hörner permet pour un polynôme P de calculer P(α) pour tout α ∈ R. Si α est une racine de P, elle permet de de déterminer les coefficients du polynôme quotient. Elle s’effectue par un tableau de trois lignes.
— Sur la première ligne sont miss les coefficients des monômes de P dans l’ordre décroissant des degrés. (au besoin on met 0– ou un vide – pour les degrés pour lesquels il n’y a pas de monôme). — Devant la deuxième ligne, on met α.
— Au niveau de la première colonne de la troisième ligne, on met le même nombre a que celui de la même colonne à la première ligne.
— On place au niveau de la deuxième colonne de la deuxième ligne le résultat du produit aα. — On met à la deuxième colonne de la troisième ligne, le résultat β de la somme des cases situées
au dessus.
— On place au niveau de la troisième colonne de la deuxième ligne le résultat du produit α × β . — On met à la troisième colonne de la troisième ligne, le résultat (qui devientβ ) de la somme des
cases situées au dessus.
— Et reprend le procédé pour les colonnes suivantes.
— Le nombre obtenu à la dernière colonne et à la dernière ligne est P(α).
— Si P(α) = 0 les nombres obtenus à la dernière ligne sont les coefficients du polynôme obtenu lorsqu’on factorise P(x) par x − α.
Exemple 1
Soit P(x) = 6x3+ x2− 19x + 6.
Pest factorisable par x + 2.
On peut utiliser la méthode de Hörner
6 1 −19 6 −2 × −12 22 −6 6 −11 3 0 Et alors on a : P(x) = (x + 2)(6x2− 11x + 3). P(−1) = 6(−1)3 + (−1)2− 19(−1) + 6 = 20 2 S 3
Polynômes – Fractions rationnelles
Calculons P(1) par la méthode de Hörner.
6 1 −19 6
−1 × −6 5 14
6 −5 −14 20
Exemple 3
Soit P(x) = −3x3+ x2+ 2.
Pest factorisable par x − 1. Effectuons cette factorisation de P à l’aide de la méthode de Hörner.
−3 1 2
1 × −3 −2 −2
−3 −2 −2 0
Ainsi : P(x) = (x − 1)(−3x2− 2x − 2)
