Limites
D´edou
Avril 2012
Evaluer Taylor
On veut dire que l’approximation de Taylor est d’autant meilleure quen augmente, et que x se rapproche dea. Pour le moment, cette phrase n’a aucun sens pr´ecis, et on va lui en donner un, qui reposera sur la notion delimiteet deux notions qui en d´ecoulent, celle d’´equivalenceet celle de pr´epond´erance. Pour le moment on r´evise un peu les limites.
Carte de visite de la limite
Notre construction lim attend une fonctionf et un nombreaet retourne (pas toujours) un r´eel.
La fonctionf n’est pas forc´ement partout d´efinie, le nombre apeut ˆetre infini, ainsi que la limite, ce qu’on r´esume en ´ecrivant :
lim : (R→R⊥)×R → R⊥
(f,a) 7→ limx→af(x).
Il y a une d´efinition avec des epsilons...
Vocabulaire
Au lieu de
”on a limx→af(x) =L”
on pref`ere dire
”f(x) tend vers Lquandx tend versa”
bien que
”f(x) tend vers L” et ”x tend vers a”
n’aient pas de sens s´epar´ement.
Les variantes lat´ erales
Parfois on ne s’int´eresse qu’`a certaines valeurs dex et pas `a toutes, il faut alors pr´eciser aussi l’intervalle, ou plus g´en´eralement la partie deR, dans laquellex varie. Les deux cas principaux sont ceux o`u x reste ”`a gauche” ou ”`a droite” dea :
limg : (R→R⊥)×R → R⊥
(f,a) 7→ limx→a−f(x).
limd : (R→R⊥)×R → R⊥
(f,a) 7→ limx→a+f(x).
Ces deux limites ont aussi des d´efinitions avec des epsilons.
Les r` egles de calcul des limites
On va faire le tour des quelques r`egles de calcul pour les limites.
Ce sont
la r`egle du gendarme
la r`egle du produit par born´e les r`egles pour les op´erations les r`egles pour la composition.
La r` egle du gendarme
Le gendarme
Si, surDDf, on a |f| ≤g et si limx→ag(x) = 0, alors on a aussi limx→af(x) = 0.
Exo corrig´e Montrer que√
xcosx tend vers 0 quand x tend vers 0.
Exo 1
Montrer que sinx2x tend vers 0 quandx tend vers +∞.
La r` egle du produit par born´ e
Le produit par une fonction born´ee
Si on a limx→af(x) = 0 et si, sur DDf,g est born´ee, alors on a aussi limx→af(x)g(x) = 0.
Exo corrig´e
Expliquez pourquoi (sinx+ 3 cosx)√
x tend vers 0 quand x tend vers 0.
Exo 2
Expliquez pourquoi cosx+9ex −x tend vers 0 quandx tend vers +∞.
Les r` egles pour les op´ erations
Proposition
Soientf etg deux fonctions ayant le mˆeme domaine de d´efinition.
On suppose quef tend vers Let que g tend vers M quandx tend versa. Alors, quandx tend versa,
f(x) +g(x) tend versL+M; f(x)g(x) tend versLM;
si de plus M est non nul, fg(x)(x) tend vers ML.
Les r` egles pour la composition
Comme d’habitude il faut surtout savoir composer avec nos cinq fonctions de base.
Proposition
On suppose quef tend vers Lquand x tend vers a. Alors, quandx tend versa,
cosf(x) (resp. sinf(x),ef(x)) tend vers cosL(resp. sinL,eL) ; si n est un entier naturel, f(x)n tend vers Ln;
si Lest positif, pour tout r´eel a>0,f(x)a tend vers La; si Lest strictement positif, pour tout exposant a<0,f(x)a tend vers La.
Exemples
Exemple
Quandx tend vers 0, sinxx tend vers 1, et donc cos(sinxx) tend vers cos 1.
Exo corrig´e
Quelle est la limite quandx tend vers 0 de cos(sinxx) ?
Exo 3
Quelle est la limite quandx tend vers +∞ de sin(sinxx) ?
