1. On utilise l’une des équations de couplage, par exemple l’équation d’Euler := µ0.∂v1
∂t .Ðe→r = −ÐÐ→
gradp1 en considérant l’approximation acoustique.
On en déduit que ∂v1
∂t = − 1 µ0
.[−p0
r2.ei(ωt−k.r)−i.p0.k
r .ei(ωt−k.r)] Soitv1= p0
i.ωµ0
.[ 1
r2.ei(ωt−k.r)+i.k
r .ei(ωt−k.r)] 2. On n’oublie pas de repasser en grandeurs réelles :
v1= p0
ωµ0
.[1
r2.sin(ωt−k.r) +k
r.cos(ωt−k.r)]etp1= p0
r cos(ωt−kr) Alors Π= p0
µ0.ω.r2 [1
r.cos(ωt−k.r).sin(ωt−k.r) +k.cos2(ωt−k.r)]
r<<λ Ð→ 1 r >> 1
λ soit 1 r >> k
2.π Pourr<<λ, Π≡ p0
µ0.ω.r2 1
r.cos(ωt−k.r).sin(ωt−k.r) et⟨Π⟩ =0 Pour r>>λ, Π≡ p0
µ0.ω.r2.k.cos2(ωt−k.r)et⟨Π⟩ = p0
2.µ0.ω.r2.k L’intensité sonore sera donc non nulle pourr>>λ
3. On a P = ∬ ⟨Ð→ P i⟩⋅Ð→
dS= p0
2.µ0.ω.r2.k.4.π.r2 =Cte
4. A l’interface avec la sphère, les couches de fluide auront nécessairement une vitesse v(r0) = r˙ = −a.ω.sin(ωt+ϕ0) or v(r0) = p0
µ0.ω.r20.sin(ωt−k.r0) soit p0=a.ω2.µ0.r20
5. Il suffit de remplacer p0 dans l’expression obtenue. On s’aperçoit que pour obtenir une puissance constante, on doit diminuer la tailler de la source si la pulsation augmente.
