9 complexes Nombres
Sommaire
Partie A (s14) 2
1 Rappels de première . . . 2
1.1 Forme algébrique 2
1.2 Forme trigonométrique 3
2 Forme exponentielle . . . 4
2.1 Définition 4
2.2 Règles de calcul en notation exponentielle 5
Partie A (s
14)
L’histoire des nombres complexes débute avec l’apparition de quan- tités négatives sous un radical, au xvie siècle avec le mathématicien italien Jérôme Cardan. Raphaël Bombelli, un autre mathématicien italien, détermine des règles de calcul sur ces nombres appelés alors
« impossibles ».
Ce n’est qu’à partir du xixe siècle que se développe l’aspect géomé- trique des nombres complexes, sous l’impulsion de l’abbé Buée de Jean-Robert Argand, puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.
Ils sont actuellement utilisés en algèbre et en analyse, mais surtout en tant qu’outil pour les physiciens, en optique ou en électricité.
Ensemble de Mandelbrot
1 Rappels de première
1.1 Forme algébrique
L’ensemble Cdesnombres complexes a les caractéristiques suivantes :
• il contient le nombreivérifianti2 =−1 ;
• chaque élément z s’écrit de manière unique z=a+iboù aest la partie réelle de z:Re(z) et bla partie imaginaire : Im(z) ;
• leconjugué du nombre complexez=a+ibest le nombre z=a−ib.
Définition 1.
Représentation graphique dans le repère (O, U, V) :
O U
V
M(z=a+ib)
a b
partie réelle
partieimaginaire b
On pose z=a+ib,z′ =a′+ib′ deux nombres complexes etk un réel :
• z±z′= (a+a′)±i(b+b′) • zz′ = (aa′−bb′) +i(ab′+a′b)
• z+z′=z+z′ • z×z′ =z ×z′
• z z′ = zz′
z′z′ = (a+ib)(a′−ib′)
a′2+b′2 • z
z′
= z z′
• z∈R⇐⇒z=z • z∈iR⇐⇒z=−z Proriété 2.
on multiplie par l’expression conjuguée
Exemple 3
Soitz= 2 + 3iet z′ =i−5, on a :
• 2z−3z′= 2(2 + 3i)−3(i−5) = 4 + 6i−3i+ 15 = 19 + 3i;
• zz′= (2 + 3i)(i−5) = 2i−10 + 3i2−15i= 2i−10−3−15i=−13−13i;
• z+z′ = (2−3i) + (−i−5) =−3−4i;
• 2 +i
−3 +i = (2 +i)(−3−i)
(−3 +i)(−3−i) =−6−2i−3i+ 1
10 =−5−5i 10 =−1
2−1 2i.
Si M a pour affixez=a+ibetM′ a pour affixe z′ =a′+ib′, alors :
• le vecteur −−−→
M M′ a pour affixez′−z;
• ||−−−→
M M′||=q(a′−a)2+ (b′−b)2 ;
• le milieuI de [M M′] a pour affixe zI = z+z′ 2 . Proriété 4.
Ces propriétés sont utiles pour les démonstrations dans le cadre de la géométrie avec utilisation des nombres complexes.
1.2 Forme trigonométrique
Soit z=a+ibun nombre complexe non nul etM le point d’affixe z.
• lemodule de z est le réel positif |z|=√
z z =√
a2+b2;
• l’argumentdezest le nombre réelθtel que arg(z) =θ= (−→u ,−−→OM)[ 2π] ; on a cosθ= a
|z| et sinθ= b
|z|.
Tout nombre complexe non nul zpeut s’écrire z=|z|(cosθ+isinθ).
Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.
Définition 5.
on note aussi z=r(cosθ+isinθ) avecr=|z|
0 U
V |z|=r=
√ a2 +b2
M(z)
θ
a=rcosθ b=rsinθ
Pour trouver la forme trigonométrique d’un nombrez, il faut calculer successivement le module et l’argument dez.
Exemple 6
• 1 +i√
3 =
q 12+√
32=√
1 + 3 =√ 4 = 2 ;
• arg(1 +i√ 3) :
cosθ =1 2 sinθ =
√3 2
⇒ θ= π
3 ⇒ arg(1 +i√ 3) = π
3.
• 1 +i√ 3 = 2h
cosπ 3
+ sinπ 3
i
• |z|= 0⇐⇒z= 0 • |−z|=|z|=|z|
• arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) [2π] • arg z
z′
= arg(z)−arg(z′) [2π]
Proriété 7.
2 Forme exponentielle
2.1 Définition
Pour tout nombre réelθ, on pose :
cosθ+isinθ= eiθ
edésigne le nombre d’Euler
Tout nombre complexez non nul de moduler et d’argumentθpeut s’écrire sous la forme z=r eiθ.
Cette écriture, avec r >0, est appeléeforme exponentielle du nombrez.
Définition 8.
ei×0= 1 eteiπ2 =i
Remarque 9
On a alors z=r eiθ =r(cosθ+isinθ) =rcosθ+irsinθ=a+ib.
Exemple 10
Différentes écritures du nombre complexe 1 +i√ 3 :
Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle 1 +i√
3 2h
cosπ 3
+isinπ 3
i 2 eiπ3
Exemple 11
Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis algébrique dez= 4ei3π4 :
• z= 4
cos 3π
4
+isin 3π
4
• z= 4
−
√2 2 +i
√2 2
=−2√ 2 + 2i√
2
2.2 Règles de calcul en notation exponentielle
Remarque 12
Pour les calculs du type « somme » ou « différence », on utilisera la forme algébrique.
On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
Soit θ etθ′ des nombres réels et n un nombre entier :
• produit : eiθ×eiθ′ = ei(θ+θ′);
• puissance : eiθn= einθ;
• inverse : 1
eiθ = e−iθ;
• quotient : eiθ
eiθ′ = ei(θ−θ′);
• conjugué : eiθ = e−iθ. Proriété 13.
Démonstration de la première propriété : eiθ×eiθ′ = (cosθ+isinθ)×(cosθ′+isinθ′)
= cosθcosθ′+icosθsinθ′+isinθcosθ′−sinθsinθ′
= (cosθcosθ′−sinθsinθ′) +i(cosθsinθ′+ sinθcosθ′)
= cos(θ+θ′) +isin(θ+θ′)
= ei(θ+θ′).
on utilise les formules d’addition
Exemple 14
On considère les nombres complexesz1= 2 eiπ3 etz2= 2√ 3 eiπ6 :
• z1z2= 2×2√
3× eiπ3 ×eiπ6
= 4√
3 ei(π3+π6)
= 4√ 3 eiπ2 ;
• z42= 2√ 3 eiπ64
= 2√ 34
ei4π6
= 144 e2iπ3 ;
• z2
z1
= 2√ 3 eiπ6 2 eiπ3
= 2√ 3
2 ei(π6−π3)
=√ 3 e−iπ6.
