Devoir de Math´ematiques n
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Exercice 1
On lance un d´e t´etra´edrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cach´ee. Pour k∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilit´e d’obtenr le nombre k sur la face cach´ee. Le d´e est d´es´equilibr´e de telle sorte que les nombresp1, p2, p3 etp4 dans cet ordre, forment une progression arithm´etique.
1. Sachant quep4 = 0,4 d´emontrer quep1= 0,1, p2 = 0,2 et p3= 0,3.
1 point
2. On lance le d´e trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux `a deux ind´ependants.
(a) Quelle est la probabilit´e d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ? 1 point
(b) Quelle est la probabilit´e d’obtenir trois nombres distincts rang´es dans l’ordre croissant ? 1 point
3. On lance 10 fois de suite le d´e. On suppose les lancers deux `a deux ind´ependants. On note X la variable al´eatoire qui d´ecompte le nombre de fois o`u le chiffre 4 est obtenu.
(a) Pour 16i610, exprimer en fonction de ila probabilit´e de l’´ev´enement (X=i).
1 point
(b) Calculer l’esp´erance math´ematique de X. Interpr´eter le r´esultat obtenu.
1 point
(c) Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement (X >1). On donnera une valeur arrondie au milli`eme.
1 point
Exercice 2
A- SoitX une variable al´eatoire continue qui suit une loi exponentielle de param`etre λ.
On rappelle queP(X6a) = Z a
0
λe−λtdt.
La courbe ci-dessous repr´esente la fonction densit´e associ´ee.
1 2 3 4
1 2
1. Interpr´eter sur le graphique la probabilit´eP(X 61).
0,5 point
2. Indiquer sur le graphique o`u se lit directement le param`etreλ.
0,5 point
B- On poseλ= 1,5 .
1. CalculerP(X61), en donner une valeur exacte puis une valeur approch´ee `a 10−3 pr`es par exc`es.
1 point
2. CalculerP(X>2).
1 point
3. D´eduire des calculs pr´ec´edents l’´egalit´e suivante : P(16X62) = 0,173 `a 10−3 pr`es.
1 point
4. CalculerE(X) = Z +∞
0
1,5te−1,5tdt.
1 point
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