Etude de certaines classes d’inégalités variationnelles

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

École Normale Supérieure, Kouba (Alger) Département de Mathématiques

Thèse

pour l’obtention du grade de Docteur en sciences

SPÉCIALITÉ :MATHÉMATIQUES OPTION : EDO

Présentée par

Ouidad Frites

Intitulée

Etude de certaines classes d’inégalités variationnelles

Thèse dirigée par Toufik Moussaoui

Soutenu le 10/03/2016 Devant la commission d’examen

H. OUAZAR, ENS-Kouba, MC(A), Président A. BENMEZAI, U.S.T.H.B., Professeur, Examinateur O. SAIFI, Alger 3, MC(A), Examinatrice F. MOKHTARI, Alger 1, MC(A), Examinateur T. MOUSSAOUI, ENS-Kouba, Professeur, Encadreur

CONTENTS

Notations 1

0 Introduction 3

1 Preliminaries 8

1.1 Operators and functionals on Banach spaces . . . 9

1.1.1 Banach spaces, dual spaces . . . 9

1.1.2 Continuity of operators . . . 11

1.2 L^p Spaces . . . 13

1.2.1 Some results about integration . . . 14

1.2.2 Definitions and properties of L^p spaces . . . 14

1.3 Lower and upper semi-continuity . . . 15

1.4 Sobolev spaces, embedding theorems . . . 16

1.4.1 The Sobolev space W^1,p(I) . . . 16

1.4.2 The Sobolev space W^m,p(I) . . . 18

1.4.3 Embedding theorems . . . 19

1.5 Convex Functions . . . 19

1.5.1 Definitions and properties . . . 19

1.5.2 Subdifferential of convex functionals. . . 21

1.6 Szulkin-type functionals . . . 28

1.6.1 Definitions and properties . . . 28

1.6.2 Existence of deformations . . . 32

1.6.3 Mountain Pass Theorem . . . 36

1.7 Ricceri’s variational result . . . 39

2 Existence of positive solutions for a variational inequality of Kirchhoff type [11] 40 2.1 Szulkin-type functionals . . . 41

2.2 Main results . . . 43

2.3 Proof of theorem 2.2.1 . . . 44

2.4 Proof of theorem 2.2.2 . . . 47

3 On the existence of positive solutions for a variational inequality of Kirch- hoff type on the half-line [12] 51 3.1 Preliminaries . . . 52

3.2 Main results . . . 53

4 Existence of solutions via variational methods for a problem with nonlinear boundary conditions on the half-line [13] 63 4.1 Preliminaries . . . 65

4.2 Main results . . . 69

4.3 Proof of Theorem 4.2.1 . . . 73

4.4 Proof of Theorem 4.2.2 . . . 74

Conclusion 77

References 78

NOTATIONS

General notations

R =R∪ {+∞}.

→ simple convergence.

⇀ weak convergence.

Bρ(u0) open ball of radius ρ centered at u0.

∂Bρ(u0) the boundary of Bρ(u0).

Bρ open ball of radius ρ centered at 0.

B(X, Y) the class of all bounded, linear mappings from X intoY.

X^∗ dual of X.

X^∗∗ bidual of X.

h., .i scalar product in the duality X^∗, X.

supp(ϕ) support of the function ϕ.

dom(ϕ) domain of the function ϕ.

epi(ϕ) epigraph of the function ϕ.

int(A) interior of a set A.

a.e. almost everywhere. .

1

iC indicator function of C.

∂ϕ(u0) subdifferential of ϕ atu₀.

ϕ^′(u0;h) directional derivative of ϕ atu0 in the direction h.

ψ−^′ (x0) = lim

x→x⁻₀

ψ(x)−ψ(x0) x−x0 . ψ₊^′ (x0) = lim

x→x⁺₀

ψ(x)−ψ(x0) x−x0 . Function spaces

I open interval in R.

L¹(I) space of integrable functions on I.

L^p(I) ={f :I −→R; is mesurable and (^❘_I|f(x)|^pdx)^1p <+∞},1≤p <∞.

| · |p = [^❘_I|f(x)|^pdx]^1p . L^∞(I) =

✽❃

❁

❃✿f :I −→R| f is measurable and there is a constantC such that |f(x)| ≤C a.e. on I

✾❃

❂

❃❀. L¹_loc(I) space of locally integrable functions on I.

C(I,R) space of continuous functions from I to R. C_l(I,R) ={u∈C(I,R) : lim

t→+∞u(t) exists }.

C¹(I) space of continuously differentiable functions on I.

C_c¹(I) space of continuously differentiable functions with compact support in I.

W^1,p(I) ={u∈L^p(I);∃g ∈L^p(I)such that ^❘_Iuϕ^′ =−^❘_Igϕ, ∀ϕ ∈C_c¹(I)}.

H¹(I) =W^1,2(I).

2

RÉSUMÉ

Dans cette thése, nous avons étudié des inégalités variationnelles qui sont définies sur des domaines bornés et non bornés en utilisant la théorie des points critiques non régulière qui est due à Szulkin.

Dans le premier chapitre, nous avons présenté quelques outils d’analyse fonctionnelle qui sont utilisés. Dans le second chapitre nous avons présenté quelques résultats d’existence de solutions pour une inégalité variationnelle de type Kirchhoff qui sont définies sur un unter- valle borné(0,1)en utilisant la théorie des points critiques non régulière due à Szulkin.

Dans le chapitre trois, nous avons présenté l’existence de solutions positives pour une inégalité de type Kirchhoff posée sur la demi-droite réelle.

Dans le dernier chapitre, nous avons donné l’existence de solution pour un problème avec des conditions non linéaires sur la demi-droite par des méthodes variationnelles

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