TP 8. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Exercice I.
On considère les vecteursx=y ={−1;−0.9;−0.8;...; 1}, dont on nomme les coordonnées(xk)1≤k≤net(yk)1≤k≤n.
On considère la matrice z=
x21+y12 x21+y22 . . . x21+y2n x22+y12 x22+y22 . . . x22+y2n
... ... . .. ... x2n+y12 x2n+y22 . . . x2n+yn2
.
1. Combien vautn?
2. Créer une séquence Scilab construisantxety, ainsi que la matricezà partir des vecteursxety. 3. Compléter le programme par l’instructionplot3d(x,y,z).
Exercice II.
Taper le programme suivant :
function z=f(x,y) z=x∧2+y∧2 endfunction x=-5 :0.1 :5 y=x
fplot3d(x,y,f)
1. Faire pivoter le graphe à l’aide du bouton droit de la souris. Qu’a-t-on affiché ? 2. Cette fonction semble-t-elle atteindre un extremum ?
3. Remplacerfplot3dparfplot3d1et relancer le programme.
Commande.
La commande contour(x,y,f,v) trace les lignes de niveaux de la fonctionfsur le domaine défini par les vecteursxety.
vest soit un vecteur contenant les différents niveaux souhaités, soit un entier donnant le nombre de niveaux souhaités.
Exercice III.
Compléter le programme suivant pour qu’il trace10lignes de niveau de la fonctionf définie sur le carré[−5; 5]2par f(x, y) =x2+y2:
function z=f(x,y) z=...
endfunction x=...
y=...
...
Exercice IV.
Tracer le graphe et les lignes de niveau des fonctions suivantes sur l’ensemble proposé, puis conjecturer l’existence d’éventuels extrema / points cols :
1. f(x, y) =x2+y2 sur [−2,2]2 2. f(x, y) =xy sur [−1,1]2
3. f(x, y) = 1−1
2(x2+y2) sur [−1,1]2 4. f(x, y) =x2(1 +y3) +y2 sur [−1,1]2
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TP 8. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Exercice V.
Soit la fonctionfdéfinie surR2par f(x, y) =x2−y2. 1. Calculer∇(f)(x, y), pour(x, y)∈R2.
2. Tracer les lignes de niveau def sur[−3,3]2.
3. Sur le même graphe, tracer les vecteurs∇(f)(0,1),∇(f)(1,1)et∇(f)(−1,−2).
On utilisera la commandexarrows([xA,xB],[yA,yB]), qui trace un vecteur entre les pointsA(xA, yA)(qui est le point où l’on calcule le gradient) etB(xB, yB).
4. Commenter.
Exercice VI.
Soit la fonctionfdéfinie surR2par f(x, y) =x2−x3+y2. 1. Tracer la surface représentantf sur le carré[−2,2]×[−2,2].
2. Conjecturer l’existence d’extrema locaux et/ou globaux def. Semble-t-il y avoir un point critique ? 3. Tracer les lignes de niveau def pour des niveaux entre 0 et 2 avec un pas de 0.1
4. Vérifier vos hypothèses en menant l’étude mathématique de la fonctionf. On trouvera notamment les points cri- tiques par le calcul, et on déterminera leur nature.
Exercice VII.
(Fonction de production de Cobb-Douglas)On considère la fonction de production de Cobb-Douglasf définie sur(R+)2par f(x, y) =xαy1−α, oùα∈]0,1[.
On définit aussi la fonction de gaingpar g(x, y) =f(x, y)−x−y. Tracer la surface et les lignes de niveau de ces deux fonctions pourα= 1
2.
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