D185. Tarentule tisse sa toile
Problème proposé par Dominique Roux
Tarentule décide de tisser sa toile sur un hublot circulaire. Elle parcourt le bord du hublot et place dans cet ordre 6 points d'ancrage A,B,C,D,E,F puis elle tisse 3 fils rectilignes AD,BE,CF qui se croisent en un point T. Comme elle a l'esprit de géométrie, elle fait en sorte que le fil CF est la bissectrice de l'un des angles formés par les deux autres fils, tout en respectant les mesures suivantes TA = 5 cm, TD = 12 cm, TB = 4 cm et TF = 10 cm .En déduire les angles que font les trois fils entre eux.
On choisit le point T, comme origine d'un repère orthonormé et la droite AD comme axe des x.
Le centre O du cercle (C) –le hublot- qui supporte les six points est situé sur la médiatrice de AD. Soient (7/2, a) les coordonnées de O.
L'équation de (C) est : −+ − = = + = +
Le point B est l'intersection de (C) et du cercle de centre T et de rayon 4 dont l'équation est : + = 16. Les coordonnées de B sont données par :
−7 2
+ − = + 17 2
+ = 16 ⇒
=−308 − !16√− 18 4+ 49
= 144
−11 − !7√− 18
avec ! = ±1**
Le point F est l'intersection de (C) et du cercle de centre T et de rayon 10 dont l'équation est : + = 100, avec F situé sur l'arc de cercle + qui ne contient pas B, donc ,< 0 ./ ,> 0.
Les coordonnées de F sont données par :
−7 2
+ − = + 17 2
+ = 100 ⇒
,=280 − 20√4+ 33 4+ 49
,= 330
−8 + 7√4+ 33
**
Soient 1 = 234 et 6 = +274
CF étant, d'après l'énoncé, la bissectrice de 82+4, les angles 8294 et 92+4 sont égaux.
92+4 = 234 = 1 donc 8294 = 1 donc 3274 = 1 et on a alors 21 + 6 = = />1 =,,= −33
−14 − 4√4+ 33 ./ />6 == 36
7 + !11√− 18 Il reste à résoudre : 2. @A/>|1| + @A/>|6| = = pour trouver a:
Ce qui donne pour
! = −1 ∶ =
D√EOn reporte dans l'expression obtenue de />1 et />6
/>1 = √3⇒ 1 == 3 = 60°
/>6 = = − 21 == 3 = 60°
