Soit la courbe paramétrée γ définie par :

PanaMaths Mars 2018

Soit a et b deux réels.

Soit la courbe paramétrée γ définie par :

( ) ( ) ( )

2 2

2

: 2

x t t a t t t

y t t b t

γ γ ^{= +}

6 = +

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que la courbe γ admette un point de rebroussement.

2. Quel est le lieu des points de rebroussement obtenus ?

Analyse

Les points de rebroussement sont des points stationnaires. On amorce donc le traitement de la première question en annulant les dérivées des fonctions x et y.

Résolution

Notons, dans un premier temps que l’on a :

D D

Question 1.

Un point de rebroussement étant un point stationnaire, on annule les dérivées des fonctions x et y.

Pour tout t non nul, on a : ^{x t'}

( )

t t

= − = − et ^{y t'}

( )

t t

= − = − .

Il vient alors immédiatement :

( ) ( )

( )

3 3 3

3 3

2

2 0

' 0 0

' 0

' 0 0

2 0

t a

x t t t a

t

y t t b t b

t γ

⎧ − =

= ⎪

⎧ ⎧ − =

⎪ ⎪ ⎪

= ⇔⎨⎪⎩ = ⇔⎨⎪⎪⎩ − = ⇔⎨⎪⎩ − =

Le système obtenu admet une solution (en t) si, et seulement si, a= ≠b 0. Cette solution est alors

1

t=a3.

PanaMaths Mars 2018

La condition a= ≠b 0 est nécessaire et suffisante pour que la courbe admette un point stationnaire. Etudions alors la nature de ce point.

Pour a= ≠b 0, on a :

1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

2 2

1 3 3

1 1 2 2 2 2

3 3 3 3 3

1 3

2 2 2 3

2 2 3

a a

x a a a a a a

a a

y a a a a a a

a

⎛ ⎞

= + = + = + =

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Le point stationnaire obtenu est donc le point :

1

1 3

3 2 3

3 3 a a

a γ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠

Comme ^{x t'}

( )

= − t et ^{y t'}

( )

= − t , il vient ^x''

( )

= t et ^y''

( )

= + t . D’où :

1 3

4 1

1 3 3

6 6

'' a

x a

a a

⎛ ⎞

= =

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

et

1 3

1 3 3

'' 2 4a 2 4 6

y a

a

⎛ ⎞

= + = + =

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

1 1

3 3

6 ''

6

a a

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠

Comme

1

'' a3

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ est un vecteur non nul, il s’agit d’un vecteur directeur de la tangente à la courbe γ. Le point

1

a3

γ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ est un point de rebroussement.

Finalement :

La courbe γ admet un point de rebroussement si, et seulement si, on a a= ≠b 0.

PanaMaths Mars 2018

Le vecteur

1 3 1

'' 3

6

a γ ^⎛_⎜a ^⎞_⎟

⎝ ⎠ de coordonnées

1

1 ;a3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ est également un vecteur directeur de la tangente à la courbe γ en

1

a3

γ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠. On en obtient facilement l’équation réduite :

1 1 2 1 2 2 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

y a ⎛x a ⎞ a a x a a a x

= ⎜ − ⎟+ = − + =

⎝ ⎠

On a ensuite : ^x'''

( )

= − t et ^y'''

( )

= − t . D’où :

1 3

5 2

1 3 3

24 24

''' a

x a

a a

⎛ ⎞

= − = −

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

et

1 3

4 1

1 3 3

12 12

''' a

y a

a a

⎛ ⎞

= − = −

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

2

1 3

3

1 3

24

''' 12

a a

a γ

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ −

Le vecteur

1

'' a3

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ est colinéaire au vecteur de coordonnées

1

1 ;a3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠. Par ailleurs, le vecteur

1

''' a3

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ est colinéaire au vecteur

2 3 1

''' 3

24

a γ ^⎛a ^⎞

− ⎜ ⎟

⎝ ⎠ de coordonnées

1

1 3

1 ;2a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠. On en déduit immédiatement que les vecteurs

1

'' a3

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ et

1

''' a3

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ ne sont pas colinéaires.

Ainsi, comme l’ordre de dérivation du premier vecteur dérivé non colinéaire à

1

'' a3

γ ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ est impair, on conclut immédiatement que le point de rebroussement

1

a3

γ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ est un point de rebroussement de 1^ère espèce.

En guise de complément on a fait apparaître, sur la figure ci-après, la courbe γ pour a=2, le point de rebroussement

1

1 3

3 2 3

2 3 2 3 2 γ^{⎛ ⎞}_{⎜ ⎟} ^×

⎝ ⎠ × ainsi que la tangente d’équation

1

23

y= x.

PanaM Questi

On a : γ

Les poin Le somm Récipro alors il e

a= X3

Finalem

Maths

Figure

ion 2.

1

1 3

3 2 3

3 3 a a

a γ^⎛_⎜ ^⎞_⎟

⎝ ⎠ .

nts de rebro met

(

)

oquement, si est immédia .

ment :

e

1. La courb

son point d

. D’où : ⎛x

⎜⎜⎝

oussements doit en être i nous nous at qu’il s’ag

L’ensembl est la parabo

be paramétr

de rebrouss

1 2

3 3

a ⎞

⎛ ⎞ ⎛

⎟ =

⎜ ⎟⎟ ⎜

⎝ ⎠⎠ ⎝ obtenus app e exclu puis s donnons un git du point

e des points ole d’équati

rée

( )

2

2t t

t γ

+ sement et sa

1 2 2

3 3

3a ⎞ 9a

⎟ =

⎠ partiennent

que l’on a a n point de c de rebrouss

s de rebrous ion 1 ² y=3x

2

2 4 t t + +

(corre

a tangente e

2 1

3 3y a⎛ 3⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ donc à la p

0 a≠ . coordonnées sement de la

ssement des

2 privée de

espondant à

en ce point.

⎞⎟

⎠.

arabole d’é

s 1 ²

;3

X X

⎛⎜

⎝

a courbe γ

s courbes γ son somme

Mar

à a=2),

quation y=

2⎞

⎟⎠ sur la pa de paramèt

et.

rs 2018

1 2

3x

= .

arabole, tre

PanaM

A titre d courbes correspo

Maths

de complém s γ pour dif ondants et l

Figure 2 de leurs

ment, nous fo fférentes va

a parabole d

. Représent s points de r

fournissons leurs du par d’équation

tations grap rebroussem privé

ci-dessous d ramètre a, l

1 2

y=3x (p

phiques de d ment et de la e de son som

des représen es points de rivée de son

diverses cou a parabole d

mmet.

ntations gra e rebroussem n sommet).

urbes param d’équation y

Mar

aphiques des ment

métréesγ , 1 2

y=3x

rs 2018

s