G216 Echecs et maths…

(1)

G216 Echecs et maths…

Partie 1

Remarque préliminaire

« Chaque joueur a joué une seule partie contre chacun de ses adversaires »

Avec 10 joueurs, cela fait 10*9/2 = 45 parties, ce qui est bien conforme à ce qui est annoncé (« cinq parties par jour pendant neuf jours »).

Résolution du problème

Pour faciliter les explications, notons pour 1 <= i <= 10 :

- ji le joueur de rang i conformément au classement de l’énoncé - gi le nombre de partie(s) gagnée(s) par ji

- ni le nombre de partie(s) nulle(s) obtenue(s) par ji - pi le nombre de partie(s) perdue(s) par ji

- si le score de ji, si = 1*gi + 0,5*ni + 0*pi = gi + 0,5*ni

Etant donné que chaque joueur joue exactement neuf parties, nous avons : - 0 <= gi, ni, pi <= 9

- gi + ni + pi = 9

Cela implique en particulier que 0 <= si <= 9.

Chaque partie, qu’elle qu’en soit l’issue, attribue 1 point parmi deux joueurs.

Le tournoi de 45 parties attribue donc 45 points parmi les dix joueurs.

En d’autres termes, cela implique que s1 + ... + s10 = 45 (1).

Voyons à présent les informations apportées par les différentes suppositions.

Hypothèse 2 => s1 > ... > s10.

Plus précisément nous avons pour 1 <= i < j <= 10, si >= sj + 0,5*(j-i) (2).

Hypothèse 3 => s1 + s2 = s5 + s6 + s7 + s8 + s9 + s10.

Combiné avec (1), cela implique que 2*(s1 + s2) + s3 + s4 = 45 (3).

Combiné avec (2), nous en déduisons les inégalités s1 >= 48,5/6 et s1 + s2 >= 47/3.

D'où s1 >= 8,5 (4) et s1 + s2 >= 16 (5).

D'un autre côté, s1 + s2 <= 9 + 8,5 = 17,5, d'où s10 <= 10/6, soit s10 <= 1,5 (6).

Hypothèse 4 => s10 >= 1 (7).

D'où s8 >= s10 + 1, soit s8 >= 2 (8).

Du fait que n5 = 2, nous avons s5 entier (9).

Toute partie nulle implique nécessairement j5 ou j10, voire les deux si s10 = 1,5, sous peine de contredire le fait qu’il y ait exactement quatre parties nulles.

Hypothèse 5 => s1 + s4 + s6 + s8 = s2 + s3 + s5 + s7 + s9 + s10 - 5.

Combiné avec (1), cela implique que

- s2 + s3 + s5 + s7 + s9 + s10 = 25 (10) - s1 + s4 + s6 + s8 = 20 (11)

(2)

De (11), nous en déduisons l’inégalité s8 <= 13,5/4, soit s8 <= 3 (12).

Nous cherchons donc à reconstituer la grille complète des résultats.

L’extrait de grille suivant se lit de la manière suivante : - le joueur 1 bat le joueur 2

- le joueur 3 obtient une partie nulle contre le joueur 1 - le joueur 3 perd contre le joueur 2

Si s1 = 9, alors nécessairement s2 <= 7,5 compte tenu de l’hypothèse 4 (« le dernier obtient deux parties nulles contre deux des trois premiers joueurs »).

Ainsi, partant de (4) et (5), nous avons quatre possibilités pour s1 et s2.

Cas n°1 : s1 = 9 et s2 = 7

D’après (3), il en découle que s3 + s4 = 13.

D’un autre côté, s2 = 7 et (2) impliquent que s3 <= 6,5 et s4 <= 6 : contradiction.

Cas n°2 : s1 = 9 et s2 = 7,5

Alors nécessairement s3 <= 6,5 compte tenu de l’hypothèse 4 (« le dernier obtient deux parties nulles contre deux des trois premiers joueurs »).

(2) implique donc que s3 = 6,5 et s4 = 5,5.

D’après (11), il en résulte que s6 + s8 = 5,5.

(2), (8) et (12) impliquent nécessairement que s6 = 3,5 et s8 = 2.

(2), (6) et (7) impliquent nécessairement que s9 = 1,5 et s10 = 1.

Il reste donc s5 + s7 = 8,5.

Mais s4 = 5,5, s6 = 3,5 et (2) impliquent que s5 <= 5 et s7 <= 3 : contradiction.

Cas n°3 : s1 = 8,5 et s2 = 7,5

s2 = 7,5 et (2) impliquent donc que s3 = 7 et s4 = 6.

Tout ceci reste bien compatible avec l’hypothèse 4 (« le dernier obtient deux parties nulles contre deux des trois premiers joueurs »).

D’après (11), il en résulte que s6 + s8 = 5,5.

Comme dans le cas n°2, cela implique que s6 = 3,5, s8 = 2, s9 = 1,5 et s10 = 1.

Il reste donc s5 + s7 = 8.

s4 = 6, s6 = 3,5, (2) et (9) impliquent nécessairement que s5 = 5 et s7 = 3.

Mais les joueurs j1 à j4 ont battu j5 : s5 = 5 nécessite que j5 batte tous les joueurs j6 à j10, ce qui contredit l’hypothèse 4 (« le joueur classé en 5^ème position a obtenu deux parties nulles »).

Cas n°4 : s1 = 8,5 et s2 = 8

j1 bat j2 (une partie nulle contredirait l’hypothèse 4), par conséquent pour que s2 = 8, il est donc nécessaire que j2 batte tous les joueurs j3 à j10.

1 2 3 1 1 0,5

2 0 1

3 0,5 0

(3)

Compte tenu de l’hypothèse 4 (« le dernier obtient deux parties nulles contre deux des trois premiers joueurs »), cela implique nécessairement que les joueurs j1 et j3 ont obtenu chacun une partie nulle avec j10.

Pour que s1 = 8,5, il est donc nécessaire que j1 batte tous les joueurs j2 à j9.

Etant donné que le joueur j3 a été battu par les joueurs j1 et j2, et qu’il a obtenu une partie nulle avec j10, cela entraîne donc que s3 <= 6,5.

Combiné avec (2) et s3 + s4 = 12, nécessairement s3 = 6,5 et s4 = 5,5, ce qui implique une partie nulle entre les joueurs j4 et j5.

D’après (11), il en résulte que s6 + s8 = 6.

(2) et (8) impliquent que (s6, s8) = (4, 2) ou (3,5, 2,5).

Seul le premier couple est à retenir car le second contredirait l’hypothèse 4 (« le joueur classé en 5^ème position a obtenu deux parties nulles »).

s8 = 2, (2) et (7) impliquent que s9 = 1,5 et s10 = 1, d’où une partie nulle entre les joueurs j5 et j9.

Il reste donc s5 + s7 = 8.

s4 = 5,5, s6 = 4, (2) et (9) impliquent nécessairement que s5 = 5 et s7 = 3.

D’où la grille finale qui est unique et compatible avec toutes les conditions.

Partie 2

G. Kasparov (joueur A) possède 5 victoires, V. Anand (joueur B) détient 2 défaites et V. Topalov (joueur C) remporte le tournoi avec 7,5 points.

Voyons cela plus en détail…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

1 G. Kasparov R 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 8,5

2 V.Anand I 0 1 1 1 1 1 1 1 1 8

3 V.Topalov B 0 0 1 1 1 1 1 1 0,5 6,5

4 V.Kramnik R 0 0 0 0,5 1 1 1 1 1 5,5

5 P.Leko H 0 0 0 0,5 1 1 1 0,5 1 5

6 A.Morozevich R 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4

7 M.Adams GB 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3

8 P.Svidler R 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2

9 E.Bacrot F 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 1,5

10 A.Shirov E 0,5 0 0,5 0 0 0 0 0 0 1

Notation Désignation Relation vXY nombre de victoires de X contre

Y 0  vXY  jXY

vX nombre total de victoires de X vX = 

Y vXY

nXY nombre de parties nulles entre X et Y

(*) nXY = nYX

0  nXY  jXY nX nombre total de parties nulles

de X

nX = 

Y nXY

dXY nombre de défaites de X contre Y

(*) dXY = vYX

0  dXY  jXY dX nombre total de défaites de X dX = 

Y dXY

jXY nombre de parties jouées entre X et Y

(*) jXY = vXY + nXY + dXY

jXY = jYX

jX nombre total de parties jouées par X

jX = 

Y

jXY = vX + nX + dX

pX nombre total de points de X pX = vX + nX

2

(4)

Compte-tenu des relations (*), nous pouvons tout exprimer en fonction des jXY et vXY.

Pour simplifier les notations, posons dès maintenant

 



^{a = v}^{b = v}_{c = v}^AB_BC^AC

d = vBA

e = vCA

f = vCB

Les assertions de l’énoncé se traduisent par les relations suivantes :

« chaque paire se rencontre en sept parties » 



jAB = 7 jAC = 7 jBC = 7

 jA = 14 jB = 14 jC = 14

« Alain possède le plus grand nombre de victoires » 



vA > vB

vA > vC 



(1) a + b > d + c (2) a + b > e + f

« Bernard détient le plus petit nombre de défaites » 



dB < dA

dB < dC 



(3) a + f < d + e (4) a + f < b + c

« Claude remporte le tournoi » 



pC > pA

pC > pB 



(5) (e + f) – (b + c) > (a + b) – (d + e) (6) (e + f) – (b + c) > (d + c) – (a + f)

(3), (4) et [(2) + (5)]  (7) a + f < b + c < d + e (1), (2) et [(4) + (6)]  (8) c + d < e + f < a + b (7) + (8)  (9) c + f < a + d < b + e

(5) + (6)  (10) b + c < e + f

(8) et (10)  c < a  (11) c + f < a + f (7) et (10)  a < e  (12) a + b < b + e 0  c et 0  f  (13) 0  c + f

nAC = 7 – (b + e) et 0  nAC  (14) b + e  7

(13), (11), (4), (10), (2), (12) et (14)  0  c + f < a + f < b + c < e + f < a + b < b + e  7 



 

0  c + f  2 1  a + f  3 2  b + c  4 3  e + f  5 4  a + b  6 5  b + e  7

 b + c = 2  a + f = 1 et c + f = 0  a + b = 3  pas de solution

(5)

Réciproquement les deux solutions sont compatibles avec toutes les conditions initiales

Détail :

- A-B : 2 victoires de A, 2 (resp. 1) victoire(s) de B, 3 (resp. 4) parties nulles - A-C : 3 victoires de A, 4 victoires de C, pas de partie nulle

- B-C : 7 parties nulles

 b + c = 3 

 



0  c + f  1 1  a + f  2 4  e + f  5 5  a + b  6 6  b + e  7

o c + f = 0  c = f = 0 et b = 3 

 



_{4  e  5}^{1  a  2}

2  a  3 3  e  4

 a = 2 et e = 4

(5) et (6) 



1 > 5 – (d + 4)

1 > d - 2  d = 1 ou d = 2  deux solutions o c + f = 1  a + f = 2  a + b = 4  pas de solution

 b + c = 4  e + f = 5, a + b = 6 et b + e = 7  a + f = 4  pas de solution

BILAN RECAPITULATIF joueur

partie A B C

victoire 5 1 2 4

nulle 4 3 11 10 7

défaite 5 6 2 3

points 7 6,5 6,5 7 7,5