Division euclidienne
I Definitions
a) Un entier naturel est un nombre entier non nul
b) Soient a et b deux entiers naturels, (b non nul)
Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r qui vérifient :
a = b x q + r avec r < b
q est le quotient de la division euclidienne r est le reste
Exemple
7 personnes veulent se partager équitablement 160 pièces d’or.
On effectue la division euclidienne de 160 par 7
22 est le plus grand nombre de fois que 7 est contenu dans 160 Soit 160 = 7 x 22 + 6
b = 7 q = 22 r = 6
Chaque personne aura 22 pièces. Il restera 6 pièces (qu’on ne peut diviser)
II) Technique de la division
dividende diviseur 340 7 5462 37
−
quotient
Reste
Reste < diviseur …..< …..
…..< …..
Dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur
5462 = avec < ………
III Divisibilité
1) Définition
Si le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b est zéro, on dit que :
• a est divisible par b
• b est un diviseur de a
• a est un multiple de b
2) Exemples
12 est ……….. par 4 4 est un ……….. de 12 12 est un …………..….. de 4
3) Critères de divisibilité
• Si un nombre entier a pour chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8 alors ce nombre est divisible par 2 ; on dit que ce nombre est pair
Sinon il est impair
• Si il a pour chiffre des unités 0 ou 5 alors il est divisible par 5
• Si la somme de ses chiffres est divisible par 3 alors ce nombre est divisible par 3
• Si la somme de ses chiffres est divisible par 9 alors ce nombre est divisible par 9
• Si le nombre formé par les 2 derniers chiffres est divisible par 4 alors il est divisible par 4 4) Exemples
• 147 est divisible par 3, car 12 est un multiple de 3 (1+4+7 =12)
• Mais pas par 9, ni par 4, (car 47 n’est pas un multiple de 4) , ni par 2
IV Nombres premiers
Un nombre est premier lorqu’il n’est divisible que par 1 et lui-même Remarque
Il a exactement 2 diviseurs Exemples :
7 9
1 pas premier 0 infinité de diviseurs
Liste des nombres premiers inferieurs à 30 2, 3, 5, 7 , 11 , 13 , 17 , 23 , 29
V Division decimale
Quotient de nombres décimaux 1)Exemple On veut partager 10,8 kg de caviar entre 4 personnes
4× = 10,8 ; est le quotient de 10,8 par 4. On écrit = 10,8 : 4 = 2)Définition
Soient a et b deux nombres décimaux, (b est un entier différent de zéro) Le nombre qui multiplié par b est égal à a, est appelé quotient de a par b il est noté : b × = a
Exemple
Un bureau de change à Moscou vend des euros à 62 roubles par euro.
Combien d’euros peut-on acheter avec 27996 roubles et 10 kopecks ?
……….
On pose
Vérification ………..
×
Conclusion : ……….
3)Remarque
Le quotient de deux nombres n’est pas toujours un nombre décimal.
Quel est le quotient de 256 par 11 ?
La division décimale ne « …………... » pas : Le quotient de 256 par 11 n'a pas d'écriture décimale mais on peut en donner une valeur décimale approchée :
………
