G10306. Train Onze
Soit E l’ensemble des nombres entiers de 10 chiffres tous différents. Quelle est la probabilité qu’un nombre de E soit multiple de 11 ?
Solution
Un entier est multiple de 11 quand il y a une différence multiple de 11 entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair.
Le total de ces deux sommes est 45, impair, donc aussi leur différence, qui doit être 11 ou 33. Mais la somme de 5 chiffres distincts est comprise entre 10 et 35, d’où la différence 11 et les deux sommes sont 17 et 28.
Il y a 126 façons de répartir 10 objets en deux paquets de 5, et 11 façons de répartir les chiffres de 0 à 9 en deux paquets, l’un de somme 17 et l’autre de somme 28.
Chaque répartition permet de former le même nombre d’entiers, même avec la contrainte qu’un entier de 10 chiffres ne peut commencer par 0 : 5 ! 5 ! entiers quand le paquet contenant 0 est affecté aux chiffres de rang 1, 3, 5, 7, 9 à partir de la droite, et 5 ! 4 ! 4 entiers dans l’autre cas, avec 4 choix seulement pour le chiffre de gauche.
La probabilité cherchée est donc 11/126.
