Pôle SUD
26,04°
47,74°
286,22°
Campement
J’ai installé sur le méridien de Greenwich un campement à partir duquel je réalise une expédition au grand air faite de six tronçons. Sur les cinq premiers de dix kilomètres chacun je maintiens le cap successivement vers l’ouest, le sud, l’ouest, le sud, enfin l’ouest. Sur le sixième et dernier tronçon qui me ramène au campement, je garde toujours le cap plein nord. Je ne passe jamais deux fois par le même endroit. Déterminer la longueur du dernier tronçon et la latitude du campement.
D331
D331 L’expédition au grand air Problème de Diophante
L’expédition ne se déplace que suivant des parallèles et des méridiens de la sphère terrestre (de rayon R )T.
Un tronçon de 10 km suivant un méridien représente un delta de latitudes constant = arcsin(10/R )M T Puisque l’expédition revient sur le méridien de Greenwich en ne se déplaçant que vers l’ouest,
elle doit avoir effectué un nombre entier de tours de la Terre.
Et comme, elle ne passe jamais deux fois au même endroit, l’expédition doit n’avoir effectué qu’un seul tour.
Le dernier tronçon vaut 20 km
Un tronçon de 10 km suivant un parallèle représente un delta de longitudes qui dépend du parallèle!
L’équation
R .cos(x - )T M
10 +
R .cos(x)T
10 +
R .cos(x + )T M
10 = 2
se ramène à une équation de degré 3 (à coefficients transcendants) en cos(x):
R .cos (x) - 5R (R + 2 R - 100 ).cos (x) - 100 R .cos(x) + 500 = 0T3 3 T T T 2 2 T
Résolue numériquement en supposant R = 6356,752 km T (rayon terrestre polaire)
x = 89,89182313 degrés de latitude (pour le parallèle intermédiaire) - = arcsin(10/R ) = - 0,09013377 degrés M T
89,801689359 degrés de latitude sud
méridien de Greenwich 89,80°Sud
89,89°
89,98°
26,04°Ouest 73,78°Ouest
89°48’06’’
89°53’31’’
89°58’55’’
Campement Pôle
NORD
x = 89,89182313 degrés de latitude + = arcsin(10/R ) = + 0,09013377 degrés M T
89,9819569 degrés de latitude nord
286,22°Ouest
= 73,78°Est
286,22°
47,74°
26,04°
= 26,04°Est 333,96°Ouest
89,98°
89°58’55’’
89,89°
89°53’31’’
89,80°Nord 89°48’06’’
SUD
SUD NORDNORD
