E567. Une suite à 25 temps
Chacun des entiers de 1 à 25 est inscrit dans une des 25 cases du tableau suivant :
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … … 𝑎𝑖 … … 𝑎23 𝑎24 𝑎25
Pour chaque groupe de trois cases consécutives, on calcule la somme des trois nombres contenus dans les trois cases et on obtient 23 sommes 𝑆𝑗 pour 𝑗 = 1 à 23. Soit 𝑆 la plus grande de ces sommes.
Q1. On place les entiers dans les 25 cases de façon à obtenir la plus petite valeur possible 𝑆𝑚𝑖𝑛 de 𝑆.
Prouver que les nombres 𝑎1, 𝑎4, 𝑎7, . . . 𝑎3𝑘+1, . . . 𝑎25 sont alors tous supérieurs ou égaux à un nombre 𝑚 que l’on déterminera [*]
Q₂. Déterminer 𝑆𝑚𝑖𝑛 et donner une séquence possible des 𝑎𝑖 [***]
Q₃. Pour les plus courageux : avec les 𝑛 > 3 premiers entiers naturels inscrits dans 𝑛 cases, existe-t-il une formule générale qui exprime 𝑆𝑚𝑖𝑛 en fonction de 𝑛? [*****]
Source : d’après l’exercice n°3 proposé aux Olympiades académiques 2014 de Versailles.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Minoration des 𝑆
𝑚𝑖𝑛Supposons 𝑛 = 3𝑞. On a :
(3𝑞)(3𝑞 + 1)
2 = ∑ 𝑎𝑖 3𝑞
𝑖=1
= ∑(𝑎3𝑖−2+ 𝑎3𝑖−1+ 𝑎3𝑖)
𝑞
𝑖=1
≤ 𝑞𝑆
𝑆 ≥ ⌈9 2𝑞 +3
2⌉ Supposons 𝑛 = 3𝑞 + 1. Pour tout 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞, on peut écrire :
(3𝑞 + 1)(3𝑞 + 2)
2 = ∑ 𝑎𝑖
3𝑞+1
𝑖=1
= ∑(𝑎3𝑖−2+ 𝑎3𝑖−1+ 𝑎3𝑖)
𝑘
𝑖=1
+ 𝑎3𝑘+1+ ∑ (𝑎3𝑖−1+ 𝑎3𝑖+ 𝑎3𝑖+1)
𝑞
𝑖=𝑘+1
(3𝑞 + 1)(3𝑞 + 2)
2 ≤ 𝑘𝑆 + 𝑎3𝑘+1+ (𝑞 − 𝑘)𝑆 𝑎3𝑘+1≥(3𝑞 + 1)(3𝑞 + 2)
2 − 𝑞𝑆
Il existe 𝑞 + 1 nombres distincts de la forme 𝑎3𝑘+1.Le plus petit d’entre eux vaut donc au maximum 𝑛 − 𝑞.
2𝑞 + 1 ≥(3𝑞 + 1)(3𝑞 + 2)
2 − 𝑞𝑆
𝑆 ≥ ⌈9 2𝑞 +5
2⌉ Supposons 𝑛 = 3𝑞 + 2. Pour tout 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞, on peut écrire :
(3𝑞 + 2)(3𝑞 + 3)
2 = ∑ 𝑎𝑖
3𝑞+2
𝑖=1
= ∑(𝑎3𝑖−2+ 𝑎3𝑖−1+ 𝑎3𝑖)
𝑘
𝑖=1
− 𝑎3𝑘+ ∑(𝑎3𝑖+ 𝑎3𝑖+1+ 𝑎3𝑖+2)
𝑞
𝑖=𝑘
(3𝑞 + 2)(3𝑞 + 3)
2 ≤ (𝑞 + 1)𝑆 − 𝑎3𝑘
Il existe 𝑞 nombres distincts de la forme 𝑎3𝑘.Le plus grand d’entre eux vaut donc au minimum 𝑞.
(3𝑞 + 2)(3𝑞 + 3)
2 + 𝑞 ≤ (𝑞 + 1)𝑆 𝑆 ≥ ⌈9𝑞(𝑞 + 1) + 8(𝑞 + 1) − 2
2(𝑞 + 1) ⌉ 𝑆 ≥ ⌈9
2𝑞 + 4 − 1 (𝑞 + 1)⌉ = {
8 si 𝑞 = 1
⌈9
2𝑞 + 4⌉ si 𝑞 > 1 Nous avons ainsi établi des minorants de 𝑆 en fonction des valeurs possibles de 𝑛.
𝑛 = 4 𝑛 = 5 𝑛 = 6𝑡 𝑛 = 6𝑡 + 1 𝑛 = 6𝑡 + 2 𝑛 = 6𝑡 + 3 𝑛 = 6𝑡 + 4 𝑛 = 6𝑡 + 5 𝑆 ≥ 7 𝑆 ≥ 8 𝑆 ≥ 9𝑡 + 2 𝑆 ≥ 9𝑡 + 3 𝑆 ≥ 9𝑡 + 4 𝑆 ≥ 9𝑡 + 6 𝑆 ≥ 9𝑡 + 7 𝑆 ≥ 9𝑡 + 9
Valeur de 𝑆
𝑚𝑖𝑛et séquences 𝑎
𝑖Montrons que ces valeurs de 𝑆 sont effectivement atteintes et constituent les 𝑆𝑚𝑖𝑛 recherchés.
Pour cela, on donne pour chaque cas une séquence minimale possible des 𝑎𝑖. Pour 𝑛 = 4 :
𝑖 1 2 3 4 𝑎𝑖 4 1 2 3 𝑆𝑖−1 7 7
Pour 𝑛 = 5 :
𝑖 1 2 3 4 5 𝑎𝑖 5 2 1 3 4 𝑆𝑖−1 8 6 8 Pour 𝑛 = 6𝑡 :
𝑖 … 3k+1 3k+2 3k+3 … 3t+1 3t+2 3t+3 … 6t-3k-2 6t-3k-1 6t-3k … 𝑎𝑖 … 6t-2k 3t+k k+1 … 4t t+1 4t+1 … t+k+2 2t+k+1 6t-2k-1 … 𝑆𝑖−1 … 9t 9t+1 9t-1 … 6t+1 9t+2 8t+2 9t 9t+2 9t-1 Exemple pour 𝑛 = 24 :
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 𝑎𝑖 24 12 1 22 13 2 20 14 3 18 15 4 16 5 17 8 11 19 7 10 21 6 9 23 𝑆𝑖−1 37 35 36 37 35 36 37 35 36 37 35 25 38 30 36 38 37 36 38 37 36 38
Pour 𝑛 = 6𝑡 + 1 :
𝑖 … 3k+1 3k+2 3k+3 … 3t+3 3t+4 … 6t-3k-1 6t-3k 6t-3k+1 … 𝑎𝑖 … 6t-2k+1 3t+k k+1 … t+1 4t+2 … t+k+2 2t+k+1 6t-2k … 𝑆𝑖−1 … 9t+1 9t+2 9t … 9t+3 7t+3 9t+1 9t+3 9t+2 Exemple pour 𝑛 = 25 :
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 𝑎𝑖 25 12 1 23 13 2 21 14 3 19 15 4 17 16 5 18 8 11 20 7 10 22 6 9 24 𝑆𝑖−1 38 36 37 38 36 37 38 36 37 38 36 37 38 39 31 37 39 38 37 39 38 37 39
Pour 𝑛 = 6𝑡 + 2 :
𝑖 … 3k+1 3k+2 3k+3 … 3t+1 3t+2 3t+3 3t+4 … 6t-3k 6t-3k+1 6t-3k+2 … 𝑎𝑖 … 6t-2k+2 3t+k+1 k+1 … 4t+2 4t+1 t+1 3t … t+k+2 2t+k+1 6t-2k+1 … 𝑆𝑖−1 … 9t+3 9t+4 9t+2 … 9t+3 9t+4 8t+2 9t+1 … 9t+2 9t+4 9t+3 …
Exemple pour 𝑛 = 20 :
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 𝑎𝑖 20 10 1 18 11 2 16 12 3 14 13 4 9 15 6 8 17 5 7 19 𝑆𝑖−1 31 29 30 31 29 30 31 29 30 31 26 28 30 29 31 30 29 31
Pour 𝑛 = 6𝑡 + 3 :
𝑖 … 3k+1 3k+2 3k+3 … 3t+1 3t+2 3t+3 … 6t-3k+1 6t-3k+2 6t-3k+3 … 𝑎𝑖 … 6t-2k+3 3t+k+2 k+1 … 4t+3 t+1 4t+2 … t+k+2 2t+k+2 6t-2k+2 … 𝑆𝑖−1 … 9t+5 9t+6 9t+4 … 6t+4 9t+4 7t+4 … 9t+4 9t+6 9t+5 … Exemple pour 𝑛 = 21 :
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 𝑎𝑖 21 11 1 19 12 2 17 13 3 15 4 14 7 10 16 6 9 18 5 8 20 𝑆𝑖−1 33 31 32 33 31 32 33 31 22 33 25 31 33 32 31 33 32 31 33
Pour 𝑛 = 6𝑡 + 4 :
𝑖 … 3k+1 3k+2 3k+3 … 3t+3 3t+4 … 6t-3k+2 6t-3k+3 6t-3k+4 … 𝑎𝑖 … 6t-2k+4 3t+k+2 k+1 … t+1 4t+3 … t+k+2 2t+k+2 6t-2k+3 … 𝑆𝑖−1 … 9t+6 9t+7 9t+5 … 9t+6 6t+8 … 9t+5 9t+7 9t+6 … Exemple pour 𝑛 = 22 :
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 𝑎𝑖 22 11 1 20 12 2 18 13 3 16 14 4 15 7 10 17 6 9 19 5 8 21 𝑆𝑖−1 34 32 33 34 32 33 34 32 33 34 33 26 32 34 33 32 34 33 32 34
Pour 𝑛 = 6𝑡 + 5 :
𝑖 … 3k+1 3k+2 3k+3 … 3t+4 3t+5 3t+6 3t+7 … 6t-3k+3 6t-3k+4 6t-3k+5 … 𝑎𝑖 … 6t-2k+5 3t+k+2 k+1 … 4t+3 4t+4 t+2 3t+1 … t+k+3 2t+k+2 6t-2k+4 … 𝑆𝑖−1 … 9t+7 9t+8 9t+6 … 9t+8 9t+9 8t+7 9t+6 … 9t+7 9t+9 9t+8 … Exemple pour 𝑛 = 23 :
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 𝑎𝑖 23 11 1 21 12 2 19 13 3 17 14 4 15 16 5 10 18 7 9 20 6 8 22 𝑆𝑖−1 35 33 34 35 33 34 35 33 34 35 33 35 36 31 33 35 34 36 35 34 36
Conclusion
On obtient finalement une expression générale de 𝑆𝑚𝑖𝑛 en fonction de 𝑛 pour tout 𝑛 :
𝑛 = 4 𝑛 = 5 𝑛 = 6𝑡 𝑛 = 6𝑡 + 1 𝑛 = 6𝑡 + 2 𝑛 = 6𝑡 + 3 𝑛 = 6𝑡 + 4 𝑛 = 6𝑡 + 5 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 7 𝑆𝑚𝑖𝑛= 8 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 9𝑡 + 2 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 9𝑡 + 3 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 9𝑡 + 4 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 9𝑡 + 6 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 9𝑡 + 7 𝑆𝑚𝑖𝑛= 9𝑡 + 9 En particulier, pour 𝑛 = 25, on a 𝑆𝑚𝑖𝑛= 39.
