Sur un certain jacobien

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A UTONNE

Sur un certain jacobien

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 16 (1897), p. 376-379

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[03]

S o i e n t

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suit

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IIS

Pv

CERTAIN JAC0B1EN;

ii M . \UTONNE.

dX

00

et les r e l a t i o n s ( / , ƒ = i , 2 , . . . , rc)

(3)

( 377 )

A titre d'exercice sur le calcul des déterminants, je me propose de déterminer le jacobien

Y — f)(

i, . . . , Xn)

La diflërentiation du système (o) fournit immédiate- ment

Le déterminant à n2 éléments P des pij se compose d'une suite de déterminants constitués de la façon sui- vante : on remplace dans ô0 0, dans a colonnes, les élé- ments a par les éléments Ao^/y; dans n — a colonnes, les éléments a par les éléments — A/a⁽⁾y. Tous les déter- minants à quatre éléments

i aoj

Oj'

sont nuls ; donc il suffira de prendre n — a = o ou i et a = n ou n — i . Bref

A/ ((iJ+\ - - - &in

Dans Qy retranchons de la y^iome colonne les éléments des autres, multipliés respectivement par xt, . . . , .ry_n

•^rj+\ •) . . . , # « • Il ne restera de A/que ctijXj + a^l{s.

Qy = Xj

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Le premier determinant est b00 } le second, faisant venir la flime colonne au premier rang par j — i déran- gements d'indices, est

Le coefficient de (— i )7"1 est (— i)y"&oy 5 bref

= ^oo(Ao —a()0) —(A —a

y — A26oo — A»

P = A J ^ o o - A J - U A o ^ o — A ) = A ^ - Î A ;

enfin

Y = -TTT^J » expression homogène de degré zéro par rapport aux a.

Résolvons les équations (o) par rapport aux x \

i i

11 viendra

B étant le déterminant des b (système adjoint des a).

Remplaçons dans Bo les y par leur expression en x. II viendra

Ao -^y^'O (^àa>JxJ •+• at

l

i A /) X T rt . _i_ A

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Alors

XY = i, ce qui devait être.