N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
H. D ELORME
Solution des questions américaines n
◦3 et 5
Nouvelles annales de mathématiques 2
esérie, tome 1
(1862), p. 176-179<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1862_2_1__176_1>
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SOLUTION DES QUESTIONS AMÉRICAINES N
o s5 ET 5 ;
PAR M. H. DELORME.
Question 3.
Entre les deux relations
xcos (<p-Ha) 4- jsin(<$> -+- a) = «sin
y cos(ep -+- a) — x sin (<p + a) = la cos2«p (*),
(*) C'est par erreur qu'il y a dans l'énoncé
y cos (p-f-a) H-x sin(ç>-f-«) = 2a cos2y.
{ »77 )
on élimine <p. Démontrer que l'on obtient la relation
2 2 2
(ƒ sina-j- .r cosa)3 -h (a? sin a — ^ c o s a j3 = ( 2 0 ) ^ Nous pouvons considérer la première équation comme représentant une droite variant de position pour les dif- férentes valeurs de cp.
Remarquons que la seconde équation est précisément la dérivée par rapport à cp de la première. Eliminer cf entre ces deux équations revient donc à trouver l'enve- loppe des droites représentées par la première. Changeons les axes des coordonnées et prenons pour nouveaux axes les axes rectangulaires définis, Taxe des x par l'équation
y sin a •+• x cosa = o, et l'axe des j ' par l'équation
y cosa -j- x sin a = o.
Ce changement d'axes revient à faire tourner les axes de l'angle a et à changer le sens des y positifs. La première équation devient
( / sin a -h x cosa) cos ( y -+• a) -H (.r sina — / c o s a ) sin (f-f- a) = a sin2<p.
Cherchons l'ordonnée et l'abscisse à l'origine y —— na cosa>,
x1 -f- y2 = /|«2.
Les droites définies par l'équation précédente sont donc des droites dont la partie interceptée entre les deux axes est constante et égale 2 a. On sait que Fenveloppe de pa- reilles droites est
x3 -hy' = ( 2 Û ) "J.
Ann. de Malhémat., 2e série, t. Ie r. (Mai 1862. ) I 3
Revenant aux anciens axes, on obtient
(jsina •+• xcosa)* •+- (xsina —y cosa)3 == (ia)'%
ce qui est la relation demandée.
Question 5.
Les ellipses définies par l'équation ax1 -+- by2 — i,
dans laquelle a et b sont des variables assujetties à la relation b — a = c, sont coupées par la courbe
sous un angle dont la tangente est - (*).
Soit Y l'angle des deux tangentes aux courbes au point commun x^y\ soient a et a' les angles des tangentes avec Taxe des x. On a
tança — tança' tang V = £ £—-,,
° i - h tang a tang a
Pour avoir tang a', remarquons que l'équation de la courbe donnée peut s'écrire
L.r -h ^ L C ~ o,
(*) L'énoncé était encore inexact ; il y a a — b = c e t - au lieu de fc—«=c et d e -
tang «'=-£'.
i
tang a' = •=- ,x i cy cry
ax i I
by c.vy y b — a ex2
ax a.- a ~h bcy2
bcxy'1
xr y b — acx'1 — n — bcy2 -\- a -\- bcy*
tang V = ^~
D x a-v- bcy2
Mais le point x,y étant sur l'ellipse,
acx1 -f- bcy2 = c, b — a — c -f- a -h bcy2 y
— — - ,
a -h bcy2 x et comme b — a = c,
tangV— "-•
C. Q. F . D .
