Solution de la question 149

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

DE P ERRODIL

Solution de la question 149

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 6 (1847), p. 367-368

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— 3fe7 —

SOLUTION DE LA QUESTION 149.

P A R MC. D E P E R R O D I L , élève du collège de la Flèche.

(1) tf>'-h&a.ra = a*b*j étant l'équation de la courbe ; a, p les coordonnées du point de concours des quatre normales, les quatre points donnés sont situés sur la courbe

(2) c*xy—a%ay + U $x = 0.

Éliminons y entre (t) et (2).

Soit (3) (y—qY + {pc— pY = ^a, le cercle qui passe par trois points quelconque des points donnés. Éliminons y entre (1) et (3).

(B) c4.r4—

Dans cette dernière équation

Il reste à démontrer que pour des valeurs convenables de p, q et R , les équations (A) et (B) ont les mêmes racines au signe près de l'une d'elles. Supposons donc que/?, q, R soient des valeurs réellement capables de remplir ces conditions.

Ajoutons (A) et (B), les derniers termes se détruiront, et Ton pourra diviser par x.

( C ) J ^ ^ ^ J

+ 2 a4( c2* — 2 R » = 0 .

tietranchoris (B) de (A), nous aurons unis équation qui devra être identique âf ce la précédente.

(3)

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-f 2sa ( c ' a + 2 R » j r — aa( R4— 4 ^ V + a V ) = 0 . Les équations de condition d'identité seront, en y joi- gnant celle qui indique que les derniers termes de A et de B sont de signes contraires :

(1) 4ay+Wy+2c'R3--(aV+J'F—C4)= 2tfa(4y—aa) (2)

(3) . . . . 2

(4) R* = 4 6 y + * V .

Je dis qu'effectivement (1) est conséquence des trois autres.

Substituant R4 tirée de [\) dans le second membre de l'é- quation (3), et réduisant, il vient : Ra(2/?—^) = C3K.

Substituant dans le second membre de l'équation (2), il de- vient :

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ou

Par conséquent l'équation (2; devient, en remplaçant R4 :

ou bien, ajoutant 4aa/?a aux deux membres,

4 a y + 4 i y + 2 c9R * — ( a V + i'p1—c4)=2aa(4/i1—a3).

Résultat parfaitement identique avec (1).