Chapitre 1 Arithmétique I) Rappels

Chapitre 1 Arithmétique I) Rappels

Il existe différents ensembles de nombres, qui s’imbriquent les uns dans les autres :

Rappel 1

ℕ

entiers naturels 1 ; 3 ; 40 587

ℤ

−5 ; −412

𝔻

décimaux

2,4 ; 5,678

−4,541

ℚ

Fractions rationnelles

15

23 ; − 3

4 ; 16 3

ℝ

réels

𝜋 ; 2

Pour additionner/soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur :

On remarque qu’il y a des nombres qui ne sont pas rationnels (on ne peut pas les écrire sous forme d’une fraction ; la démonstration est un petit peu compliquée pour des élèves de 3^ème).

Rappel 2

7

3 + 8

15 = 7 × 5

3 × 5 + 8

15 = 35 + 8

15 = 43 15

5

8 + 7

12 = 5 × 3

8 × 3 + 7 × 2

12 × 2 = 15 + 14

24 = 29 24

8 et 12 ne sont pas dans la table l’un de l’autre. Il vaut mieux chercher le plus petit dans les 2 tables, c’est plus facile :

Table de 8 : 8 – 16 – 24 – 32 Table de 12 : 12 – 24

Hors programme : 24 est appelé le plus petit multiple commun (PPCM) de 8 et de 12.

Activité 2A page 50 dans le cahier d’exercices.

II) Arithmétique

1) Rappel : la division euclidienne

Définition 1 : si 𝑎 = 𝑏 × 𝑘 ou 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑘 avec 𝑘 entier naturel alors

• 𝑎 est un multiple de 𝑏 ou

• 𝑎 est divisible par 𝑏 ou

• 𝑏 est un diviseur de 𝑎 ou

• 𝑏 divise 𝑎.

𝑎 est un entier naturel et 𝑏 un entier naturel non nul.

Exemples :

1 274 est-il un multiple de 49 ?

1 274 ÷ 49 = 26 donc 1 274 = 49 × 26

1 274 est donc un multiple de 49. On peut dire également :

• 1 274 est divisible par 49

• 49 est un diviseur de 1 274

• 49 divise 1 274.

1 974 est-il divisible par 84 ?

1 974 ÷ 84 = 23,5 et 23,5 n’est pas un entier naturel.

1 974 n’est pas divisible par 84 (ou 84 n’est pas un diviseur de 1 974, ou 1 974 n’est pas un multiple de 84).

1

2

Définition 2 : la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏, c’est trouver deux entiers naturels 𝑞 et 𝑟 tels que

• 𝑎 = 𝑏 × 𝑞 + 𝑟

• 𝑟 < 𝑏

𝑞 est appelé le quotient et 𝑟 le reste.

1

𝑎 𝑟 𝑏 𝑞

Exemples :

Effectuer la division euclidienne de 183 par 12.

5 12 183

6 3 183 = 12 × 15 + 3 avec 3 < 12 3

1

278 = 6 × 45 + 8 ; quelle(s) division(s) euclidienne(s) cette égalité représente-t-elle ?

8 est le reste. On a : 8 < 45 mais 8 > 6 donc l’égalité représente la division euclidienne de 278 par 45 (mais pas celle de 278 par 6).

2

Remarque :

• Si 𝑏 et 𝑐 sont des multiples de 𝑎, alors 𝑏 + 𝑐 et 𝑏 − 𝑐 sont aussi des multiples de 𝑎.

Preuve : 𝑏 = 𝑎 × 𝑚 et 𝑐 = 𝑎 × 𝑛 alors

𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑚 + 𝑎 × 𝑛 = 𝑎 × 𝑚 + 𝑛 et 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 × 𝑚 − 𝑎 × 𝑛 = 𝑎 × (𝑚 − 𝑛)

Activité 3A page 50 dans le cahier d’exercices.

2) PGCD de deux entiers naturels

Définition : le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Diviseur Commun.

Remarques : avec 𝑎 et 𝑏 des entiers naturels

• si 𝑏 divise 𝑎 alors : PGCD 𝑎 ; 𝑏 = 𝑏

Preuve : 𝑏 divise 𝑎 et 𝑏 se divise lui-même, donc c’est bien un diviseur ; et c’est le plus grand car on ne peut pas avoir un diviseur plus grand que le nombre lui-même, donc que 𝑏.

• PGCD 𝑎 ; 𝑏 = PGCD 𝑏 ; 𝑎

Théorème 1 : 𝑎 et 𝑏 entiers naturels avec 𝑎 ≥ 𝑏 On a : PGCD 𝑎 ; 𝑏 = PGCD 𝑏 ; 𝑎 − 𝑏

Preuve : c’est grâce à la remarque faite dans le 1).

Soit 𝑛 le PGCD(𝑎 ; 𝑏). Alors 𝑎 est un multiple de 𝑛 et 𝑏 aussi, donc 𝑎 − 𝑏 est un multiple de 𝑛 aussi d’après la remarque.

Donc 𝑛 est un diviseur commun à 𝑏 et 𝑎 − 𝑏.

On peut montrer que c’est le plus grand en raisonnant par l’absurde (hors programme).

Méthode des soustractions successives : Déterminer PGCD(189 ; 693) :

• 693 − 189 = 504 donc PGCD 693; 189 = PGCD(189 ; 504)

• 504 − 189 = 315 donc PGCD 504 ; 189 = PGCD(189 ; 315)

• 315 − 189 = 126 donc PGCD 315 ; 189 = PGCD 189 ; 126

• 189 − 126 = 63 donc PGCD 189 ; 126 = PGCD 126 ; 63

• Or 63 est un diviseur de 126 ( 126 = 63 × 2) donc PGCD 126 ; 63 = PGCD 189 ; 693 = 63

Théorème 2 : 𝑎 et 𝑏 entiers naturels avec 𝑎 ≥ 𝑏

On a : PGCD 𝑎 ; 𝑏 = PGCD 𝑏 ; 𝑟 où 𝑟 est le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.

Preuve : hors programme, mais l’idée principale d’une preuve reste toujours la remarque du 1) et le raisonnement par l’absurde.

Remarque :

Le PGCD est alors le dernier reste non nul.

Méthode : algorithme d’Euclide Déterminer PGCD(189 ; 693) :

•

•

•

1 -567 3

126

189 693

Donc PGCD 693; 189 = PGCD(189 ; 126)

-126 63

2 126 189

Donc PGCD 189; 126 = PGCD(126 ; 63) -126

0

63 126

Donc PGCD 126; 63 = PGCD 189 ; 693 = 63 3 calculs contre 5 avec la 1^ère méthode…

III) Simplification d’une fraction

Définition : Si deux entiers naturels ont leur PGCD égal à 1, alors ils sont « premiers entre eux ».

Exemples :

45 et 91 sont-ils premiers entre eux ?

91 = 45 × 2 + 1 donc PGCD 91 ; 45 = PGCD 45 ; 1 = 1 Donc oui ils sont premiers entre eux.

1

426 et 568 sont-ils premiers entre eux ?

426 et 568 sont divisibles par 2 (car ils sont pairs) donc le Plus GRAND Diviseur Commun est au moins supérieur ou égal à 2, donc ils ne sont pas premiers entre eux.

2

3 × 5 × 5

3 × 7 × 5 =

Définition : une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemples :

Rendre la fraction ₁₀₅⁷⁵ irréductible.

On décompose chaque partie en produit de facteurs les plus petits possibles et on simplifie :

75

105 =

Donc ₁₀₅⁷⁵ = ⁵

7

1

15 × 5

21 × 5 = 5

7

2 Rendre la fraction ¹³⁶₇₈₂ irréductible.

On calcule PGCD 782 ; 136 :

782 = 136 × 5 + 102 donc PGCD 782 ; 136 = PGCD(136 ; 102)

136 = 102 × 1 + 34 donc PGCD 136 ; 102 = PGCD(102 ; 34)

102 = 34 × 3 + 0 donc PGCD 102 ; 34 = PGCD 782 ; 136 = 34

On peut donc diviser numérateur et dénominateur par 34 : 136

782 = Et la fraction obtenue est irréductible.

136 ÷ 34

782 ÷ 34 = 4 23

Définition : un nombre entier naturel est dit « premier » s’il n’admet comme diviseur que 1 et lui-même.

Remarque :

Un nombre premier est premier avec tous les autres nombres.

Exemples :

11 est premier (il n’y a que 1 et 11 qui peuvent diviser 11) mais pas 18 (car il est divisible par 6, par exemple).