Rappel : réduire une expression c'est effectuer tous les calculs possible et simplifier son écriture.
Exemple : 3 × 4 x + 6 + x = ... x + 6 +x = …. x + 6 I Développements :
Développer, c'est transformer un ……….. en une …………... que l'on doit toujours réduire.
a)Développements simples : k (a + b) = k × a + k × b Exemples :
3 (x + 2) = ………..
(3 - x) x = ………...
- 2 ( 5 – a ) = ………..
= - 10 + 2a
b)Développements doubles ( ou double distributivité) : (a + b) (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d (a + b) (c - d) = a × c ... a × d ... b × c ... b × d (a - b) (c - d) = a × c ... a × d ... b × c ... b × d Exemples :
(2x - 3) (x + 2) = 2x…... + …. x…... - 3...x - ……….
= 2x2 + x - 6
(-7x + 2) (x - 5) = -7 x……... …. x…... + 2 ...x ……...
= -7x2 + 37x – 10 – (2 x - 3) (x + 2) = -( 2 x2 + x – 6)
= ...2 x² ... x ... 6
1+ 2(2x−3)(x+2)=1+2(2x2+x –6)
= 1+...x2+...x –....
= 4x2+2x−11 on a ordonné les puissances de x.
c) Développer avec les identités remarquables :
Méthode: identifier a, b puis remplacer
Exemples :
1) ( g + 6 ) ² = g ² + 2 × ... × ...+...² = g² + …..+ …. identification de a = .. et b = . ; (5m + 2 )² = (…..)² + 2 × ...× ... + ….² = …..m² + …m + .. '''' de a = .. et b = ..
( 1 + 4c)² = ...² + 2 × ... × ... + (….)² = ... + ..c + …. c² '''' de a =... et b = ...
2) ( g – 6 )² = g² …. 2 × g × 6 …. 6² = g² ... 12g …. 36 '''' de a = ..et b
= ..
(5m - 2 )² = (5m)² ….. 2 × 5 × 2 ... 2² = 25 m² ... 20m ... 4 '''' de a = ….et b = ...
( 1 - 4c)² = 1² ... 2 × 1 × 4c ... (4c)² = 1 ... 8c ... 16 c² '''' de a = ...et b = ...
3) (g – 6 ) ( g + 6 ) = ...² – ...² = g² – ... '''' de a = ... et b = ;.
( 5 m – 2 ) ( 5 m + 2 ) = (...)² ...² = ...m² ... '''' de a = ... et b = ...
( 1 – 4c) ( 1 + 4c) = ...² ... ( ...) ² = ...c² '''' de a = ...et b = ….
Chapitre 6 : calcul algébrique
Identités remarquables : Soient a et b deux nombres quelconques : 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 3) (a - b) (a + b) = a2 - b2
II Factorisations :
Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.
Exemples : a b + a c = a ( b + c)
4 × a + 4 × 7 = (a + a + a + a) + (7 + 7 + 7 + 7) = a + a + a + a + 7 + 7 + 7 + 7 = (a + 7) + (a + 7) + (a + 7) + (a + 7) = 4 × (a + 7)
1) Factoriser avec les Identités remarquables (si le cas de l'exemple ne fonctionne pas) :
Méthode: identifier a et b puis remplacer
Exemples de factorisation : a²-b² :
g² – 36 = g² – 6² = (g – 6 ) ( g+6)
16c² – 1 = ( 4c)² -1² = ( 4c- 1 ) ( 4 c + 1 )
( 7 x – 3 ) ² – 9 = ( 7 x – 3 ) ² – 3² = [ (7 x – 3) -( – 3) ] [(7 x – 3 ) + ( – 3 ) ] = ( 7 x – 3 + 3 )(7 x – 3 – 3) = 7x ( 7 x – 6 )
(2x – 5 )2 - (3x + 1)2 = [(2x – 5 ) - (3x + 1)] [(2x – 5 ) + (3x + 1)] = (2x – 5 - 3x – 1) (2x – 5 + 3x + 1)
= ( - x – 6 ) ( 5 x – 4 ) Avec a2 + 2ab + b2 :
g² + 12 g + 36
= g ² + 2 × g × 6 + 6²
= ( g + 6 ) ²
25 m² + 20m + 4
= (5m)² + 2 × 5 m× 2 + 2²
= (5m + 2 )²
Avec a2 - 2ab + b2 : g² - 12 g + 36
= g ² - 2 × g × 6 + 6²
= ( g - 6 ) ² 25 m² - 20m + 4
= (5m)² - 2 × 5 m× 2 + 2²
= (5m - 2 )²
2) Autres méthodes de factorisation : a) Il y a un facteur commun évident :
Pour factoriser : 5 (3x + 1) + (3x + 1) (2x -3)
1) On cherche et on souligne le facteur commun : = 5 (3 x + 1) + (3 x + 1) (2x -3) 2) On place le facteur commun devant, et on
recopie dans l'ordre le reste de l'expression dans
des crochets : = (3x + 1) [ 5 + ( 2x – 3) ]
3) On simplifie l'expression entre crochets : = ( 3x + 1) ( 5 + 2x -3 )
= ( 3x + 1) ( 2x + 2 ) Autres exemples :
3x - 3 = 3 (x - 1)
3x - 3 (1 + 2x) = 3 […...]
= 3 (…...)
= 3 (-x – 1)
( 2x + 1 )² – 5 ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1)– 5 ( 2 x + 1)
= ( 2 x + 1) [ …... ]
= ( 2 x + 1) ( …...) Identités remarquables : dans le sens de la factorisation.
1) a2 + 2ab + b2= (…...)2 2) a2 - 2ab + b2 = (…...)2 3) a2 – b2 = (a …..b) (a …. b)
= ( 2 x + 1) ( 2 x - 4 )
b) Il faut faire apparaître un facteur commun (méthode experte ) : Exemples :
Il se cache derrière l'un de ses multiples : (5x + 5) (3 - x) + (x + 1) (7x + 3)
(6x + 2) (3 - x) + (2x + 1) (-2x + 1) (x + 3) (5x + 1) + (4x + 12) (10x + 1)
Il se cache derrière son opposé : (x - 2) (4x + 1) + (3x + 4) (2 - x) (3x - 1) (2x + 1) + (2 + 5x) (-3x + 1) (x - 1) (3x + 2) + (1 - x) (5x + 2)
