x 6= y ∈ R d, onpose

1.1. Solution fondamentale et fontion de Green. Étantdonnée

x 6= y ∈ R ^d

, onpose

Γ(x, y) = Γ(|x − y|) = ( 1

2π log |x − y|

^si

d = 2,

1

d(2−d)w d |x − y| ^2−d

^si

d ≥ 3.

Cette fontion est appelée la solution fondamentale de l'équation de Laplae. La fontion

x 7→ Γ(x, y)

^est harmonique.

Proposition 1.1 (Formule de représentation de Green). Soit

u ∈ C ² (Ω) ∩ C ¹ (Ω)

^{. Pour}

haque

y ∈ Ω

^,

u(y) =

Z

∂Ω

(u(x)∂ n ^x Γ(x, y) − Γ(x, y)∂ n ^x u(x)) ds(x) + Z

Ω

Γ(x, y )∆u(x) dx.

Preuve. On pose

Ω ǫ = Ω \ B(y, ǫ)

^{et onutilise la deuxièmeidentité de Green :}

Z

Ω ^ǫ

(v∆u − u∆v )dx = Z

∂Ω ^ǫ

(v∂ n u − u∂ n v) ds(x),

pour les fontions

u

^et

x 7→ v(x) := Γ(x − y)

^:

Z

Ω ^ǫ

Γ∆u dx = Z

∂Ω ^ǫ

(Γ∂ n u − u∂ n Γ) ds

= Z

∂Ω

(Γ∂ n u − u∂ n Γ) ds(x) − Z

S(y,ǫ)

(Γ∂ n u − u∂ n Γ) ds(x)

| {z }

−→0−u(y)

.

♣

Corollary 1.2. Soit

u

^{une fontion harmonique sur}

Ω

^{. Alors}

u

^{est de lasse}

C ^∞

^.

Preuve. Pour haque boule

B (y, r) ⊂ Ω

^{, la} proposition préédente montre que

u(y) = Z

S(y,r)

(u(x)∂ n Γ(x, y) − Γ(x, y)∂ n u(x)) ds(x).

Il sut maintenant de vérier queles fontions

y 7→ Γ(x, y), y 7→ ∂ n ^x Γ(x, y)

^{sont lisses pour}

x ∈ S(y, r)

^.

♣

Proposition 1.3. Soit

y ∈ Ω

^{. Soit}

h y ∈ C ¹ (Ω) ∩ C ² (Ω)

^{une fontion} harmonique. Pour

x 6= y

^{, posons}

G(x, y) = Γ(x, y) + h y (x).

On a alors

u(y) = Z

∂Ω

(u∂ n G − G∂ n u) ds + Z

Ω

G∆u dx.

Preuve.

Exerie 1.

♣

Silafontion

G(x, y)

^{est déniepour haque}

x 6= y

^{,s'annulepourhaque}

x ∈ ∂ Ω

^{, elleest}

appelée fontion de Green de

Ω

^.

Nousne prouverons pas le théorème suivant.

Théorème 1.4. Si

Ω

^{est un domaine borné dont la frontière est susamment régulière,}

alors il existe une fontion de Green sur

Ω

^.

Exemple 1.5 (Fontionde Green laboule

B (0, R)

^{). Étant donné}

y ∈ R ^d

, posons

¯ y =

( _{R 2}

|y| ² y

^si

y 6= 0,

∞

^si

y = 0.

La fontion de Green de la boule

B(0, R)

^est

G(x, y) =

( Γ(|x − y|) − Γ( ^|y| _R |x − y|) ¯

^si

y 6= 0, Γ(|x|) − Γ(R)

^si

y = 0.

Exerie 2. Soit

G(x, y)

^{la fontion de Green de la boule}

B (0, R)

^{. Montrez que}

∂ n x G(x, y ) = R ² − |y| ² dw d R|x − y| ^d .

Lenoyau de Poisson de laboule

B(0, R)

^est

P (x, r) = ∂ n ^x G(x, y) = R ² − |y| ² dw d R|x − y| ^d .

Théorème 1.6. Soit

f ∈ C ⁰ (S(0, R))

^{. La fontion}

u : B(0, R) → R

dénie par

u(y) = (R

S(0,R) P (x, y) ds(x)

^si

y ∈ B (0, R),

f(y)

^si

y ∈ S(0, R)

est harmonique sur

B (0, R)

^{et ontinue sur}

B(0, R)

^.

Jusqu'àmaintenantnousavionsmontrezqu'unefontionharmoniquepeutêtrereprésen-

téepar une telleformule. Ce théorème estplus puissant,il montre en partiulierque

haque fontion ontinue sur la sphère admet une extension harmonique dans la

boule.

Preuve. On a déjà montré que si

u ∈ C ² (Ω) ∩ C ¹ (Ω)

^{, alors ette formule est vériée. En}

partiulier, en utilisant

u(x) = 1

^{, ondéduit quepour haque}

y ∈ B (0, R)

^,

Z

S(0,R)

P (x, y) ds(x) = 1.

End'autres mots

P (x, y) ds(x)

^{est unemesure de} probabilitésur lasphère

S(0, R)

^{. Lorsque}

y

^{s'approhe de}

y o ∈ S(0, R)

^{, la mesure}

P (x, y ) ds(x)

^{tend vers une mesure de Dira en}

y 0

^.

♣

1.2. Le noyau de Poisson en dimension

d = 2

^{. Dans e as, l'analyse omplexepermet}

une intuition supplémentaire.

Étant donné

ξ ∈ D

,l'appliation

T = T ξ : D → D

déniepar

T ξ (z) = z + ξ ξz + 1

est unbiholomorphismetelque

T (0) = ξ

^{dontl'inverse est}

T −ξ

^{. Soit}

u ∈ C ² ( D ) ∩ C ⁰ ( D )

^une

fontionharmonique. Lapréompositionde

u

^parunbiholomorphismeestaussiharmonique.

Il déoule donde lapropriété de lamoyenne que

u(ξ) = u ◦ T (0) = 1 2π

Z

S ¹

u ◦ T ds.

Exerie 3. Montrez que

Z

S ¹

u ◦ T ξ ds = Z

S ¹

u(z)|T _−ξ ^′ (z)| ds(z).

On alule failement

T _ξ ^′ (z) = 1 − |ξ| ² (ξz + 1) ² .

En partiulier,pour

z ∈ S ¹

^,

|T _−ξ ^′ (z)| = 1 − |ξ| ²

(1 − ξz)(1 − ξz) = 1 − |ξ| ²

(1 − ξz − ξz + |ξ| ² ) = 1 − |ξ| ²

|ξ − z| ² .

On déduit don

u(ξ) = Z

S ¹

u(z) 1 − |ξ| ² 2π|ξ − z| ² .

Qui fait apparaître de nouveau le noyaude Poisson.

Exerie 4. Érivez le noyau de Poisson du disque de rayon

R

^{en oordonnées polaires.}

1.3. La propriété de la moyenne aratérise les fontions harmoniques.

Théorème 1.7. Une fontion ontinue

u : Ω → R

est harmonique si et seulement si pour haque boule

B(y, r) ⊂ Ω

^,

u(y) = 1 dw d r ^d−1

Z

S(y,R)

u ds.

Preuve. Dénissons

φ : (0, ∞) → R

par

φ(t) =

( c exp ( _t 2 ¹ −1 )

^si

t < 1,

0

^sinon

.

La onstante

c

^{est hoisie de telle sorte que}

R

R ^d φ(|x|) dx = 1

^{. La fontion}

x 7→ φ(|x|)

^est

lisse. Étant donné

f ∈ L ¹ (Ω)

^{, ondénit une} régularisationde

f

^{par la onvolution}

f r (y) = 1

r ^d Z

Ω

f(x)φ(|x − y|/r) dx.

Pourlafontiondonnée

u

^{donnéedansl'énonéduthéorème,onobtientenutilisant}l'intégration polaire

u r (y) = 1 r ^d

Z

B(y,r)

u(x)φ(|x − y|/r) dx

= 1 r ^d

Z r α=0

φ(α/r) Z

S(y,r)

u(x) ds(x)

dα

= 1 r ^d

Z r α=0

φ(α/r)u(y)dw d α ^d−1 dα

En posant

β = α/r

^onobtient

u r (y) = u(y)

Z 1 β=0

φ(β)dw d β ^d−1 dβ = u(y) Z

B(0,1)

φ(|x|) dx = u(y).

La fontion

u

^{est don égale à sa} régularisation. En partiulier, elle est de lasse

C ^∞

^{. En}

utilisantlapreuve de la propriété de la moyenne (Théorème1.2), on voit

Z

B(y,r)

∆u = Z

∂B(y,r)

∂ ν u ds = r ^d−1 ∂ r

r ^1−d

Z

∂B(y,r)

u ds

.

Orla fontion

u

^{vérie la propriété de la moyenne par hypothèse. Don}

Z

∂B(y,r)

u ds = r ^d−1 dw d u(y).

D'où

∂ r

r ^1−d

Z

∂B(y,r)

u ds

= 0.

On a don nalement

R

B(y,r) ∆u = 0

^{pour haque boule}

B(y, r) ⊂ Ω

^.

♣

Exerie 5. Étant donnée

u, v ∈ C ¹ (Ω) ∩ C ² (Ω)

^{, montrez la deuxièmeidentité de Green :}

Z

Ω ^ǫ

(v∆u − u∆v )dx = Z

∂Ω ^ǫ

(v∂ n u − u∂ n v) ds(x),

Exerie 6.

Déterminezla fontion de Green du demi plan supérieur

H = {z ∈ C :

^im

(z) > 0}.

Peut-on en déduire une formule représentant les valeur d'une fontion harmonique

u ∈ C ⁰ ( H ) ∩ C ² ( H )

^{à partir des valeurs de}

u

^{sur l'axe réel ?}

Exerie 7. Montrez que si

u

^{est harmonique et bornée sur}

Ω \ {p}

^{, alors}

u

^{admet une}

extension harmoniquesur

Ω

^.