DS n°5 : Second degré

Nom : Classe : 2^nde

Devoir surveillé n°5

le 28/03/2017

Note :

… / 20

Avis de

l’élève Avis du professeur

Je sais : Oui Non Oui Non

Exercice 1 Compléter un programme de calcul.

Encadrer le carré d'un nombre.

Exercice 2

Répondre à des questions concrètes en utilisant des savoirs faire mathématiques.

Exercice 3 Justifier la forme canonique d'une fonction polynôme du 2^nd degré.

Déterminer un paramètre / Calculer / Résoudre.

Dresser le tableau de signes d'une fonctions polynôme du 2^nd degré.

Déterminer les points d'intersection d'une parabole avec les axes d'un repère.

Exercice 4

Etudier les variations d'une fonction polynôme du 2^nd degré / Déterminer son extremum.

Utiliser la calculatrice.

Appliquer l'algorithme de dichotomie.

Résoudre une équation du 2^nd degré à partir de la forme canonique.

Exercice 1 : Décomposition et ordre. … / 4

L'objectif de cet exercice est de mettre en place un processus, à partir d'un encadrement de , pour encadrer : =

1. Compléter le programme de calcul suivant :

………

soustraire 1 ………… ………

2. Compléter les encadrements successifs qui découlent de ce programme de calcul lorsque 1 ≤ ≤ 3 : 1 ≤ ≤ 3 ⇒ … ≤ ≤ …

Or, des nombres ……… sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

On en déduit : … ≤ ………… ≤ … ⇒ … ≤ ≤ … 3. Faire de même lorsque -2 ≤ ≤ 1 :

4. Lorsque 0 ≤ ≤ 3, Tom a écrit le raisonnement suivant :

0 ≤ ≤ 3 ⇒ -1 ≤ ≤ 2 ⇒ 1 ≤ ≤ 4 ⇒ 3 ≤ ≤ 6 En affichant sur votre calculatrice la parabole représentative de la fonction , pensez vous que le résultat final de Tom soit exact ? Justifier. S'il vous semble faux, corriger le raisonnement de Tom.

Exercice 2 : Un peu de rugby. … / 3

Le week-end dernier, Lilian a essayé de transformer un essai.

La trajectoire du ballon est modélisée par la fonction définie par : = - + +

où désigne la distance horizontale parcourue par le ballon de rugby, en mètres, et est la hauteur correspondante, en mètres.

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats ci-contre : 1. La fonction est définie sur un intervalle de la forme [0 ; ] où

désigne la distance horizontale parcourue par le ballon avant de retomber au sol. Déterminer ce réel .

2. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon et la distance horizontale alors parcourue.

3. Sachant que le tir de Lilian était cadré, que les poteaux étaient situés à une distance horizontale de 14m et à la hauteur de 3,4 m, l'essai a-t-il été transformé ? (Le ballon est-il passé au dessus des poteaux ?)

f(x) (x¡1)²+ 2

x

x (x¡1)² (x¡1)²+ 2

x

x x

f

® x

®

® h h(x)

h(x)

(x¡1)²+ 2

x x¡1

x x¡1 (x¡1)² (x¡1)²+ 2

h

x² x 1

4

31 8

63 64

Exercice 3 : On se place dans le repère orthonormé (O;I,J). … / 6 est la fonction définie sur R par la parabole p tracée ci-contre.

1. a) Justifier graphiquement que, pour tout réel , on peut définir par une formule de la forme :

= où est un réel négatif.

b) Le point A(-1;0) appartient à p.

En déduire le calcul de .

2. On admet que la fonction peut être définie sur R par : = - + +

a) Justifier que pour tout réel , on a : =

b) Dresser et justifier le tableau de signe de .

3. On note B le second point d'intersection de p avec l'axe des abscisses et C celui avec l'axe des ordonnées.

Déterminer les coordonnées de B et C.

Exercice 4 : est la fonction définie sur R par : … / 7

=

1. a) Etudier les variations de et justifier que atteint un extremum, à préciser.

b) En déduire la forme canonique de .

2. On admet que l'équation = 0 admet deux solutions opposées. On note la solution positive.

a) En utilisant le menu graphe de la calculatrice, donner un encadrement de à l'unité près.

b) On rappelle ci-dessous l'algorithme de dichotomie :

Compléter le tableau suivant en appliquant cet algorithme pas à pas avec = 1, = 2 et = 3.

Signe de Test Réaffectations

× < 0 ?

Quel encadrement de obtient-on ?

3. Le nombre recherché est appelé le nombre d'or.

En résolvant l'équation = 0 à partir de la forme canonique, déterminer la valeur exacte de . x f

a(x¡2)² + 6 f(x)

a p

a

f(x) ² 3x^{2 8}

3x ¹⁰ 3 f

x f(x) ²₃

f

f(x) f

(x+ 1)(5¡x)

f(x)

f

f(x)

x²¡x¡1

f(x)

Á Á

a b N

i a m b f(a) f(m) f(a) f(m) a b

Á Á

f(x) Á

f

Correction du DS n°5 Exercice 1 : Décomposition et ordre.

L'objectif de cet exercice est de mettre en place un processus, à partir d'un encadrement de , pour encadrer : =

1. Compléter le programme de calcul suivant :

soustraire 1 mettre au carré ajouter 2

2. Compléter les encadrements successifs qui découlent de ce programme de calcul lorsque 1 ≤ ≤ 3 : 1 ≤ ≤ 3 ⇒ 0 ≤ ≤ 2

Or, des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

On en déduit : 0 ≤ ≤ 4 ⇒ 2 ≤ ≤ 6 3. Faire de même lorsque -2 ≤ ≤ 1 :

-2 ≤ ≤ 1 ⇒ -3 ≤ ≤ 0

Or, des nombres négatifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs carrés.

On en déduit : 0 ≤ ≤ 9 ⇒ 2 ≤ ≤ 11 4. Lorsque 0 ≤ ≤ 3, Tom a écrit le raisonnement suivant :

0 ≤ ≤ 3 ⇒ -1 ≤ ≤ 2 ⇒ 1 ≤ ≤ 4 ⇒ 3 ≤ ≤ 6 En affichant sur votre calculatrice la parabole représentative de la fonction , pensez vous que le résultat final de Tom soit exact ? Justifier. S'il vous semble faux, corriger le raisonnement de Tom.

Le résultat est faux car le minimum de sur [0 ; 3] est 2 (atteint quand = 1) et 2 ∉ [3 ; 6].

Correction du raisonnement de Tom :

0 ≤ ≤ 3 ⇒ -1 ≤ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ ≤ 4 ⇒ 2 ≤ ≤ 6 x

f(x) (x¡1)²+ 2

x (x¡1)² (x¡1)²+ 2

x

x x¡1

(x¡1)² + 2 x

x

x x¡1 (x¡1)² (x¡1)²+ 2

f x¡1

(x¡1)²

x¡1

(x¡1)² (x¡1)² + 2

x

f

x x¡1 (x¡1)² (x¡1)²+ 2

x

Exercice 2 : Un peu de rugby.

Le week-end dernier, Lilian a essayé de transformer un essai.

La trajectoire du ballon est modélisée par la fonction définie par : = - + +

où désigne la distance horizontale parcourue par le ballon de rugby, en mètres, et est la hauteur correspondante, en mètres.

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats ci-contre : 1. La fonction est définie sur un intervalle de la forme [0 ; ] où

désigne la distance horizontale parcourue par le ballon avant de retomber au sol. Déterminer ce réel .

Remarque 1 : Dans cette question, n'a rien à voir avec l'abscisse du sommet de la parabole qui décrit la trajectoire du ballon.

Chercher la valeur de revient à chercher la distance horizontale qui correspond à l'impact du ballon au sol. De plus, la trajectoire du ballon n'est définie par que si ≥ 0 et ≥ 0.

On utilise la forme factorisée : = - > 0 ⇔ > ⇔ >

64 > 0 donc > 0 ⇔ > 0 ⇔ > - ⇔ >

On en déduit le tableau de signes suivant :

-∞ 0 +∞

-1 – – – –

– – – +

– + + +

– + + –

Puisque n'est définie que si ≥ 0 et ≥ 0 alors la fonction est définie sur [0 ; ], c'est-à-dire [0 ; ].

Remarque 2 : On pourrait en déduire que le ballon touchera le sol à une distance horizontale de 15,75 m.

Modélisation de la situation :

2. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le ballon et la distance horizontale alors parcourue.

= < 0 confirme que la fonction atteint un maximum.

En utilisant la forme canonique : = , on en déduit que la hauteur maximale atteinte par le ballon est de 16 m. Elle est atteinte pour une distance horizontale de = 7,75 m.

3. Sachant que le tir de Lilian était cadré, que les poteaux étaient situés à une distance horizontale de 14m et à la hauteur de 3,4 m, l'essai a-t-il été transformé ? (Le ballon est-il passé au dessus des poteaux ?) La question est de savoir si pour une distance parcourue horizontalement de 14 m le ballon sera au dessus des poteaux ou non, sachant que les poteaux sont à une hauteur de 3,4 m.

= - + + ≈ - 49 + 54,25 + 0,98 ≈ 6,23 > 3,4

On en déduit que le ballon est passé au dessus des poteaux et que Lilian a transformé l'essai.

h h(x) ¹₄x^{2 31}₈ x ⁶³₆₄ x

h(x)

h ®

®

®

h(x) h(x)

h(x) (4x¡63)^4x+1₆₄

4x¡63 4x 63 x ⁶³₄

4x+1

64 4x+ 1 4x 1 x ^-1₄

x

4x¡63 4x+1

64 h(x)

x ^-1

4

63 4

O O

O O

h(x) x h(x)

63 4

h 15,75

®

®

h(x) ^-1₄ (x¡ ³¹4 )²+ 16

a ^-1₄ h

31 4

14

1 4

31 8

63 h(14) £14² £14 64

Exercice 3 : On se place dans le repère orthonormé (O;I,J).

est la fonction définie sur R par la parabole p tracée ci-contre.

1. a) Justifier graphiquement que, pour tout réel , on peut définir par une formule de la forme :

= où est un réel négatif.

Puisque p est une parabole ouverte vers le bas, la fonction est une fonction du 2^nd degré définie par une formule de la forme = avec < 0.

où ( ; ) sont les coordonnées du sommet S de p.

Graphiquement : = 2 et = 6.

Donc : ∀ ∈ R, =

b) Le point A(-1;0) appartient à p.

En déduire le calcul de .

= = =

A(-1;0) ∈ p ⇔ = 0 ⇔ = 0 = - = =

2. On admet que la fonction peut être définie sur R par : = - + + a) Justifier que pour tout réel , on a : =

∀ ∈ R, = = = - + + = b) Dresser et justifier le tableau de signe de .

On utilise la forme factorisée : =

> 0 donc le signe de ne dépend que des signes de et de . > 0 ⇔ > -1

> 0 ⇔ > ⇔ <

On en déduit le tableau de signes de :

-∞ -1 5 +∞

– + +

+ + –

– + –

3. On note B le second point d'intersection de p avec l'axe des abscisses et C celui avec l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de B et C.

D'après le tableau des signes de , on sait que : = 0 ⇔ = -1 ou =

On en déduit que les points d'intersection de p avec l'axe des abscisses sont A(-1;0) et B(5;0).

De plus : = - + + =

On en déduit que le point d'intersection de p avec l'axe des ordonnées est C(0; ).

f

x f

f(x) a(x¡2)² + 6 a

a p

f(x) a(x¡®)² +¯ a

® ¯

® ¯

f(x) a(x¡2)² + 6 x

f S

×

f(-1) a(-1¡2)²+ 6 a(-3)²+ 6 9a+ 6 f(-1) 9a+ 6

9a 6

a ^-6₉ ^-2₃

f f(x) ²

3x^{2 8}

3x ¹⁰ 3 x f(x) ²₃(x+ 1)(5¡x)

f(x) 2

3(x+ 1)(5¡x) ²₃(5x¡x²+ 5¡x) ²₃(-x²+ 4x+ 5) ²₃x^{2 8}₃x ¹⁰₃ f(x)

x

O

O O

x

x x+ 1

x

5 5

x+ 1 5¡x

5¡x f(x)

f(x) ²

3(x+ 1)(5¡x)

O f(x)

2

3 f(x) x+ 1 5¡x

f(x) f(x) x x 5

2 3

8 3

10 f(0) £0² £0 3 ¹⁰₃

10 3 B

× C

×

x

Exercice 4 : est la fonction définie sur R par : =

1. a) Etudier les variations de et justifier que atteint un extremum, à préciser.

=

On pose : = 1 ; = -1 et = -1.

= =

= = – – 1 = – – =

= 1 > 0 donc est décroissante sur [-∞; ] puis croissante sur [ ;+∞].

De plus, admet pour minimum quand = . b) En déduire la forme canonique de .

∀ ∈ R, = =

2. On admet que l'équation = 0 admet deux solutions opposées. On note la solution positive.

a) En utilisant le menu graphe de la calculatrice, donner un encadrement de à l'unité près.

est la solution positive de = 0 Graphiquement, on lit : 1 < < 2

b) On rappelle ci-dessous l'algorithme de dichotomie :

Compléter le tableau suivant en appliquant cet algorithme pas à pas avec = 1, = 2 et = 3.

Signe de Test Réaffectations

× < 0 ?

1 1 1,5 2 – – Faux 1,5 2

2 1,5 1,75 2 – + Vrai 1,5 1,75

3 1,5 1,625 1,75 – + Vrai 1,5 1,625

Quel encadrement de obtient-on ? On obtient : 1,5 < < 1,625 3. Le nombre recherché est appelé le nombre d'or.

En résolvant l'équation = 0 à partir de la forme canonique, déterminer la valeur exacte de . = 0 ⇔ = 0 ⇔ = ⇔ – = ou – = -

= 0 ⇔ = + ou = –

= 0 ⇔ = ≈ 1,618 > 0 ou = ≈ -0,618 < 0

Or, le nombre d'or est la solution positive de l'équation = 0 donc = .

f(x) Á

f

f f

f(x)

f(x) Á

Á

a b N

i a m b f(a) f(m) f(a) f(m) a b

Á Á

f(x) x²¡x¡1

f(x) x²¡x¡1

a b c

® _2a^{-b 1}₂

¯ f(®)

(

)

a f ¹₂ ¹₂

f ^-5₄ x ¹₂

x f(x) a(x¡®)² +¯ (x¡ ¹2)²¡ ⁵4

Á

Á

f(x) (x¡ ¹2)²¡ ⁵4 (x¡ ¹2)^{2 5}₄

q

x ¹₂ 4 x ¹₂

q

f(x) x ¹₂ x

p5 2

p5 2 1 2

f(x) x ¹⁺ x

p5 2

1¡p 5 2

Á x²¡x¡1 Á ¹⁺

p5 2

Á f(x)