DS 1 : Second degré.

Spécialité première groupe 1 Jeudi 1 octobre.

DS 1 : Second degré.

Question de cours : (2 point)On considère une fonction polynomialf donnée par l’expressionf(x)=ax²+bx+c(oùa, betcsont trois réels)

On poseα=−b

2a etβ=f(α).

a) Soitx∈R. Montrer quef(x)=a(x−α)²+β.

b) (Bonus : 2 points)On suppose dans cette question que∆=b²−4ac>0. Par ailleurs on admet que : f(x)=ax²+bx+c=a

µµ x+ b

2a

¶2

− ∆ 4a²

¶

Trouvez la forme factorisée def.

Exercice 1

(2 points)Ci-contre, nous avons la représenta- tion graphique d’une fonctionf et de trois de ses tangentes tracées aux points A, B et C d’abscisses respectives 0, 1 et 2.

Déterminer graphiquement les valeurs def(0),f⁰(0),f(1), f⁰(1),f(2) etf⁰(2).

Déterminer l’équation de la tangente en A (Vous pourrez vous contenter d’une lecture graphique de l’ordonnée à l’origine)

Exercice 2

(3 points)

1. On considère la fonctionf définie surRpar :

∀x∈R, f(x)=x² On noteCf sa représentation graphique.

a. Montrer que f est dérivable en 1 et déterminer le nombre dérivéf⁰(1). (Rappel : qu’il faut déterminer le taux d’accroissement en 1, puis sa limite. Si cette limite existe, la fonction est dérivable et le nombre dérivée est cette limite)

b. Déterminer l’équation de la tangente en 1 àCf. 2. On considère la fonctiongdéfinie surRpar :

∀x∈R,g(x)=1+3 x Montrer quegest dérivable en 5 et donner la valeur deg⁰(5).

Exercice 3

(2,5 points)

Soit la fonctionhdéfinie surRparh(x)=x³+6x²+25x−82.

1. Déterminer la valeur deh(2).

2. Déterminer des réelsa,betcde sorte que :∀x∈R,h(x)=(x−2)(ax²+bx+c) 3. Déterminer le nombre de solution deh(x)=0.

Exercice 4

(4 points)Résoudre les inéquations suivantes :

a) −x²+7x6^2x−6 b) 3

x6^x+2

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Exercice 5

(1,5 points)Pour les trois fonctions ci-dessous, déterminer la représentation graphique qui lui correspond en justifiant succinctement votre choix. (Il y a donc une représentation qui ne correspond à aucune de ces 3 fonctions)

a) f(x)=x²+2x+3

b) g(x)= −x²+2x−3

c) h(x)=x²−2x−3

Exercice 6

(3 points)On considère la fonctiongdéfinie surRpar l’expressiong(x)= −x²+2x−3. Déterminer les racines deg(si elles existent) la forme canonique, le tableau de variation et la forme factorisée.

Exercice 7

^{(4 points)}Sur le graphique ci-dessous, la droitedà pour équationy=4−1

2xet les pointsA,B,CetDforment un rectangle avec :

• Le pointAa pour coordonnées (x, 0)

• Le pointBest sur la droited

• Le pointCest sur l’axe des ordonnées

• Le pointDest l’origine

On remarque que la valeur dexvarie sur [0; 8] et représente la longueurD A.

On noteS(x) la surface du rectangleABC D.

1. Montrer queS(x)=x µ

4−1 2x

¶ .

2. Déterminer la forme développée de la fonctionS 3. Déterminer le tableau de variation de la fonctionS.

4. En déduire la position du point A (c’est-à-dire la valeur dex) pour que la surface du rectangleABC Dsoit maximale puis déterminer cette valeur maximale.

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