L3 MAPES 11 Topologie
Notes de cours abrégées
Jean-Marc Schlenker
2007-08
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Introduction
0.1 Pourquoi la topologie.
Apprentissage d'arguments analytiques de base : découpage des, etc.
Applications en mathématique : en analyse fonctionnelle, équations aux dérivées partielles, géométrie algé- brique, physique, etc.
0.2 Méthode de travail, etc
Comportement en cours et en TD. Etre actif.
Préparation des exercices, répétition des exercices, apprentissage du cours.
Rigueur dans les raisonnements !
Téléphones portables, retards, comportement général.
0.3 Plan du cours
1. Rappels : suites réelles.
2. Espaces métriques. Notion de distance sur un ensemble.
3. Espaces vectoriels normés. Notion de norme sur un EV.
4. Espaces de Hilbert. Produit scalaire, espaces de dimension innie (pour analyse fonctionnelle). Ouvre vers la transformée de Fourier et l'analyse.
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Chapitre 1
Rappels sur les suites réelles
1.1 Rappels sur R
Construction des entiers, des rationnels.
Irrationnels. Exemple de√ 2.
Def. Majorant, minorant. Borne inf, borne sup. Max et min.
Propriété de la borne supérieure. Noter que ça n'est pas vrai dansQ.
1.2 Convergence des suites, continuité
Def. Suite convergentes. Suites tendant vers l'inni.
Def. Fonction continue en un point. Fonction continue.
Thm. Une fonction est continue ssi l'image de toute suite convergente est convergente.
Suites croissantes. Def, toute suite croissante majorée admet une limite.
Preuve par la propriété de la borne sup.
Suites adjacentes.
Thm. Soit(v,n),(wn)telles que : (vn)est décroissante,
(wn)est croissante, limvn−wn= 0,
alors(vn)et(wn)sont convergentes et ont la même limite.
Thm. La composée de deux applications continues est continue.
1.3 Valeurs d'adhérences
Def. Suite extraite. Valeur d'adhérence.
Exemple. un= (−1)n qui a deux valeurs d'adhérence mais pas de limite.
Rq. Soit(un)une suite, et(vn)une suite extraite. Toute suite extraite de(vn)est aussi une suite extraite de (un). Donc toute valeur d'adhérence de(vn)est une valeur d'adhérence de(un).
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6 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES RÉELLES Thm. Toute suite bornée admet une valeur d'adhérence.
Preuve : passer par la suite des minorants, wn = sup{uk, k ≥n}. Croissante, majorée, donc convergente.
Montrer que la limite est une valeur d'adhérence.
Thm. Une suite bornée est convergente ssi elle admet une unique valeur d'adhérence.
Preuve : si (un) est convergente alors sa seule valeure d'adhérence est sa limite. Réciproquement, si non convergente, on fait apparaître une suite extraite qui a une valeur d'adhérence.
Rq. C'est faux pour les suites non bornées. Par contre, une suite est convergente ssi elle est bornée est admet une unique valeur d'adhérence... (exercice).
1.4 Suites de Cauchy
Def.
Remarque. Toute suite convergente est de Cauchy.
Thm. DansR, toute suite de Cauchy est convergente.
Remarque. Ca n'est pas vrai dansQ: certaines suites de rationnels ont une limite réelle, mais pas de limite rationnelle.
1.5 Ouverts, fermés
Def. Intervalles ouverts, fermés. Intervalle compact.
Def. Voisinage dex∈R.
Def. Sous-ensembles ouverts, c'est un voisinage de chacun de ses points.
Remarque. Ret∅ sont donc ouverts.
Lemme. Un intervalle est un sous-ensemble ouvert ssi c'est un intervalle ouvert.
Def. Sous-ensembles fermés, par limite de suites.
Remarque. Ret∅ sont donc fermés.
Lemme. Un intervalle est un sous-ensemble fermé ssi c'est un intervalle fermé.
Thm. Le complémentaire d'un ouvert est un fermé.
Cor. Le complémentaire d'un fermé est un ouvert.
Thm. Image réciproque d'un ouvert par une application continue. D'un fermé.
Remarque. L'image directe d'un ouvert (resp. fermé) n'est pas nécessairement un ouvert (resp. fermé).
Exemples.
1.6 Réunion, intersection
Thm. Toute réunion d'ouverts est ouverte.
1.7. CONTINUITÉ UNIFORME 7 Cor. Toute intersection de fermés est fermée.
Thm. Toute réunion nie de fermés est fermée.
Cor. Toute intersection nie d'ouverts est ouverte.
Exemple. ∪n[1/n,2−1/n] =]0,2[.∩n]−1/n,2 + 1/n[= [0,2].
1.7 Continuité uniforme
Def. Fonction uniformément continue.
Ex. x7→sin(x)est uniformémemt continue surR.x7→√
xest uniformément continue surR>0.x7→exn'est pas uniformément continue surR.
Thm. Toute fonction continue sur un intervalle[a, b]est bornée et atteint ses bornes.
Preuve : toute fonction continue sur un compact atteint son maximum.
Thm. Thm des valeurs intermédiaires.
Cor. L'image d'un intervalle compact par une application continue est un intervalle compact.
Thm. Toute fonction continue sur un intervalle[a, b]est uniformément continue.
Preuve : par choix d'une suite de points où l'uniforme continuité n'est pas réalisée et convergence vers une limite, etc.
8 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES RÉELLES
Chapitre 2
Espaces métriques
Motivations
Modéliser des situations géométriques générales.
Application aux espaces vectoriels normés dans chapitre suivant, eux-même utilises pour l'analyse (espaces de fonctions).
Situation où on peut faire de la topologie sans trop d'abstraction (cf notion d'espace topologique général).
Sujet d'étude important au cours des 50 dernière années, où des notions importantes ont émergé. Relations avec d'autres domaines des mathématiques.
2.1 Distances
Def. Distance : positivité,0 ssi égaux, inégalité triangulaire.
Def. Espace métrique : un ensemble muni d'une distance.
2.2 Exemples
Exemple. Q,R,R2,Z×Z. Fin C3, 24/9/8.
Exemple. R2 muni de la distance |x|+|y|.
Exemple. S2muni de la distance angulaire. On admet l'inégalité triangulaire.
Exemple. R2 muni de la distance sup(|x|,|y|).
Exemple. Espacel∞ des suites bornées, munies de la distance sup.
Exemple. EspaceC0∞ des fonctions réelles régulères à support compact, avec la norme sup.
Exemple. EspaceC00 des fonctions continues à support compact, avec la norme sup.
Notation. Pourx, y∈Rn on utilise la notationhx, yiresp.kxk. 9
10 CHAPITRE 2. ESPACES MÉTRIQUES Lemme (inégalité de Cauchy-Schwarz pour les suites nies).
hx, yi ≤ kxkkyk, avec égalité ssixety sont colinéaires.
Preuve : on utilise ici le produit scalaire euclidien.
∀t,hx−ty, x−tyi ≥0 , si bien que
kxk2−2thx, yi+t2kyk2≥0 . En particulier pourt=hx, yi/kyk2 on trouve le résultat.
Lemme (inégalité de Minkowski pour les suites). Sous les même conditions, kx+yk ≤ kxk+kyk .
avec égalité ssixety sont colinéaires de même direction.
Preuve :
kx+yk2=hx+y, xi+hx+y, yi ≤ kx+yk.kxk+kx+yk.kyk, le résultat suit directement.
Exemple. Rn muni de la distance euclidienne. L'inégalité triangulaire suit de l'inégalité de Minkowski.
Exemple. Espacel2 des suites de carré sommable, avec la distance correspondante. On montre en utilisant l'inégalité de Minkowski que la somme de deux suites dans l2 est dans l2, puis que l'inégalité triangulaire s'applique.
2.3 Boules ouvertes, fermées
Ce sont des analogues dans les espaces métriques des intervalles dansR. Def. boules ouvertes, boules fermées.
Exemple. DansZ×Z, les singletons sont à la fois des boules ouvertes et des boules fermées.
Def. Voisinage d'un point.
2.4 Suites
Def. Suite à valeur dans un espace métrique, comme une fonction deN. Def. Suite convergente.
Rq. Unicité de la limite d'une suite.
Def. Suite de Cauchy.
Rq. Toute suite convergente est de Cauchy.
Fin cours 4, 28/9/7
2.5 Sous-espaces, espaces équivalents
Def. Distance induite sur un sous-ensemble.
2.6. OUVERTS, FERMÉS 11 Remarque. Soit(E, dE)un espace métrique, soit F ⊂E. Alors(F, dF)est un espace métrique.
Def. Isométrie.
Rq. Une isométrie est nécessairement injective, mais pas nécessairement surjective.
Def. Espaces métriques isométriques.
Def. Distances équivalentes : deux distancesd1 et d2sur E sont équivalentes siId: (E, d1)→(E, d2)est un homéomorphisme.
Exemple. Supposons qu'il existec, c0 >0 tels que pour toutx, y∈E, cd1(x, y)≤d2(x, y)≤c0d1(x, y).
Alorsd1etd2sont équivalentes. Plus généralement, s'il existe deux fonctions continuesf, f0avecf(0) =f0(0) = 0, telles que
d1(x, y)≤f(d2(x, y)), d2(x, y)≤f0(d2(x, y)).
Exemple. Surl2∩l∞ les deux distances ne sont pas équivalentes ! Inégalité dans un sens seulement.
2.6 Ouverts, fermés
Def. Ouverts par boule ouverte contenue...
Def. Fermés par limite de suites.
Exemple. DansZ×Z, les singletons sont à la fois ouverts et fermés.
Lemme. Toute boule ouverte est ouverte.
Lemme. Toute boule fermée est fermée.
Thm. Le complémentaire d'un ouvert est un fermé, et réciproquement.
Thm. Toute réunion d'ouverts est ouverte. Toute intersection de fermés est un fermé.
2.7 Adhérence, intérieur
Def. Adhérence comme le plus petit fermé contenantF. NotéF.
Thm. L'adhérence deF est l'ensemble des limites de suites d'éléments de F.
Preuve : délicate ! Il faut montrer que l'ensemble des limites de suites est fermé, pour ça procédé diagonal. Fin C5 du 3/10 Def. Sous-ensemble dense d'un espace métrique.
Def. Intérieur comme le plus grand ouvert inclus dansF.
Thm. Le complémentaire de l'adhérence est l'intérieur du complémentaire.
Remarque. L'adhérence d'une boule ouverte n'est pas nécessairement une boule fermée ! L'adhérence d'une boule ouverte contient la boule fermée correspondante, réciproque fausse. Exemple dansZ2.
12 CHAPITRE 2. ESPACES MÉTRIQUES
2.8 Fonctions
Def. Fonctions continues entre deux espaces métriques.
Thm. Une fonction est continue enassi l'image de toute suite convergeant versaest une suite convergeant vers son image.
Thm. La composée de deux fonctions continues est continue.
Fonctions à valeurs réelles.
Exemple. d(x,·)comme fonction à valeur réelle, continue.
Thm. L'image réciproque d'un ouvert (resp. d'un fermé) par une application continue est un ouvert (resp.
fermé).
NB. En fait c'est une caractérisation possible des fonctions continues.
Homéomorphismes.
2.9 Produit de deux espaces métriques.
Def. Plusieurs distances possibles, soitd1et d∞.
Exemples. R2 avec la norme|x|+|y|ou la norme sup comme somme de deux copies deR. Propriété. Continuité des deux projections.
2.10 Espaces complets
Def. Suites de Cauchy (rappel).
Def. Espace complet.
Thm. Tout sous-ensemble fermé d'un espace complet est complet.
Exemple. (R2\ {(0,0)}, d)n'est pas complet.
Exemple. (Z×Z, d)est complet : toute suite de Cauchy est constante à partir d'un certain rang.
Exemple. l0, l'espace des suites presque partout nulles, n'est pas complet pour la norme sup et pas non plus pour la normeL2. Suites de Cauchy non convergentes.
Fin C5, 8/10/8
2.11 Théorème du point xe de Picard
Exemple le plus simple de théorème de point xe, mais il en existe beaucoup d'autres ! Important dans diérentes branches des mathématiques, par exemple dans les équations aux dérivées partielles : on montre l'existence d'une solution par un théorème de point xe dans un espace de fonctions.
Autre exemple : tout homéomorphisme du disque fermé admet un point xe (pas nécessairement unique).
(Preuve plus subtile...) Def. Point xe.
2.12. ESPACES COMPACTS 13 Def. Application contactante.
Thm. Soit (E, d) un espaces métrique complet, et soit f : E → E une application contractante de rapport k∈]0,1[. Alorsf admet un unique point xe.
Preuve : unicité par argument direct. Pour l'existence on considère une suite dénie par itération et on montre qu'elle est de Cauchy.
NB. La preuve montre plus : si on dénit une suite par itération à partir d'un point elle converge exponen- tiellement vite vers le point xe.
NB. Il existe d'autres théorèmes du point xe, par exemple pour les applications continues d'une boule dans elle-même.
2.12 Espaces compacts
Def. Par existence d'une valeur d'adhérence.
Ex. DansR, les intervalles compacts.
Ex. DansR, les compacts sont les fermées bornés.
Def. Dans(E, d), un sous-ensemble est compact ssi il est compact pour la distance induite.
Rq. SiF ⊂(E, d)est compact alors il est fermé. La réciproque est fausse.
Lemme. Tout sous-espace fermé d'un espace compact est compact.
Def. Dans(E, d), un ensemble est relativement compact si son adhérence est compacte.
Thm. L'image directe d'un compact par une application continue est compacte.
Preuve : on prend une suite dans l'espaces image, et on montre l'existence d'une sous-suite convergente en passant dans l'espace de départ.
Def. Soitf : (E, d)→(F, δ)une fonction.f est uniformément continue si...
Thm. Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Thm (Bolzano-Weierstrass.) Dans(E, d), un sous-ensemble est compact ssi de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement ni.
Lemme. Soit (un) une suite dans (E, d). L'ensemble des valeurs de un est fermé ssi toutes les valeurs de d'adhérence de(un)sont des points de la suite.
Preuve du lemme. Direct, on prend une suite dans cet ensemble.
Preuve du thm. On admet que la compacité au sens des suites implique la compacité au sens de BL.
Réciproque : on suppose que (E, d)est compact au sens de BL. Soit(xn)une suite qui n'admet pas de valeur d'adhérence. Alors elle admet une sous-suite qui ne prend chaque valeur qu'au plus une fois. On pose U = E\ {xn, n ∈N}, qui est ouvert d'après le lemme, et on choisit pour chaque n un ouvert Un qui contient xn mais aucun autrexk. On applique alors le critère de BL, contradiction.
Thm (Borel-Lebèsgue). DansRnmuni de la distance euclidienne, un ensemble est compact ssi il est fermé et borné.
Preuve : si compact alors fermé. De plus borné, sinon suite tendant vers l'inni et sans sous-suite convergente.
Réciproquement, on remarque que les bornés deRsont relativement compacts, etc.
14 CHAPITRE 2. ESPACES MÉTRIQUES
2.13 Espaces connexes
Def. Un espace métrique(E, d)est connexe par arcs si pour toutx, y∈E il existe une chemin continu qui les joint, i.e. une applications continuec[0,1]→E avecc(0) =xet c(1) =y.
Thm. L'image d'un espace métrique connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.
Rq. Notion naturelle d'espace en un seul morceau.
Def*. Un espace métrique(E, d)est connexe si les seuls sous-ensembles ouverts et fermés sont∅et E. Lemme*. (E, d)est connexe ssi toute fonction continue deE dans{0,1} est constante.
Thm*. Tout espace métrique connexe par arc est connexe.
Rq*. La réciproque est fausse.Exemple : le graphe dex7→sin(1/x)pourx6= 0auquel on adjoint l'axeOy. Thm. L'image d'un connexe par une application continue est connexe.
Thm. L'adhérence d'un connexe est connexe.
Chapitre 3
Espaces vectoriels normés
3.1 Dénition
Def. SoitE un EV, une norme surE est une fonctionN :E→Rtelle que 1. N(x) = 0 ssix= 0(séparation),
2. N(λx) =|λ|N(x)(homogénéité),
3. N(x+y)≤N(x) +N(y)(inégalité triangulaire).
Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme.
Exemple. l2,l∞, l1 sont en fait des espaces vectoriels normés.
NB. On peut parler d'espace vectoriel normé réel ou complexe.
Proposition. Dans un EVN(E, N)on a 1. N(−x) =−N(x),
2. |N(x)−N(y)| ≤N(x±y)≤N(x) +N(y).
Distance associée à une norme. Soit(E, N)un EVN, on peut dénir une distance surE canoniquement associée àN par :
d(x, y) =N(y−x).
Preuve : il sut de montrer les trois éléments de la dénition, en particulier l'inégalité triangulaire.
Cor. Les EVN sont des cas particuliers d'espaces métriques !
Def. Notion de suite convergente dans un EVN. De même pour les notions d'ouvert et de fermé, intérieur, adhérence, etc.
3.2 Boule associée à une norme
Boules ouvertes, fermées. Def.
Rq. Soit a ∈ E, la boule ouverte (resp. fermée) de centrea et de rayon r est l'image par la translation de vecteurade la boule ouverte de centre 0et de rayonr.
Def. Soit(E, N)un EVN, soit A⊂E.A est convexe ssi pour tout x, y∈A, le segment d'extrémitésxet y
est dansA. Fin cours 24/10
Def. [parties symétriques d'un EVN]
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16 CHAPITRE 3. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Def. [Partie bornée]
Def. [Diamètre d'une partie d'un EVN]
Lemme. Soit(E, N)un EVN, alors
1. toute boule ouverte est une partie convexe bornée de E,
2. toute boule ouverte (resp. fermée) centrée en0est une partie symétrique, 3. le diamètre d'une boule de rayonr est2r.
3.3 Applications continues
thm. SoitE, F des EVN, soitu:E7→F.uest continue en0ssi
∃C >0,∀x∈E,ku(x)k ≤Ckxk.
thm. SoitE, F des EVN, soitu:E7→F.uest continue ssi elle est continue en0.
3.4 Sous-espaces, produit, isomorphismes entre EVN
Prop. Norme induite sur un sous-espace vectoriel d'un EVN.
Def. Produit(s) de deux EVN parN1,N∞.
Rq. Correspond aux dénitions de d1, d∞ pour les distances associées. Aussi possible pour plus de deux espaces/
Def. Isomorphisme entre EV, def par isomorphisme d'EV qui sont en plus des isométries.
Def. Tiré en arrière d'une norme par un isomorphisme d'EV. Par un morphisme injectif d'EV.
3.5 Normes équivalentes
Def. Normes équivalentes.
Rq. Correspond à ce que les distances associées sont équivalentes au sens du chapitre 2 (ou bilipschitz équi- valentes).
Rq. Soit E un EV muni de trois normes N1, N2, N3. Si N1 est équivalente à N2 et N2 à N3 alors N1 est équivalente àN3.
Lemme. SoitE un EV muni de deux normesN1 etN2équivalentes. Alors 1. une suite est convergente pourN1 ssi elle est convergente pourN2, 2. (E, N1)est complet ssi(E, N2)est complet,
3. un sous-ensemble deE est ouvert pourN1 ssi il est ouvert pourN2, 4. de même pour fermé,
5. de même pour compact.
Preuve : si N1et N2sont équivalentes alors les distances associées sont équivalentes, d'où le résultat.
Def. EV de dimension nie, si isomorphe en tant qu'EV àRn, pour n∈N.
3.5. NORMES ÉQUIVALENTES 17 Thm. Dans un EVN de dimension nie, la boule unité est compacte. NB : à supprimer et à mettre après le thm sur équivalence des normes en dim nie ! !
Rq. C'est faux en dimension innie ! Par exemple dansl∞ la suite(δn)dénie parδn = (δkn)k avecδnk = 1 si n=k,0 sinon.
Cor. Les compacts sont les parties fermées et bornées. Fin C. 7/11
Thm. Sur un EV de dimension nie, tout les normes sont équivalentes.
Preuve : on se place surRn, on va montrer que toute normeN est équivalente à la norme euclidienneNE. On montre d'abord queN est continue en0 pourNE, en majorant
N(x)≤X
i
|xi|N(ei)
dans une base orthonormée pourN. On en déduit queN est continue pourNE en0puis en tout point.
On considère alors la restriction de N à la sphère unité de NE qui est continue donc atteint ses bornes, et on remarque que la borne inf ne peut pas être0. On en déduit une majoration et une minoration pourN(x)en fonction deNE(x).
Cor. Dans un EVN de dimension nie, la boule unité est compacte.
18 CHAPITRE 3. ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Chapitre 4
Espaces de Hilbert
Motivations
Qu'est-ce qu'un espace de Hilbert ? Espace vectoriel (typiquement, de dimension innie) muni d'un produit scalaire euclidien ou hermitien, qui est complet. Exemple typique :l2.
Pourquoi étudier les espaces de Hilbert ? Analyse fonctionnelle : résoudre des EDP, etc Mécanique quantique (d'où Hilbert),
Traitement du signal, des images, etc, apparaît partout.
Objectifs :
Bases pour les séries de Fourier.
Géométrie dans les Hilbert, projection sur les convexes, etc.
Bases hilbertiennes, et comment les obtenir.
Compléments intéressants, et utiles pour les applications.
4.1 Produits scalaires
Cadre. Espace vectoriel surK, c'est à dire surRou surC.
Def. Produit scalaire euclidien : forme bilinéaire, symétrique, dénie positive. Pour les EV surR.
Def. Produit scalaire hermitien : forme linéaire par rapport au premier facteur, symétrie hermitienne (h(x, y) = h(y, x)), dénie positive. Pour les EV surC.
Exemple. Cn muni du produit scalaire hermitien usuel.
Def. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire euclidien ou hermitien.
NB. Les produits scalaires hermitiens sont sequilinéaires : linéaire par rapport au premier facteur, antilinéaire par rapport au 2e facteur. On note aussi queh(x, x)∈R.
Def. Une forme bilinéaire symétrique (resp. sequilinéaire) est positive sih(x, x)>0, non dégénérée si
∀y∈E, h(x, y) = 0⇒x= 0. Notation. On utilise souventh(x, y) =hx, yi.
Def. La norme associée à un produit scalaire euclidien ou hermitien est dénie par : N(x)2 =hx, xi. Notée souventkxk.
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20 CHAPITRE 4. ESPACES DE HILBERT Lemme. Le produit scalaire est uniquement déterminé par la norme associée, en eet pour toutx, y∈E on a dans le cas réel :
kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2hx, yi, et dans le cas hermitien :
kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2Re(hx, yi), Cor. SiN provient d'un produit scalaire alors
N(x+y)2−N(x)2−N(y)2 dénit un produit scalaire.
Exemples.
1. la norme de l2 provient d'un produit scalaire.
2. pas la norme del1. Argument : restriction à vecteur du typeu= (x,0,0,· · ·)etv= (0,1,0,· · ·). Alors N1(u+v)2−N1(u)2−N1(v)2= (|x|+|y|)2−x2−y2
qui n'est pas une forme bilinéaire.
3. ni celle del∞. Exercice : le montrer.
4.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Lemme. SoitE un EV surCet soithun produit scalaire hermitien surE. Pour toutx, y∈E on a
|hx, yi| ≤ kxk.kyk , avec égalité ssixety sont colinéaires.
Cor. Pour toutx∈E, l'application linéairey→ hx, yiest continue.
Exemple. Espace l2C des suites à valeurs complexes dont la somme des carrés converge, muni du produit scalaire hermitien. Ce produit scalaire est bien déni par l'inégalité appliquée aux sommes nies.
Lemme. Soitx, y∈E, alors
kx+yk ≤ kxk+kyk . Preuve : on prend le carré et on simplie.
Cor. Un produit scalaire (hermitien ou euclidien) dénit une norme, et donc une distance associée.
Fin cours du 14/11
4.3 Géométrie des espaces préhilbertiens
Exemple. Espace préhilbertien non complet. Par exemple espace des fonctions continues sur[0,1]muni du produit scalaireL2.
Exemple. l2 est un espace de Hilbert avec le produit scalaire usuel (réel ou complexe).
Identités du parallélogramme. Soitx, y∈E, alors
kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2).
4.4. SOUS-ESPACES VECTORIELS, ORTHOGONAL 21 Identités de la médiane. Soitx, a, b∈E, soitm= (a+b)/2. Alors
kx−ak2+kx−bk2= 2kx−mk2+k(a−b)/2k2 .
Preuve : on écrit l'identité du parallélogramme pouru=x+y et v=x−y, on trouve que : kuk2+kvk2= 2k(u+v)/2k2+ 2k(u−v)/2k2.
Puis on poseu=x−a, v=x−b et on trouve le résultat.
Def. Angle entre deux vecteurs non nulsx, y, déni par : cosθ=Rehx, yi
kxk.kyk . Rq. kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2 cosθkxkkyk.
Rq. Deux vecteurs sont orthogonaux ssiRehx, yi= 0.
Rq. (Thm de Pythagore) Six, ysont orthogonaux, alorskx+yk=kxk+kyk.
4.4 Sous-espaces vectoriels, orthogonal
Rq. Il existe des sous-espaces vectoriels non fermés des espaces de Hilbert ! Ex. Dansl2, l'espace des suites presque partout nulles.
Def. OrthogonalV⊥ d'un sous-espace vectoriel.
Pté. V⊥ est toujours fermé.
4.5 Projection orthogonale
NB. Maintenant la complétude est nécessaire, on peut se placer dans un espace de Hilbert mais ça n'est pas entièrement nécessaire (on peut se limiter à des sous-ensembles complets).
Def. Espace de Hilbert : préhilbertien complet.
Théorème de projection sur un convexe. Soit E un espaces préhilbertien surK, soit A ⊂E un sous- ensemble convexe complet. Alors :
1. pour toutx∈E, il existe un uniquepA(x)∈Aqui réalise le minimum de la distance àxdes points deA, 2. pA(x)est l'unique point deAtel que
∀z∈A, Rehx−pA(x), z−pA(x)i ≤0, 3. six, y∈E alorskpA(x)−pA(y)k ≤ kx−yk.
NB. Faire un dessin ! Interprétation en termes d'angle obtu entre les deux vecteurs issus dey.
Cor. SoitV ⊂E un SEV complet, alors, pour tout x∈E,pV(x)est l'unique pointy ∈V tel quex−y est orthogonal àV.
Cor. SoitEpréhilbertien, soitV ⊂E un SEV complet,V 6={0}. Alors : 1. pV :E→V estK-linéaire, continue, de norme1,
2. V =Ker(Id−pV),V⊥Ker(pV),E=V ⊕V⊥.
22 CHAPITRE 4. ESPACES DE HILBERT Cor. SoitV ⊂Eun SEV, V est fermé ssi c'est le noyau d'une forme linéaire continue surE.
4.6 Le théorème de représentation de Riesz.
Def. E∗ l'espace vectoriel des formes linéaires continues surE. Ex. φx(y) =hy, xipour toutx∈E. Forme linéaire de normekxk.
Ex. de formes linéaires non continues surl2. Rappel en dim nie toute forme lin est continue.
Thm. SoitE un espace de Hilbert, soitf ∈E∗ une forme linéaire continue surE. Il existe un uniquey ∈E tel quef =φy.
Preuve. L'unicité est évidente, il faut seulement montrer l'existence.
On suppose que f 6= 0, sinon on peut prendre y = 0. SoitH =Ker(f). On a vu que E =H⊕H⊥. Soit b∈H⊥ non nul. Pour tout x∈E on a :
x−f(x)b
f(b) ∈Ker(f) =H et en prenant le produit scalaire avecb:
hx, bi= f(x)kbk2 f(b) , d'où le résultat avec
y=f(b)b kbk2 .
Thm. L'applicationφ:x7→φx est un isomorphisme (anti-holomorphe surC) deE dansE∗.
Def. Un morphisme antiholomorpheu:E→F est compatible avec la somme mais tel queu(λx) =λu(x).
4.7 Orthogonalité
On se place dans un espace préhilbertien E, le produit scalaire est notéh·,·i.
Def. Une famille(ui)i∈I de vecteurs est un système orthogonal siui6= 0pour toutiet si de plushui, uji= 0 pouri6=j. C'est une famille orthonormée si de plushui, uii= 1pour touti.
Rq. Alors la famille (ui) forme un système libre (les vecteurs sont linéairement indépendants). En eet, si P
iλiui= 0on voit en prenant le produit scalaire avecuj queλj = 0.
Ex. Dans L2([0,2π]) le système orthogonal constitué des fonctions x 7→ (1/√
2π) sin(kx), k ≥ 1 et x 7→
(1/√
2π) cos(kx), k≥0.
Def. Un système (ai)i∈I dansE est sommable s'il existes ∈E tel que pour tout > 0 il existe une partie nieI0⊂Itelle que pour toute partie nieI1satisfaisantI0⊂I1⊂Ion aitks−P
i∈I1aik ≤.sest la somme de la famille.
Def. (ai)i∈I est absolument sommable si la famille de nombre réels positifs(kaik)est sommable.
Rq. Dans un espace de Hilbert (complet) toute famille absolument sommable est sommable.
Pté. PrenonsI=N. Si la famille (ai)i∈N est sommable (resp. absolument sommable) alors la sériePai est convergente (resp. absolument convergente).
4.8. BASE HILBERTIENNE 23 Proposition (inégalité de Bessel). Soit (ui)i∈I un système orthonormé. Pour tout x∈ E, la famille de nombres complexes(hx, uii)est absolument sommable dans C, et on a :
X
i∈I
|hx, uii|2≤ kxk2 .
Preuve : il sut de montrer l'inégalité pour J ⊂ I ni. On utilise la projection orthogonale sur le SEV engendré par lesuj, j∈J.
4.8 Base hilbertienne
Def. Base topologique dans un espace préhilbertien, avec existence de coefs tels que famille sommable de sommex.
Def. SoitEpréhilbertien. Une base hilbertienne est un système orthonormé qui est aussi une base topologique deE.
Procédé d'orthonormalisation de Hilbert-Schmidt, existence de bases hilbertiennes dans un espace de Hilbert séparable. Polynômes orthogonaux .
Thm. SoitEespace de Hilbert, soit(ei)une famille orthogonale. Alors(ei)est une base de Hilbert ssi le SEV engendré est dense dansE.
Thm (égalité de Parseval). Soit (ei) une famille orthogonale dans E Hilbert, c'est une base hilbertienne ssi pour toutx∈E on a :
kxk2=X
i∈I
|hx, eii|2 .
Prop. Si(ei)est une base hilbertienne on a aussi pour toutx∈E x=X
i
hx, eiiei .
Prop. Si(ei)est une base hilbertienne on a aussi pour toutx, y∈E hx, xi=X
i
hx, eiihy, eii.
Def. Espace Hilbert séparable : qui admet une base famille dénombrable dense.
Thm. Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne.
Preuve : repose sur le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt. On construit récursivement la famille (fi)à partir de la famille(ei), i∈N.
4.9 Compléments
Théorème de Lax-Milgram
24 CHAPITRE 4. ESPACES DE HILBERT
Bibliographie
[1] G. Skandalis, Mathématiques pour la licence - topologie et analyse, Dunod, 2001.
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