Compléments sur la dérivation Table des matières

Compléments sur la dérivation

Table des matières

I Composée de deux fonctions . . . 1

I.1 Exemple : . . . 1

I.2 Notations . . . 1

I.3 Exercice . . . 1

II Dérivée de la composée de quelques fonctions : . . . 2

II.1 Dérivée def ◦g . . . 2

II.2 Dérivée dex7→p u(x) . . . 2

II.3 Dérivée dex7→uⁿ(x),n∈N^∗ . . . 3

II.4 Dérivée de 1 u . . . 3

II.5 Dérivée de la fonctionx7→f(ax+b) . . . 3

II.6 Dérivée de e^u . . . 4

III Convexité d’une fonction . . . 4

III.1 Activité B page 1. . . 4

III.2 Fonction convexe . . . 4

III.3 Point d’inflexion . . . 7

III.4 Exemple 1 . . . 7

III.5 Exemple 2 . . . 8

I Composée de deux fonctions

I.1 Exemple :

Soitf la fonction définie parf(x)= 1 x².

Si on veut calculer f(3), on commence par calculer 3²puis 1 3². Schématiquement : f :x7→x²7→ 1

x².

On applique donc d’abord la fonction carré, puis la fonction inverse. On dit qu’on a commencé la fonction carré par la fonction inverse.

I.2 Notations

Notonsula fonction carré :u(x)=x²etvla fonction inverse :v(x)=1 x. Schématiquement : f :x−→^u_x y=x²−→^v 1

y = 1 x². On note : f =v◦u, composée deuparv. Donc :v◦u(x)=v(u(x)).

": on commence par la fonction écrite la plus à droite.

I.3 Exercice

Écrire les fonctions suivantes comme composée de deux fonctions : a f(x)=¡

x⁺3x+5¢2

b g(x)=e^x+3 c h(x)=p

x²+1

II Dérivée de la composée de quelques fonctions :

II.1 Dérivée def ◦g

Soitg une fonction définie et dérivable sur un intervalleI et à valeurs dansJet f une fonction définie et dérivable surJ.

Alors f ◦g est dérivable et¡ f ◦g¢_′

=g^′ס f^′◦g¢

. Pour toutx∈I,¡

f ◦g¢_′

(x)=g^′(x)×f^′(g(x)).

Théorème admis

Démonstration: Soitx₀un réel de l’intervalleI. On doit montrer que f ◦g(x)−f ◦g(x₀)

x−x₀ admet une liste finie quandxtend versx₀. Or : f ◦g(x)−f ◦g(x₀)

x−x₀ = f ◦g(x)−f ◦g(x₀)

g(x)−g(x0) ×g(x)−g(x₀) x−x₀ . g est dérivable enx₀donc lim

x→x₀

g(x)−g(x0)

x−x₀ =g^′(x0)..

g est continue enx₀, donc lim

x→x₀g(x)=g(x0).

f est dérivable en f (x0) donc lim

x→x0

f ◦g(x)−f ◦g(x₀) g(x)−g(x0) =f^′¡

g(x0)¢

=f^′◦g(x0).

On en déduit que : (f ◦g)^′=g^′×f^′◦g II.2 Dérivée dex7→p

u(x)

Soituune fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle I., de fonction dérivéeu^′. La fonction f définie sur I par f :x7→p

u(x) est dérivable en tout nombrextel queu(x)6=0 et f^′(x)= u^′(x)

2p u(x).

Propriété

On applique la formule de dérivations d’une fonction composée avecg=uet f :x7→px.

Exemple : f(x)=p

3x²+5x+7 définie surR.

f(x)=p

u(x) avecu(x)=3x²+5x+7 etu^′(x)=6x+5.

Alors : f^′(x)= 6x+5 2p

3x²+5x+7 .

II.3 Dérivée dex7→uⁿ(x),n∈N^∗

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Soitu^′sa fonction dérivée. et soitnun entier relatif non nul.

La fonctionuⁿest dérivable et¡ uⁿ¢_′

=nu^′×uⁿ⁻¹.

Propriété

On applique la formule de dérivation d’une fonction composée avecg=uetf(x)=xⁿ. Exemple :Soitf :x7→¡

3x²+5x−7¢5

; f =u⁵avecu(x)=¡

3x²+5x−7¢5

. On a alors f^′=¡

u⁷¢′

=7u^′u⁷⁻¹=7u^′u⁶avecu^′(x)=6x+5.

Par conséquent : f^′(x)=7(6x+5)¡

3x²+5x−7¢6

.

II.4 Dérivée de 1 u

Soituune fonction définie, non nulle et dérivable sur un intervalleI. Soitu^′sa fonction dérivée. et soit nun entier relatif non nul.

La fonction 1

uⁿ est dérivable et¡ uⁿ¢_′

= −n× u^′ uⁿ⁺¹.

Propriété

Exemple: Soit f :x7→ 1

¡x²+x+1¢5 surR.

On a f(x)= 1

¡x²+x+1¢5 doncf = 1 uⁿ avec

½ n=5

u(x)=x²+x+1 . f^′= −n u^′

uⁿ⁺¹= −5×u^′

u⁶ avecu^′(x)=2x+1.

Par conséquent : f^′(x)= − 5(2x+1)

¡x²+x+1¢6

II.5 Dérivée de la fonctionx7→ f(ax+b)

Soientf une fonction définie surRet deux nombresaetb.

La fonctiong :x7→ f(ax+b) est dérivable surRet a pour dérivéeg^′x7→a×f^′(ax+b).

Propriété

On applique la formule de dérivation d’une fonction composée avecg(x)=ax+b.

Exemple : Soitf :x7→cos(2x+3); f^′(x)=2 cos^′(2x+3)= −2 sin(2x+3).

II.6 Dérivée dee^u

On supposeudérivable sur jun intervalleI. Alors e^uest dérivable et¡

e^u¢_′

=u^′e^u

Propriété

ExempleSoitf(x)=e^x2+1x définie surR^∗. f =e^uavecu(x)=x²+1

x. f^′=u^′e^uavecu^′(x)=2x− 1

x². Alors : f^′(x)=

µ 2x− 1

x²

¶

e^x2+1x =

µx³−1 x²

¶ e^x2+1x

III Convexité d’une fonction

III.1 Activité B page 1 III.2 Fonction convexe

Si f est dérivable sur un intervalleI et si la dérivéef^′est elle-même dérivable, on note f^′′la dérivée de f^′, donc f^′′=¡

f^′¢_′ .

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalleI et soitC_f sa courbe représentative dans un repère ortho- gonal.

On dit que f estconvexesurI lorsqueC_f est en dessous de chacune de ses sécantes entre deux points d’intersection.

Définition

0 1 2 3 4 5 6 7 8

+

+

Soitf une fonction définie sur un intervalleI et deux fois dérivable.

Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

• f est convexe surI.

• La courbe représentative def est entièrement située au-dessus de ses tangentes.

• f^′est croissante surI.

• f^′′est positive surI

Propriété

Démonstration partielle: montrons que sif^′′est positive,C est au-dessus de ses tangentes.

Soitaun réel deI; l’équation de la tangente esty=f^′(a)(x−a)+f(a).

Soitg la fonction définie parg(x)=f(x)−£

f^′(a)(x−a)+f(a)¤

(différence des ordonnées d’un point deC _et d’un point de la tangente enade même abscisse).

g est deux fois dérivable comme différence de fonctions deux fois dérivables.

g^′(x)=f^′(x)−f^′(a) car la dérivée de la fonction affinex7→ f^′(a)(x−a)+f(a) est f^′(a), coefficient directeur de la tangente.

Alors =g^′′(x)=f^′′(x).

Par hypothèse, f^′′(x)Ê0 doncg^′′(x)Ê0.

On en déduit queg^′est croissante, avecg^′(a)=f^′(a)−f^′(a)=0.

g est donc décroissante pourxÉapuis croissante pourxÊa, avecg(a)=0.

On en déduit le tableau de variation deg :

x a

g^′(x) − 0 + g(x) ^❅❅

❅

❘0

✒

Le minimum deg est 0, doncg(x)Ê0 pour toutx∈I.

C est bien au-dessus de sa tangente.

Illustration ci-dessous

0 2 4 6 8

−2

−4

0

−2 2 4 6 8

b A

bM

bx

b

bf(x)

bf^′(a)(x−a)+f(a)

a f(a)

C

Remarque: f est concave si f^′est décroissante ou sif^′′<0

III.3 Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative d’une fonction traverse sa tangente.

La fonction change alors de convexité; elle passe de fonction convexe à concave oui réciproquement.

Définition

Soitf une fonction deux fois dérivable surI.

La courbeC_f admet un point d’inflexion au point abscisseasi, et seulement si,f^′′s’annule en changeant de signe ena.

Propriété

III.4 Exemple 1 f(x)=x³.

f^′(x)=3x²et f^′′(x)=6xqui change de signe en 0.

C admet un point d’inflexion en 0. La courbe traverse sa tangente en O.

0 1

−1

−2 0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8 1 2 3 4 5 6 7

III.5 Exemple 2

Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x)=x³−6x²+3x+1.

SoitC_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

f est deux fois dérivable surRet f^′′(x)=6x−12=6(x−2).

f^′′s’annule donc une seule fois en changeant de signe enx=2

Le point M de coordonnées (2 ; -9)est donc le seul point d’inflexion de la courbe, comme on peut le vérifier sur sa représentation graphique.

0 1 2 3 4 5

−1 0

−4

−8

−12

−16

−20 4

+