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O3: Lignes de transmission
1. Modélisation
1. Schéma équivalent
La transmission sur grande distance d’un signal électrique ne se fait pas de manière parfaite : la ligne de transmission possède une certaine résistance, et il existe des interactions électro- magnétiques entre les deux brins du câble.
Le schéma équivalent ligne est le suivant, pour un tronçon de longueur dx :
R : résistance linéique (en Ω.m-1) L : inductance linéique (en H.m-1) G : conductance linéique (S.m-1) C : capacité linéique (F.m-1) Dans les lignes actuelles, on peut négliger R et G devant L et C.
2. propagation d’une onde électrique
mise en équation pour un signal quelconque : V(x+dx)-V(x) = Rdx I(x) + Ldx 𝑑𝐼
𝑑𝑡 −𝑑𝑉
𝑑𝑥= 𝐿𝑑𝐼
𝑑𝑡 (en négligeant R) I(x+dx)-I(x) = GdxV(x) + Cdx 𝑑𝑉
𝑑𝑡 −𝑑𝐼
𝑑𝑥 = 𝐶𝑑𝑣
𝑑𝑡 (en négligeant G)
𝑑2𝑉
𝑑 𝑥2− 𝐿𝐶𝑑2𝑉
𝑑 𝑡2 = 0 équation d’une onde se propageant à la célérité 𝑐 = 1
𝐿𝐶
Si on alimente la ligne par un signal quelconque, celui-ci se propage dans la ligne selon une onde à la
vitesse
c =
1𝐿𝐶 (c en m.s-1)
exemple pour un générateur de tension sinusoïdale : V(0,t) = A sin(2𝜋𝑓𝑡) à une distance x du générateur : V(x,t) = A sin(2𝜋𝑓(𝑡 −𝑥
𝑐))
calculer la longueur d’onde λ de l’onde électrique pour une fréquence f = 5MHz (on prendra L = 2.10-7 H.m-1 et C = 80 pF.m-1) c = 2,5.108m.s-1
λ = 50 m
V(x) V(x+dx)
dx dx
dx dx
2 3. impédance caractéristique
On se place en régime sinusoïdal. On définit l’impédance caractéristique Zc telle que V=Zc I
et en remplaçant V dans le système d’équations précédent :
−𝑍𝑐𝑑𝐼
𝑑𝑥 = 𝑅 + 𝑗𝐿𝜔 𝐼 (1)
−𝑑𝐼
𝑑𝑥 = 𝐺 + 𝑗𝐶𝜔 𝐼 (2) 1/2 𝑍𝑐² =𝑅+𝑗𝐿𝜔
𝐺+𝑗𝐶𝜔
on montre que 𝑍𝑐 = 𝑅+𝑗𝐿𝜔𝐺+𝑗𝐶𝜔
pour une ligne sans perte, cette impédance devient : 𝑍𝑐 = 𝐿
𝐶 Zc en Ω
2. Propagation dans la ligne
1. Expression du retard
L’impulsion parvient à la longueur x de la ligne avec un retard 𝛥𝑡 =𝑥
𝑐 Δt retard en s
𝑐 = 1
𝜆𝐶 célérité en m.s−1
2. Atténuation
Dans le cas d'une ligne réelle (avec pertes), l'amplitude du signal de sortie est plus faible que celle du signal d'entrée. On définit l'atténuation linéique Aℓ
• US : amplitude du signal en bout de ligne
𝐴ℓ= −20
ℓ log 𝑈𝑠
𝑈𝑒 • Ue : amplitude du signal d'entrée
• ℓ : longueur de la ligne
3. Réflexion
1. Adaptation d’impédance
Comme toute onde lorsqu'elle change de milieu, on observe une réflexion de l'onde électrique en bout de ligne.
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Pour empêcher la présence d’une onde réfléchie, il faut mettre en bout de ligne une résistance de valeur égale à l’impédance caractéristique de la ligne : Rch = Zc.
2. type de réflexion
3. coefficient de réflexion
Soit V+ le signal incident, et V- le signal réfléchi.
Le coefficient de réflexion ρ correspond au rapport d’amplitude entre les deux signaux : 𝜌 = 𝑉𝑚𝑎𝑥−
𝑉𝑚𝑎𝑥+
ρ dépend de la résistance R placée en bout de ligne : on a 𝜌 = 𝑅𝑐ℎ−𝑍𝑐
𝑅𝑐ℎ+ 𝑍𝑐
pour le montrer, il faut introduire le coef de transmission τ et l’onde transmise V2 (ou I2) :
à l’interface : V++V- = V2 1+ρ = τ
I+-I- = I2 1
𝑍𝑐 𝑉+− 𝑉− =1
𝑅𝑉2 1
𝑍𝑐 1 − 𝜌 =1
𝑅𝜏 …
R = 0 ρ = 1 : l’onde est entièrement réfléchie
R∞ ρ = -1 : l’onde est entièrement réfléchie et inversée
R = Zc ρ = 0 : il n’y a pas de réflexion
4. Rapport d’onde stationnaire (ROS) On alimente la ligne par une onde sinusoïdale.
Si la ligne n'est pas adaptée, les ondes incidentes et réfléchies se superposent pour former une onde stationnaire : l'amplitude du signal varie suivant la position x considérée :
• on a un maximum d'amplitude si l'interférence est constructive : 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑚++ 𝑉𝑚−
• on a un minimum si l'interférence est destructive : 𝑈𝑚𝑖𝑛 = 𝑉𝑚+− 𝑉𝑚−
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x en m
Pour mesurer la qualité de la transmission, on utilise le Rapport d'Ondes Stationnaires (ROS) qui dépend du coefficient de réflexion ρ :
𝑅𝑂𝑆 =𝑈𝑚 𝑎 𝑥
𝑈𝑚 𝑖𝑛 =1+|𝜌|
1−|𝜌|
• si |ρ| = 1 (ligne ouverte ou en court circuit : ROS → ∞)
• si |ρ| = 0 (ligne adaptée : ROS = 1)
