CHAPITRE 1 : THEORIE DES LIGNES DE TRANSMISSION

CHAPITRE 1 :

THEORIE DES LIGNES DE TRANSMISSION

I. LIGNES DE TRANSMISSION

 Une ligne de transmission est un ensemble de deux ou plusieurs conducteurs acheminant de concert un signal électrique, d'une source (ou émetteur) vers une charge (ou récepteur).

 On s’intéresse aux phénomènes de propagation prenant naissance dans les câbles ou des structures de propagation en mode TEM, lors de leur utilisation pour le transport des signaux sur une distance grande devant la longueur d’onde.

 Les lignes de transmission les plus courantes sont :

o La ligne coaxiale : elle est constituée d’un conducteur intérieur et d’un conducteur extérieur

Câble coaxial flexible type RG-59.

A: Gaine extérieure en plastique B: Blindage en cuivre

C: Diélectrique

D: Conducteur central (âme) en cuivre

o La ligne bifilaire : elle est constituée de 2 fils conducteurs cylindriques identiques parallèles entre eux.

o La ligne micro-ruban : elle est constituée d’un substrat en diélectrique (epoxy, teflon,..)

entièrement métallisé sur une de ses faces (plan de masse), comportant une piste conductrice sur l’autre face.

 En pratique, on utilise une ligne de transmission par exemple pour transporter le signal issu d'un émetteur, vers une antenne. Ou réciproquement pour transporter le signal issu d'une antenne, vers un récepteur. Dans ces deux cas, l'impédance caractéristique du câble coaxial est généralement de 50 Ohms. On utilise aussi une ligne de transmission, sous forme de paire torsadée d'impédance

caractéristique 600 Ohms, pour transporter des signaux téléphoniques, numériques ou analogiques.

II. MODELISATION DES LIGNES

Quelles sont les équations qui gèrent v(x,t) et i(x,t) ?

On considère une section Δx de la ligne, Δx très petit et sa représentation par des éléments ponctuels est :

R,L,C,G sont les paramètres primaires de la ligne de transmission.

L : énergie magnétique emmagasinée (H/m)

G : perte diélectrique dans l’isolant qui n’est pas parfait (S/m) (Siemens/m), c’est la conductance entre les 2 conducteurs.

C : énergie électrique emmagasinée (F/m) R : pertes ohmiques (conducteur) (Ω/m)

III. EQUATION DES TELEGRAPHISTES

) , ) (

, ) (

, ( )

,

( V x dx t

t t x Ldx I t

x RdxI t

x

V  



 

 Donc,

t t x L I t x x RI

t x V



 

 

 ( , )

) , ) (

, (

On a aussi : ( , ) ( , ) ( , )

) ,

( GdxV x t I x dx t

t t x Cdx V t

x

I   



 

Donc, ( , ) ( , ) ( , ) t x t GV

t x c V x

t x

I 



 





Equations des télégraphistes

IV. CAS PARTICULIER : SOLUTION EN REGIME SINUSOIDAL PERMANENT

 ^V(x,t)Ré





 ^{I(x,t) Ré}





Remarque : Il ne faudra pas oublier que le terme e^jtexiste toujours.

Donc,





















) ( ) ) (

(

) ( ) ) (

(

x GV x CV dx j

x dI

x RI x LI dx j

x dV





. Donc,





















) ( ) ) (

(

) ( ) ) (

(

x V C j dx G

x dI

x I L j dx R

x dV





Donc, ^{2 (}₂ ^{) ( ) ( ) (R j L)}





dx x L dI j dx R

x V

d         

Donc, ( ) ( )( ) ( ) 0

2

2  R j L G j C V x 

dx x V

d  

Donc, ( ) ₂ ( ) 0

2

2  V x 

dx x V

d  : équation d’onde, avec : ² (R jL)(G jC)

RAPPEL :

Soit une ligne de Transmission s’étendant de Sousse à Nabeul.

 Une impulsion envoyée de Sousse est-elle reçue immédiatement à Nabeul ? Non, donc f(t).

 A un temps donné, le signal est-il le même à Sousse qu’à Nabeul ? Non, donc f(z).

Donc, on vient d’établir que le signal sur la ligne est : 1) Fonction du temps

2) Fonction de la distance 3) Qu’il se propage

Donc, la solution est n’importe quelle fonction de la forme : V=f(t- z/v)

Sousse Nabeul

Exemple : cos(t-z/v) ou Ln(t- z/v) ou (t - z/v)ⁿ : cette fonction représente une onde qui se propage en direction +z à une vitesse v qu’on appellera vitesse de propagation.

SUITE DU COURS :

 Une solution de cette équation différentielle serait : V(x) Ae^x Be^x V₀^e^x V₀^e^x De même, on obtiendra : I(x)I₀^e^x I₀^e^x

On met ainsi en évidence que la solution générale de l’équation de propagation (des télégraphistes) est la superposition d’une onde progressive se propageant dans le sens des

0

x et d’une onde se propageant dans le sens des x0 (rétrograde).

Où,  est appelée constante de propagation,   j Avec :

0

 : constante d’affaiblissement linéique, souvent exprimée en dB/m. On rappelle la définition du décibel : dB=20 log₁₀R, où R : rapport de tensions.

 : constante de phase, et représente le déphasage linéique (rad/m).

Inutile à mentionner : Il est démontré que pour une ligne à faibles pertes :







 

 C

G L L R C 2

 1 et   LC

 Considérons le terme V₀^e^x. On peut écrire : V₀^e^x V₀^e^xe^jx.

 En réinsérant la variation sinusoïdale, on a :

     

) ,

(x t RéV₀e e RéV₀ e e e RéV₀ e e ^{( )} V₀e t x

V^  ^{ x jt}  ^{ x jx jt}  ^{ x jtx}  ^{ x}  

 Donc, ^V(x,t)^V₀^{excos(}^t^x) (*)

 Or, 1 ) cos ( )

( cos 2 )

/ ( 2 cos ) (

cos )

cos( x

v t x f x

t f x

t x

t x

t         

 





 



 





Où, v est la vitesse de propagation en m/s. (vf ).

 Donc, ^{cos( ) cos ( x)} v t x x

t   



 La fonction (*) est représentée ci-dessous pour différentes valeurs de t :

 β est appelée constante de phase. Donc, (z₂ z₁)2 )

(z₂ z₁

  . Donc,



  ² ou



 ²

Exercice d’application N°1 :

Trouvez la longueur (en longueur d’onde) de la ligne suivante (on supposera v=3x10⁸ m/sec) : une ligne de 8 cm à 3 000 MHz.

Réponse : L=0,8 λ

V. IMPEDANCE CARACTERISTIQUE

Où, ( )

) (

)

( Z x

x I

x

V  : impédance et Z_c : impédance caractéristique

On met ainsi en évidence cette grandeur lorsque l’on veut annuler l’une des 2 ondes.

Si l’onde réfléchie est nulle, nous avons alors : V(x)V₀^e^x et I(x)I₀^e^x L’équation

t t x L I t x x RI

t x V



 



 

 ( , )

) , ) (

,

( permet alors de déduire que :



 jL R x I

x

V  

) (

)

( . Cette

quantité est indépendante de x et est appelée « impédance caractéristique de la ligne » et notée Z_c. Elle représente l’impédance vue en tout point de la ligne.



 jL Z_c  R .

On vérifie facilement que l’on a :



 jC G

jL Z_c R



 

2 , soit pour une ligne sans pertes :

C Z_c  L .

Remarque :

Pour annuler l’onde réfléchie, il suffit de connecter l’impédance caractéristique en bout de ligne.

 Câble de laboratoire : R_c50,C100pF/m, L250nH/m , v2.10⁸m/s(vitesse de propagation de phase

v LC1

 )

 Câble d’antenne de télévision : R_c75

 Câble téléphonique : R_c300

Récapitulatif : Pour une ligne de transmission

Cas général Ligne sans pertes γ α+jβ = (R jL)(G jC) jβ avec   LC Z_c

C j G

L j R









C L

Exercice d’application N°2 : Vérifier que

Zc

I V

  ⁰

0 et que

Zc

I V

  ⁰ 0

Réponse : On sait que : ( , ) ( ) ( , ) t x I L j x R

t x

V   



 et que : V(x)V₀^e^x V₀^e^x

 On applique la dérivée : ^{V e x V e x}





x x

V  ^{ }_  ^{ }_   ^{ }_  ^{ }_





0 0

0 0

) (

 Donc, 





 Donc,

 

L j R

C j e G

V e V C j G L j L R

j R

e V e V L

j R

e V e t V x

I ^{x x}

x x

x x



 

 

  ^{ }











 





 

 



 ^{ }  ^{         } ( )

. )

)(

( . .

) ,

( ^{0 0 0 0} _{0 0}

 On a posé :

C j G

L j Z_c R







  . Donc,

 

c x x

e Z V e V t x

I 1

. )

,

(  ₀^{ }  ₀^{ } .

 Donc, _



 



 

 ^{   x}

c x c

Z e e V Z t V x

I( , ) ^{0  0 } .

 Or, on a déjà écrit que : I(x)I₀^e^x I₀^e^x

 Donc,

Zc

I V

  ⁰

0 et

Zc

I V

  ⁰ 0

 Donc, ^ _^{  }_

0 0 0

0

I V I

Z_c V

Exercice d’application N°3 : Si et V(t,x)Re(V(x)e^jt), trouvez :

1. V(t,0) ; v(t,5) ; v(t,10)

2. L’affaiblissement en db à x=5 ; à x=10 (référence à x=0).

3. L’affaiblissement par unité de longueur 4. i(t,10) si ZC=50|-30°

Réponse :

1.

 

112 cos 50

112 50 100 100

sin 50 cos

100 )

0 ( Re ) 0 ,

( ^{2 2}   



 



 









 V e t t t t t

t

V ^jt     

) 6 , 26 cos(

9 , 67 ) 5 ,

(t  t 

V 

) 6 , 26 cos(

2 , 41 ) 10 ,

(t  t 

V 

2. L’affaiblissement en db à x=5 ; à x=10 (référence à x=0).

A x=5, aff 4,35dB 112

9 , log 67

20 



 



 

A x=10, aff 8,7dB 112

2 , log 41

20 



 



 

3. L’affaiblissement par unité de longueur : att=0,87 dB/m 4. i(t,10) si Z_C=50|-30°

) 6 , 56 cos(

82 , 0 ) 10 ,

(t  t 

I 