Première S2 Exercice sur le chapitre 4 : E4. 2007 2008
E4 Savoir déterminer des coefficients de polynômes.
1 ) Déterminons les coefficients a, b, et c pour que l'égalité soit vraie pour tout réel x.
( x − 2 ) ( ax² + bx + c ) = -2x3 + 3x² + 5x − 6.
Pour tout x ∈ ,
( x − 2 ) ( ax² + bx + c ) = -2x3 + 3x² + 5x − 6 ⇔ ax3 + bx² + cx − 2ax² − 2bx − 2c = -2x3 + 3x² + 5x − 6 ⇔ ax3 + ( b − 2a )x² + ( c − 2b ) x − 2c = -2x3 + 3x² + 5x − 6 ⇔
a = - 2 a = - 2
b − 2a = 3 ⇔ b = 3 − 4 = -1
c − 2b = 5 c = 5 − 2 = 3
-2c = - 6 c = 3
Les coefficients sont donc a = - 2 et b = - 1 et c = 3.
2 ) f est le polynôme défini par f ( x ) = 3x4 − 4x3 + 1.
Déterminons les réels a, b, et c tels que pour tout réel x, on ait : f ( x ) = ( x − 1 )² ( ax² + bx + c ) Pour tout x , ( x − 1 )² ( ax² + bx + c ) = 3x4 − 4x3 + 1 ⇔ ( x² − 2x + 1 ) ( ax² + bx + c ) = 3x4 − 4x3 + 1
⇔ ax4 + bx3 + cx² − 2ax3 − 2bx² − 2cx + ax² +bx + c = 3x4 − 4x3 + 1
⇔ ax4 + ( b − 2a ) x3 + ( c − 2b + a ) x² + ( b − 2c ) x + c = 3x4 − 4x3 + 1 ⇔ a = 3
b − 2a = - 4 a = 3
c − 2b + a = 0 ⇔ b = -4 + 6 = 2
b − 2c = 0 c = - 3 + 4 = 1
c = 1
Les réels déterminés sont a = 3 ; b = 2 et c = 1.
3 ) ( x² − 1 ) ( ax3 + bx² + cx ) = x5 + x3 − 2x ⇔ ax5 + bx4 + cx3 − ax3 − bx² − cx = x5 + x3 − 2x ⇔ a = 1
b = 0 a = 1
c − a = 1 ⇔ b = 0
- b = 0 c = 2
- c = - 2
Les coefficients sont donc a = 1 et b = 0 et c = 2.
