TES 2 – DS 2 – 3 h 00 – 03/11/2005
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 :
Soit f, la fonction définie sur [- 6 ; 9] par f(x) = − 13 x3 – 1
2 x2 + 6x.
1. a. Calculer la dérivée de f.
b. Etablir le tableau de variations de f sur [- 6 ; 9] .
2. a. Par lecture du tableau de variations, indiquer le nombre de solution de l’équation f(x)=5 . b. Montrer que l’équation f(x) = 5 admet une solution unique dans [2 ; 3].
Exercice 2 :
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, sans justification.
• une réponse exacte rapporte 0,5 points ;
• une réponse inexacte enlève 0,25 points ;
• une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève rien.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Exercice 3 :
Soit g la fonction définie et dérivable sur [−4; 6], dont la courbe représentative C est tracée ci-contre dans un repère orthonormal (O,
i , j )
La droite D est tangente à la courbe C au point A de coordonnées ( 1 ; 1
3 )
1) Donner les valeurs de g(3) et g(0).
2) Déterminer l’équation de la droite D qui passe par les points A (1 ; 1
3 ) et B ( 4
3 ; – 1) 3) Donner les valeurs de g’ ( – 1) et g’ (1).
4) En justifiant, déterminer parmi les trois courbes suivantes laquelle est celle qui représente la fonction g’
dérivée de la fonction g.
Exercice 4 :
On considère les deux fonctions f et g définies sur – { – 1} par f(x) = 9
x + 1 et g(x) = 2 x – 1, et on désigne par C f et C g leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.
1. Donner, sur un même dessin, l’allure de C f et C g restreintes à l’intervalle [ – 4, 4]. On pourra utiliser une calculatrice. Combien de solutions semble avoir l’équation f(x) = g(x) ?
2. Résoudre cette équation par le calcul puis interpréter graphiquement le résultat . 3. Déterminer la position relative de C f et C g sur – { – 1}.
Exercice 5 : PARTIE A
Soit g la fonction définie sur I = [- 5 ;5 ] par : g(x) = x 3 + 3 x ² + 3 x – 5 L’étude des variations de g a permis d’obtenir le tableau
de variations ci-contre.
1. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet sur I une unique solution
α
puis montrer que α est contenu dans l’intervalle [0;1].Donner un encadrement de α à 10−2 près.2. En déduire le signe de g(x) sur I.
x
g(x) -5
-70
5
210
PARTIE B
Soit f la fonction définie sur ] − 1; 5] par : f(x) = x 3
−
3 x +1 (x + 1) ² .1. Calculer f’(x) sur ] − 1;5].Montrer que pour tout x appartenant à ] − 1; 5], f’ (x) = g(x) (x +1)3 . 2. Etablir le tableau de variation de la fonction f.
Exercice 6 :
Soit f la fonction définie sur par : f(x) = x 3 + 3 x ² + 3 x – 5 et C f sa représentation graphique dans un repère (O,
i ,
j ).1. Déterminer l’équation réduite de la tangente D à C f au point A d’abscisse 1.
2. Déterminer l’abscisse des points où la tangente à C f est parallèle à la droite d’équation y = 3x – 7
Barème indicatif : 2,5-2,5-3,5-4-4,5-3
