TES 3 Devoir surveillé no4 le 11 décembre 2007
Nom :. . . .
Le soin et la rédaction prendront une part importante dans la notation des copies. Le sujet est à rendre obligatoirement avec la copie. Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 (4 points).
Pour chacune des questions, une seule réponse est correcte. Cochez la case correspondant à la réponse qui vous semble bonne. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point.
Une question sans réponse n’enlève ni ne rapporte de point. Si le total des points est négatif1, la note de l’exercice sera ramenée à zéro.
QUESTIONS RÉPONSES
1.Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’affirmer que la primitive de la fonction f sur R qui s’annule en 2 est la fonction g.
pourx∈R,f0(x) =g(x)etf(2) = 0 pourx∈R,g0(x) =f(x)etg(2) = 0 pourx∈R,g0(x) =f(x)etg(0) = 2 pourx∈R,f0(x) = g(x)etg(0) = 2
2.Soit uune fonction admettant U pour primitive sur un intervalle I. Les primitives sur I de la fonctionf définie par f :x7→u(x)u0(x) sont les fonctions gk qui s’écrivent :
gk :x7→ 12x2+k oùk ∈R
gk :x7→U(x)×u(x) +k oùk ∈R.
gk :x7→ 12(u(x))2+k, où k∈R.
gk :x7→u(x) +k, où k ∈R.
3.SiG est une primitive de f sur I, alors pour tout a ∈I, le coefficient directeur de la tangente àCG au point d’abscisse a est :
G(a)
f(a)
f0(a)
ça dépend de la constante k.
4.Soit f la fonction définie sur I =]4 ; +∞[ par f(x) =−2x+ 1− x−48 . Soit f0 la fonction dérivée de f sur I. Une expression de f0(x)est :
f0(x) =−2−(x−4)8 2
f0(x) = (2−x)(x−6)(x−4)2
f0(x) = −2x(x−4)2+16x−242
f n’est pas dérivable sur I.
Exercice 2 (4 points).
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]1 ; +∞[ par f(x) = 2x+3x−1. 1. Calculer les limites suivantes :
lim
x→1+f(x) et lim
x→+∞f(x)
Quelles conclusions graphiques peut-on en tirer ? 2. Déterminer f0(x)pour x >1.
3. En déduire le tableau de variation de f sur]1 ; +∞[.
4. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point A d’abscisse 2.
1Hypothèse absurde, j’espère. . .
TES 3 Devoir surveillé no4 le 11 décembre 2007
Exercice 3 (5 points).
Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts l’inquiètent. Il ne réussit le premier que dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s’il ne réussit pas le premier, il rate le second 3 fois sur 10 ; sinon, lorsqu’il réussit le premier, ils réussit le second dans 90 % des cas.
On note R1 l’événement : « le premier saut est réussi » et R2 l’événement « le deuxième saut est réussi ».
On pourra construire un arbre pondéré pour répondre aux questions suivantes . . . 1. a. Quelle est la probabilité de R1?
b. Calculer la probabilité deR2 sachant que R1 est réalisé.
c. Calculer la probabilité deR2 sachant que R1 n’est pas réalisé.
2. Déterminer la probabilité de l’événement « le patineur a réussi les deux sauts ».
3. a. Calculer la probabilité de l’événement R2.
b. Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut. Calculer la pro- babilité qu’il ait aussi réussi le premier saut.
Exercice 4 (5 points).
Une urne contient trois boules blanches et quatre boules rouges. On tire successivement et sans remise deux boules de cette urne.
On note B1 l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » et B2 l’événement :
« on obtient une boule blanche au deuxième tirage ».
Dans cet exercice, on donnera les réponses sous forme de fractions réduites.
1. Déterminer la probabilité de l’événement B1.
2. Construire un arbre pondéré résumant cette expérience aléatoire.
3. Calculer la probabilité de l’événement B2. 4. Calculer p(B1∩B2).
5. Les événements B1 etB2 sont-ils indépendants ? Justifier.
Exercice 5 (2 points).
Une boite contient des jetons rouges et des jetons verts ; tous sont numérotés 0 ou 1.
Il y a dans la boite 100 jetons rouges dont 45 portent le numéro 1. Il y a n jetons verts dont 63 portent le numéro 1.
On prend au hasard un jeton dans la boite et on note R l’événement « le jeton est rouge » et U l’événement « le numéro est 1 ».
1. Si n = 100, les événementR et U sont-ils indépendants ?
2. Déterminer toutes les valeurs de n pour que R etU soient indépendants.
