Equations de droite

Equations de droite

Exercice 1

On consid`ere le quadrilat`ere ABCD o`u A(3 ; 3), B(3 ; -1), C(-2 ; -4) et D(-2 ; 0).

D´emontrer que ABCD est un parall´elogramme et calculer les coordonn´ees de son centre I.

Exercice 2

D´eterminer un vecteur directeur et le coefficient directeur de chacune des droites suivantes : (d) 2x - 5y + 7 = 0

(d’) 3y - 4x = 0 (d”) -x = y

Exercice 3

Soient les points A(3 ; 5), B(1 ; 3) et C(-3 ; 2).

a)D´eterminer une ´equation de la droite (AB).

b)D´eterminer une ´equation de la droite (d) passant par C et parall`ele `a (AB).

c) Soit D(x ; y). D´eterminer les coordonn´ees de D pour que ABCD soit un parall´elogramme.

d)On consid`ere le point E(1 ; 6). D´emontrer que les points C, D et E sont align´es.

Exercice 4

Trouver les valeurs de x pour que les vecteurs~uet~v soient orthogonaux : a)~u(-2 ; -5) ~v(1 ; x+4)

b)~u(5 ; 11) ~v(2 ; x) c)~u(x ; 3) ~v(x ; -6)

Exercice 5

Trouver une ´equation de la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire `a la droite D.

a)A(1 ; 1) D a pour ´equation x + y - 5 = 0 b)A(-2 ; 3) D a pour ´equation 2x - y + 2 = 0

Exercice 6

a)Placer les points A(3 ; 6) B(1 ; 2) C(5 ; 4) dans un rep`ere (O ;~i,~j).

b)D´eterminer une ´equation de la m´ediatrice de [AB].

c) D´eterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

d)Calculer l’aire du triangle ABC.

Exercice 7

Voici un syst`eme d’in´equations :

"

y x^¡1 y2x^¡1

Le r´esoudre graphiquement

Exercice 8

R´esoudre graphiquement les syst`emes suivants : a)

'

'

&

'

'

%

y^¤3 y^¥1 y^¤2x y^¥2x2 b)

$

'

'

&

'

'

%

y^¤3 y^¥1 y^¤2x y^¥2x2

Exercice 9

Au cirque de Pythaville, un adulte paie x euros et un enfant y euros.

Lundi dernier, pour 20 adultes et 10 enfants, la recette ´etait de 160 euros et le lendemain, pour 30 adultes et 60 enfants, la recette ´etait de 420 euros.

Mais combien paie donc un adulte ? Et un enfant ? a)R´esoudre ce syst`eme graphiquement.

b)V´erifier que le couple (x ; y) trouv´e est bien solution des ´equations pr´ec´edentes.

c) Conclure.

Correction

Exercice 1

Si ABCD est un parall´elogramme alors^ÝAB^ÝÑÝDC^ÝÑ Or ^ÝAB^ÝÑp0;4^q

ÝÝÑ

DC^p0;4^q

Donc ABCD est un parall`elogramme.

Dans un parall´elogramme, les diagonales se coupent en leurs milieu, donc le centre I du parall´elogramme est le milieu de [AC]

I

xa xc

2 ;ya yc

2

I

1 2;1

2

Exercice 2 2x5y 70 y 2x7

5 y 2

5x 7 5

Le coefficient directeur de (d) est 2 5. La droite d’´equationy 2

5x 7

5 et la droite d’´equationy 2

5xont le mˆeme vecteur directeur (car ils ont le mˆeme coefficient directeur).

On constate que six1 alorsy2 5

Le vecteur directeur de la droite (d) a pour coordonn´ees

1;2 5

. 3y4x0

y 4 3x

Le coefficient directeur de (d’) est 4 3 On constate que six1alorsy4 3

Le vecteur directeur de la droite (d’) a pour coordonn´ees

1;4 3

yx

Le coefficient de la droite (d”) est1 On constate que six1 alorsy1

Le vecteur directeur de la droite (d”) a pour coordonn´ees^pp1;1^q

Exercice 3

a) On sait queA^p3; 5^qet qu’une fonction affine est de la formeyax b On se ram`ene donc a unsyst`eme de deux ´equations `a deux inconnues.

"

3a b5 a b3 On trouve

$

&

%

a1 b2

b)L’´equation de la droite passant par C et parall`ele `a (AB) a donc le mˆeme coefficient directeur que la droite (AB)

D’o`u a1

On a donc l’´equation suivante :

3 b2 D’o`u b5

c) Si ABCD est un parall`elogramme alors<sup>Ý</sup>AB<sup>ÝÑÝ</sup>DC<sup>ÝÑ</sup> On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

23x

22y On trouve

"

x1 y4 Donc D(-1 ; 4).

d)Si C, D et E sont align´es alors ^ÝCD^ÝÑet ^ÝCE^ÝÑsont colin´eaires.

ÝÝÑ

CD^p2; 2^q

ÝÝÑ

CE^p4; 4^q

Si ^ÝCD^ÝÑet ^ÝCE^ÝÑsont colin´eaires alors X^ÝÝÑ

CDY^ÝÝÑ

CEX^ÝÝÑ

CEY^ÝÝÑ 24420 CD

Donc C, D et E sont align´es.

Exercice 4

a) On d´etermine une ´equation de la droite ayant pour vecteur directeur~u On trace la droite ayant pour vecteur directeur, le vecteur~upassant par O(0 ;0) On constate que :

- L’image de 0 est 0 - L’image de -2 est -5

On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

b0

2a b5 D’o`u

#

a5 b02

L’´equation de la droite ayant pour vecteur directeur~uest doncy5 2x On d´etermine une ´equation de la droite ayant pour vecteur directeur~v

On consid`ere la droite ayant pour vecteur directeur le vecteur~vet passant par O(0 ;0) On constate que

- L’image de 0 est 0 - L’image de 1 est x+4

On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

b0

x 4a b D’o`u

"

ax 4 b0

Si 2 droites sont perpendiculaires alors le produit de leur coefficient directeur est ´egale `a -1.

5

2^px 4^q1 x 22

5

b)On d´etermine une ´equation de la droite ayant pour vecteur directeur~u On trace la droite ayant pour vecteur directeur, le vecteur~upassant par O(0 ;0) On constate que :

- L’image de 0 est 0 - L’image de 5 est 11

On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

b0 5a b11 D’o`u

#

a11 b05

On consid`ere la droite ayant pour vecteur directeur le vecteur~vet passant par O(0 ;0) On constate que

- L’image de 0 est 0 - L’image de 2 est x

On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

b0 x2a b D’o`u

#

ax b02

Si 2 droites sont perpendiculaires alors le produit de leur coefficient directeur est ´egale `a -1.

11

5

x 2 1 x 10

11

c) On d´etermine une ´equation de la droite ayant pour vecteur directeur~u On trace la droite ayant pour vecteur directeur, le vecteur~upassant par O(0 ;0) On constate que :

- L’image de 0 est 0 - L’image de x est 3

On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

b0 ax b3 D’o`u

#

a 3 b0x

On consid`ere la droite ayant pour vecteur directeur le vecteur~vet passant par O(0 ;0) On constate que

- L’image de 0 est 0 - L’image de x est -6

On a donc le syst`eme d’´equation suivant

"

b0 ax b6 D’o`u

#

a6 b0x

Si 2 droites sont perpendiculaires alors le produit de leur coefficient directeur est ´egale `a -1.

3 x

6 x 1

18 x² 1

18x² x²18 x3

?

2 oux3

?

2

Exercice 5

a) D a pour ´equationyx 5

Le produit du coefficient directeur de D et du coefficient directeur de la droite passant par A est ´egal `a -1 car les deux droites sont perpendiculaires.

On a donc le syst`eme d’´equations suivant

"

a1 a b1 On trouve

"

a1 b0

Donc l’´equation de la droite passant par A estyx b)D a pour ´equation y2x 2

Le produit du coefficient directeur de D et du coefficient directeur de la droite passant par A est ´egal `a -1 car les deux droites sont perpendiculaires.

On a donc le syst`eme d’´equations suivant

"

2a1

2a b3

On trouve

#

a1 b22

Donc l’´equation de la droite passant par A esty 1 2 x 2

Exercice 6

b)On prend un point M(x;y) situ´e sur la m´ediactrice [AB]

On sait que le point M est ´equidistant de A et de B donc MA=MB Donc

a

px3^{q2 p}y6^q2

a

px1^{q2 p}y2^q2 En ´elevant au carr´e, on obtient

px3^{q2 p}y6^q2px1^{q2 p}y2^q2

x²6x 9 y²12y 36x²2x 1 y²4y 4 x²6x y²12y 45x²2x y²4y 5

6x12y 452x4y 5

4x8y 400 y 1

2 x 5

c) On d´etermine l’´equation de la m´ediatrice de [AC]

On prend un point N(x ;y)

On sait que le point N est ´equidistant de A et de C donc NA=NC Donc

a

px3^{q2 p}y6^q2

a

px5^{q2 p}y4^q2 En ´elevant au carr´e on obtient

px3^{q2 p}y6^q2px5^{q2 p}y4^q2

6x12y 4510x8y 41 4x4y 410x8y 41 yx 1

On cherche l’intersection des 2 m´ediactrices.

1

2 x 5x 1

3

2 x 40 x 8

3

On cherche l’image de 8 3

8 3

1 11 3

Le centre I du cercle circonscrit a pour coordonn´ees

8 3;11

3

Le rayon du cercle est ´egale `a IA IA

d

8 33

2 11 3 6

2

IAsqrt1 9

49 9 IA sqrt50

3

d)Le triangle ABC `a l’air isoc`ele en B

Si le triangle ABC est isoc`ele en B alors BA=BC V´erifions-le

BA

a

p13^{q2 p}26^q2

?

4 16

?

20 BC

a

p51^{q2 p}42^q2?16 4

?

20 Donc, le triangle ABC est isoc`ele en B.

On appelle H, le milieu du segment [AC]

AireABC

HBAC Coordonn´es de H2 H

3 5

2 ;6 4 2

H(4 ;5)

Distance BH

HB

a

p41^{q2 p}52^q2

?

9 9

?

183

?

2 Distance AC

AC

a

p35^{q2 p}64^q2?4 4

?

82

?

2 AireABC

HBAC 2 AireABC

3

?

22

?

2 AireABC 6 2

Exercice 7

On a le syst`eme suivant

"

y x^¡1 y2x^¡1 On a donc

"

y^¡1x y^¡1 2x On prend

"

f^px^q1x^pF^q g^px^q1 2x^pG^q

L’ensemble des points v´erifiant le syst`eme d’in´equation se trouve au dessus de la courbe F et au dessus de la courbe G. (Zone violette sur le graphique)

Exercice 8

a) On a le syst`eme suivant

$

'

'

&

'

'

%

y^¤3 y^¥1 y^¤2x y^¥2x2 On prend f^px^q3^pF^q h^px^q1^pH^q i^px^q2x^pI^q g^px^q2x2^pG^q

L’ensemble des points v´erifiant le syst`eme d’in´equations ce trouve au dessus de H et de G et en dessous de F et de I. (Zone verte sur le graphique)

b)On a le syst`eme suivant

$

'

'

&

'

'

%

y^¤3 y^¥1 y^¤2x y^¥2x2 On prend f^px^q3^pF^q h^px^q1^pH^q i^px^q2x^pI^q g^px^q2x2^pG^q

L’ensemble des points v´erifiant le syst`eme d’in´equations ce trouve au dessus de H et de G et en dessous de F et de I. (Zone bleue sur le graphique)

Exercice 9

a) Soity le prix pay´e par un adulte.

Soitxle prix pay´e par un enfant.

Lundi :

20y 10x160 y 1

2 x 8 Mardi :

30y 60x420 y2x 14

L’intersection des deux droites a pour coordonn´ees (4 ;6) b)y 1

2 x 8

1

2 4 8y

y6 y2x 14 y24 14 y6

Le couple (4 ;6) est bien solution de ce syst`eme.

c) Un adulte paie donc 6AC et un enfant, 4AC .