Corrigé Sujet 5

1/4 / ANNALE BAC 2018 Exercice 1 : (4 points)

1. L’affirmation est fausse.

On résout le système

 + =

− =

− + = +

 1

3 15 2 2 1 3

t k t

t k

. On obtient

 = −

 = −

 =

 4 5 12 11 k

t .

Par conséquent, les droites (d₁) et (d₂) ne sont pas sécantes.

2. L’affirmation est fausse.

L’équation paramétrique

 = − +

 = −

 = +



4 2 6 2 10

x t

y t

z t

est l’équation d’une droite perpendiculaire au plan (P) et passant par A.

3. L’affirmation est vraie.

Les vecteurs n^1

(

3 ; 1 ; 1⁻

)

et n^2

(

2 ; 5 ; 1⁻

)

sont deux vecteurs normaux respectifs des plans (P) et (Q).

Comme   =

1. 2 0

n n , donc les plans (P) ⊥ (Q) . 4. L’affirmation est vraie.

Soit

(

  

)

A;AB,AD,AE un repère orthonormé de l’espace.

On a JI 0,5 ; 0,5 ; 1^

(

^{− −}

)

et ^JK 0,5 ; 0,5 ; 0 .

(

⁻

)

Alors, = − + =

JI . JK 0,25 0,25 0 0 et par conséquent, IJK est un angle droit.

Exercice 2 : (6 points)

Partie A 1. a)

( )

→−∞ →−∞ →−∞

→+∞ →+∞

= − − ≥ ⇔ ≥ −

= − + = +∞ = +∞

 

=  − + = +∞

 

' 3 1. : 3 1 0 ln(3).

lim 3 0et lim 1 . Donc lim ( ) .

lim ( ) lim 3 1 .

x x

x

x x x

x x x

x x

g x e On a e x

e x g x

g x e x

e e

Série / S Épreuve / Mathématiques Durée / 4 H

Coefficient / 9 Baccalauréat / 1^er tour Session / 2017

Corrigé Sujet

5

2/4 / ANNALE BAC 2018

Série S > Mathématiques > Sujet N°5

b) D’après le tableau de variation, g(x) a pour minimum 2 + ln 3 et comme 2 + ln 3 > 0. Alors ∀x ∈ R, on a g(x) > 0.

2. ⁻

→−∞ →−∞ →−∞

−

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= − ∞ + = − ∞ = − ∞

= = + = + ∞ = + ∞

lim et lim 3 1 . Donc lim ( ) .

lim lim 0 et lim 3 1 . Donc lim ( ) .

x

x x x

x x

x x x x

xe x f x

xe ex x f x

3. a) = ⁻ − ⁻ + = ⁻  − + − = ⁻

(

− +

)

= ⁻

'( ) ^{x x} 3 ^x 1 3_x ^x 1 3 ^{x x} ( ).

f x e xe e x e e x e e g x

b) f ’ est strictement positif.

4. D’après le tableau de variation, l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α.

À l’aide de la calculatrice, on a α ≈ – 0,235 5. a) _xlim ( ) 3_→+∞f x ⁻

(

x^{+ =}1

)

_xlim_→+∞xe^−x=_xlim_→+∞ x_x ⁼0.

Donc la droite (d) d’équation y = 3 x + 1 est une asymptote oblique à la e courbe (𝒞) au voisinage de + ∞.

b) f (x) – (3 x + 1) = x e ^{– x}. Or, x e ^{– x} est du signe de x.

Donc sur l’intervalle ]– ∞ ; 0], la courbe (𝒞) est en dessous de la droite (d) et sur l’intervalle [0 ; + ∞[, la courbe (𝒞) est au dessus de la droite (d).

c) L’algorithme affiche 20.

d) Cet algorithme détermine le plus petit entier x ≥ 1 tel que l’écart entre l’asymptote oblique et la courbe (𝒞) soit strictement inférieur à un réel r donnée.

Partie B

1. H'(x) = e ^{– x} – (x + 1)e ^{– x} = – x e ^{– x} = h(x).

2. L’aire du domaine D vaut :

(

^{+ −}

)

⁼

( )

^{− =  = − −}

∫0² (3x 1) f x dx( ) ∫0² xe dx^x H x( )²0 3e ² 1 u.^a.

3/4 / ANNALE BAC 2018 Série S > Mathématiques > Sujet N°5

Exercice 3 : (6 points) Partie A :

1. Avec la calculatrice, on a p(X ≤ 13) ≈ 0,221.

La probabilité qu’un flacon soit non conforme est 0,221.

2. Une valeur approchée du réel a tel que p(Z ≤ a) = 0,02 est a ≈ − 2,054.

= −σ ⇔ = σ +

 − 

≤ = ⇔ σ + ≤ = ⇔  ≤ σ = X 14' 'Z 14.

(X 13) 0,02 ( 'Z 14 13) 0,02 Z 1' 0,02.

Z X

p p p

Comme Z suit la loi normale (0 ; 1), on a avec l'aide de la calculatrice : Z ≤ − 2,054.

On a donc −σ1'= −2,054⇔ σ =' −2,054−1 ≈0,487.

La valeur attendue de σ' est donc 0,487.

3. On a : n = 420 > 30, p = 0,02. Donc np = 8,4 > 5 et n(1 − p) = 441,6 > 5.

Les conditions nécessaires sont vérifiées.

Ainsi, = − − + −  = 

 

= ≈

fluctuation

(1 ) (1 )

I 1,96 ; 1,96 0,0066 ; 0,0334 .

9 0,0214.

420

p p p p

p p

n n

f

Comme f ∈ Ifluctuation , alors le service qualité du restaurant peut accepter l'affirmation la publicité de la société Assal-agro.

Partie B :

On a : n = 230 > 30, f _{= 230}¹⁷⁰. Donc nf = 170 > 5 et n(1− f ) = 60 > 5.

Ainsi,  − + 

1 ; 1

f f

n n ,soit [0,673 ; 0,805] est donc un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs du sel liquide.

4/4 / ANNALE BAC 2018

Série S > Mathématiques > Sujet N°5

Exercice 4 : (4 points)

1. ∆ = − 12 < 0 d'où, z₁=− +2 2i 12 = − −1 i 3 et z₂=− −2 2i 12 = − +1 i 3.

2. a) z_A=2e^i23π et z_B=2e^−i23π. b) Voir la figure ci-dessous.

3. a) z z_C^B−− ^A_A =−i33 . z z

b) ABC est donc un triangle rectangle en A.

4. Le cercle (𝒞) est le cercle circonscrit du triangle ABC et son centre est le point I d'affixe z_I=z z^B+2 ^C= =4 22 , milieu du segment [BC], et son rayon est

= ^C− ^B = 48 = R z 2z 2 2 3.

De plus, la distance DI est d'où, DI= z z_I− _D =2 3 R= . et donc D ∈ (𝒞).

5. Voir la figure ci-dessous.