Trigonométrie : Formules d’addition
Tout se passe ici dans le cercle trigo. Les vecteurs sont donc unitaires (normes égales à 1).
Ainsi,−→u ·−→v =k−→uk k−→vkcos (−→u ,−→v) = cos (−→u ,−→v). Formules en cosinus :
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
Moyen mnémotechnique : le cos est sympa car il groupe les fonctions (cos cos et sin sin) mais il inverse les signes+→ −et
− →+
a b
i j
v u
O b-a
Le simple schéma ci-dessus montre que si³−→\i ,−→u´
=a, et³−→\i ,−→v´
=b,alors(−→\u ,−→v) =b−a.
Donc−→u ·−→v = cos(b−a)relation notée (1) Or dans le repère³
O;−→i;−→j´
évidemment orthonormé,−→u =
µ cos(a) sin(a)
¶
et−→v =
µ cos(b) sin(b)
¶ . L’expression analytique du produit scalaire donne alors−→u ·−→v = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b).
D’après (1), on a donc cos(a−b) = cos(b−a) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b).
On pourra démontrer en remarquant queb+a=b−(−a)et en utilisant les propriétés de parité des fonctions cos et sin que cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b).
Formules en sinus :
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)
Moyen mnémotechnique : à l’inverse, le sin est désagréable car il mélange les fonctions (sin cos et cos sin) mais en revanche il conserve les signes).
On utilise le fait quesin(x) = cos(π/2−x)donc icisin(a+b) = cos(π/2−a−b) = cos [(π/2−a)−b]. Ainsi,sin(a+b) = cos(π/2−a+b) = cos(π/2−a) cos(b)−sin(π/2−a) sin(b)
= sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)puisque, dans le cas général,cos(π/2−x) = sin(x)etsin(π/2−x) = cos(x) Formules de duplication et de linéarisation :
Si dans les formules ci-dessus, on prenda=b=x,il vient : cos(2x) = cos2(x)−sin2(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ce sont les formues de duplication.
Or on sait quecos2(x) + sin2(x) = 1.
En remplaçant donccos2(x)par1−sin2(x)dans la première, il vient : cos(2x) = 1−2 sin2(x) Où encore en remplçantsin2(x)par1−cos2(x)il vient : cos(2x) = 2 cos2(x)−1.
Donc cos(2x) = cos2(x)−sin2(x) = 2 cos2(x)−1 = 1−2 sin2(x).
Mais dans les relations ci-dessus, on peut, à l’inverse exprimercos2(x)etsin2(x)à l’aide decos(2x).
Ainsi,cos(2x) = 2 cos2(x)−1 =⇒cos2(x) = 1 + cos(2x)
2 et de même,sin2(x) =cos(2x)−1 2 cos2(x) = 1 + cos(2x)
2 sin2(x) =cos(2x)−1
2
formules dites de linéarisation (car elles transforment un degré 2 en degré 1)
EXERCICES :
1. Montrer quecos(3x) = 4 cos3(x)−3 cos(x)
2. Démontrer que poura6=π/2 +kπ, b6=π/2 +kπ, eta6=b+π/2 +kπ,tan(a−b) = tan(a)−tan(b) 1−tan(a) tan(b)
3.A
B
C
O θ x
x
2x 2x
AB=BC=x, OA=OC= 2x,θ=COA,[ Calculersin(θ) SOLUTIONS :
1. En effetcos(2x+x) = cos(2x) cos(x)−sin(2x) sin(x)Orcos(2x) =£
2 cos2(x)−1¤
et sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) Donccos(3x) =£
2 cos2(x)−1¤
cos(x)−2 sin(x) cos(x) sin(x) =£
2 cos2(x)−1¤
cos(x)−2 sin2(x) cos(x) Orsin2(x) = 1−cos2(x)d’oùcos(3x) =£
2 cos2(x)−1¤
cos(x)−2¡
1−cos2(x)¢
cos(x) = 4 cos3(x)−3 cos(x) On montrera de même quesin(3x) = 3 sin(x)−4 sin3(x)
.
2. sin(a−b) = sin (a) cos (b)−cos (a) sin (b),etcos(a−b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b). Donctan(a−b) = sin(a−b)
cos(a−b) =sin (a) cos (b)−cos (a) sin (b)
cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)= tan(a)−tan(b)
1−tan(a) tan(b) résultat obtenu en divisant numérateur et dénominateur parcos (a) cos (b)qui est non nul par hypothèse.
3. On montre facilement que les triangles OAB et OBC sont isométriques, donc\BOC=BOA\=θ/2 D’après la formule des sinus, sin(θ/2)
x =sin(π/2−θ/2)
x =cos(θ/2)
x =⇒cos(θ/2) = 2 sin(θ/2)
Orsin(2x) = 2 sin(x) cos(x)doncsin(θ) = 2 sin(θ/2) cos(θ/2)etsin(θ) = 2 sin(θ/2)×2 sin(θ/2) = 4 sin2(θ/2).
Orsin(θ/2) = OC OB = x
√5x2 = 1
√5 etsin(θ) = 4× µ 1
√5
¶2
= 4 5. combien de côt
