Trigonométrie : Formules d’addition

Trigonométrie : Formules d’addition

Tout se passe ici dans le cercle trigo. Les vecteurs sont donc unitaires (normes égales à 1).

Ainsi,−→u ·−→v =k−→uk k−→vkcos (−→u ,−→v) = cos (−→u ,−→v). Formules en cosinus :

cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

Moyen mnémotechnique : le cos est sympa car il groupe les fonctions (cos cos et sin sin) mais il inverse les signes+→ −et

− →+

a b

i j

v u

O b-a

Le simple schéma ci-dessus montre que si³−→\i ,−→u´

=a, et³−→\i ,−→v´

=b,alors(−→\u ,−→v) =b−a.

Donc−→u ·−→v = cos(b−a)relation notée (1) Or dans le repère³

O;−→i;−→j´

évidemment orthonormé,−→u =

µ cos(a) sin(a)

¶

et−→v =

µ cos(b) sin(b)

¶ . L’expression analytique du produit scalaire donne alors−→u ·−→v = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b).

D’après (1), on a donc cos(a−b) = cos(b−a) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b).

On pourra démontrer en remarquant queb+a=b−(−a)et en utilisant les propriétés de parité des fonctions cos et sin que cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b).

Formules en sinus :

sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)

Moyen mnémotechnique : à l’inverse, le sin est désagréable car il mélange les fonctions (sin cos et cos sin) mais en revanche il conserve les signes).

On utilise le fait quesin(x) = cos(π/2−x)donc icisin(a+b) = cos(π/2−a−b) = cos [(π/2−a)−b]. Ainsi,sin(a+b) = cos(π/2−a+b) = cos(π/2−a) cos(b)−sin(π/2−a) sin(b)

= sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)puisque, dans le cas général,cos(π/2−x) = sin(x)etsin(π/2−x) = cos(x) Formules de duplication et de linéarisation :

Si dans les formules ci-dessus, on prenda=b=x,il vient : cos(2x) = cos²(x)−sin²(x)

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ce sont les formues de duplication.

Or on sait quecos²(x) + sin²(x) = 1.

En remplaçant donccos²(x)par1−sin²(x)dans la première, il vient : cos(2x) = 1−2 sin²(x) Où encore en remplçantsin²(x)par1−cos²(x)il vient : cos(2x) = 2 cos²(x)−1.

Donc cos(2x) = cos²(x)−sin²(x) = 2 cos²(x)−1 = 1−2 sin²(x).

Mais dans les relations ci-dessus, on peut, à l’inverse exprimercos²(x)etsin²(x)à l’aide decos(2x).

Ainsi,cos(2x) = 2 cos²(x)−1 =⇒cos²(x) = 1 + cos(2x)

2 et de même,sin²(x) =cos(2x)−1 2 cos²(x) = 1 + cos(2x)

2 sin²(x) =cos(2x)−1

2

formules dites de linéarisation (car elles transforment un degré 2 en degré 1)

EXERCICES :

1. Montrer quecos(3x) = 4 cos³(x)−3 cos(x)

2. Démontrer que poura6=π/2 +kπ, b6=π/2 +kπ, eta6=b+π/2 +kπ,tan(a−b) = tan(a)−tan(b) 1−tan(a) tan(b)

3.^A

B

C

O θ x

x

2x 2x

AB=BC=x, OA=OC= 2x,θ=COA,[ Calculersin(θ) SOLUTIONS :

1. En effetcos(2x+x) = cos(2x) cos(x)−sin(2x) sin(x)Orcos(2x) =£

2 cos²(x)−1¤

et sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) Donccos(3x) =£

2 cos²(x)−1¤

cos(x)−2 sin(x) cos(x) sin(x) =£

2 cos²(x)−1¤

cos(x)−2 sin²(x) cos(x) Orsin²(x) = 1−cos²(x)d’oùcos(3x) =£

2 cos²(x)−1¤

cos(x)−2¡

1−cos²(x)¢

cos(x) = 4 cos³(x)−3 cos(x) On montrera de même quesin(3x) = 3 sin(x)−4 sin³(x)

.

2. sin(a−b) = sin (a) cos (b)−cos (a) sin (b),etcos(a−b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b). Donctan(a−b) = sin(a−b)

cos(a−b) =sin (a) cos (b)−cos (a) sin (b)

cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)= tan(a)−tan(b)

1−tan(a) tan(b) résultat obtenu en divisant numérateur et dénominateur parcos (a) cos (b)qui est non nul par hypothèse.

3. On montre facilement que les triangles OAB et OBC sont isométriques, donc\BOC=BOA\=θ/2 D’après la formule des sinus, sin(θ/2)

x =sin(π/2−θ/2)

x =cos(θ/2)

x =⇒cos(θ/2) = 2 sin(θ/2)

Orsin(2x) = 2 sin(x) cos(x)doncsin(θ) = 2 sin(θ/2) cos(θ/2)etsin(θ) = 2 sin(θ/2)×2 sin(θ/2) = 4 sin²(θ/2).

Orsin(θ/2) = OC OB = x

√5x² = 1

√5 etsin(θ) = 4× µ 1

√5

¶2

= 4 5. combien de côt