Production, stockage et utilisation de l’ammoniac

L’ammoniac [PHYSIQUE I-CNC-TSI]

Partie 1

L’ammoniac est une molécule polaire

1. Dipôle électrostatique

1.1. Les conditions de validité de l’expression de^Vp(M):

• Le dipôle est rigide (^p=c t e);

• Le point ^M est très loin de l’origine^O (l’approximation dipolaire).

Le potentiel ne dépend pas deϕpuisque on’a invariance par rotation autour du vecteur moment dipolaire^→−P de l’angleϕ.

1.2. La différence entre le potentiel d’un dipôle et d’une charge ponctuelle:

• V(M) du dipôle dépend de ^r et θ par contre celui de la charge ponctuelle dépend uniquement de^r;

• V(M)du dipôle varie en ¹

r² par contre celui de la charge ponctuelle varie en ¹ r. 1.3. La relation entre le champ électrostatique^−→Ep(M) et le potentiel^Vp(M)est:

−

→E_p(M)= −−−−→

grad^Vp(M) ⇐⇒ dV_p(M)= −−→

E_p(M).−−−−→

dOM

1.4. Les composante du champ ^−→Ep(M):

−

→E_p(M)= −−−−→

grad^Vp(M) ⇒

¯

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¯

¯

¯

¯

¯

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¯

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¯

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¯

¯

¯

¯

E_r = −∂V_p

∂r = 2Pcosθ 4πεor³

E_θ= −1 r

∂V_p

∂θ = Psinθ 4πεor³

E_ϕ= − 1 rsinθ

∂V_p

∂ϕ =0 Et donc β = P

4πεo

( ^{V m2}) La composante ^Eϕ est nulle puisque le plan (^−→Er,−→

E_t) est un plan de symétrie passant par le point ^M ( et donc^→−Ep appartient à ce plan).

1.5. On appelle ligne de champ des courbes telles que le champ ^→−E(M) y tangent en chaque point. C’est à dire l’ensemble des points ^M tels que:

−

→E(M)∧d−−→

OM =→− 0 L’équation des lignes de champ:

M ∈LDC ⇒ →−

E(M)∧d−−→

OM =→−

O ce qui donne Er

d r = 1 r

E_θ

dθ ⇒d r

r =2cosθ sinθdθ Par intégration on obtient:

r =rosin²θ

Les Lignes de champs sont perpendiculaires au surfaces équipotentielles.

2. Molécule polaire placée dans un champ uniforme

2.1. Dans la molécule NH3, le barycentre des charge négatives est l’ion N^3– par contre le barycentre des charges positives est situé dans le plan passant par les trois atomes d’hydrogène.

Comme les deux barycentres sont disjoints alors la molécule d’ammoniac est polaire.

2.2. Représentation:

Puisque dans ce modèle l’atome d’azote porte la charge (−3e) alors les liaisons sont supposées ioniques, et par conséquent chaque atome d’hydrogène pare la charge (+e), d’où le barycentre porte la charge (^q= +3e).

2.3. Le module du moment dipolaire:^P =qd ⇒P =3ed. La valeur de^d:

d = P Application numérique: 3e

d=10, 2pm

2.4. l’expression de l’énergie potentielle d’interaction de la molécule:

Ep = −→− E_ext.−→

P = −E_ext.Pcosα Avecα=(−→á

Eext,→− P).

• Les valeurs extrêmes sont ±E_extP.

• L’énergie est minimale siα=0les deux vecteurs sont colinéaires.

Partie 2

Production, stockage et utilisation de l’ammoniac

2. Diagramme d’état

2.1. On appelle point triple, le point de cœxistence des trois phase Pour l’ammoniac: ^PT =0, 06 baret ^TT =195, 2 K

En effet la température^TT est déterminée par l’intersection des deux courbes (^Ps =P_v) ce qui donne:

lnP_s(T_T)=lnP_v(T_T) ⇒ T_T =195, 2 K

On remplace ^TT par sa valeur on obtient:

P_T =0, 06 bar 2.2. Tracé du diagramme de phase:

Point critique, Au delà de ^Tc on ne peut pas distinguer les phases liquide et vapeur; on parle de l’état fluide.

2.3. L’expression du volume molaire:

• pour un gaz parfait:

v_g =V

n ⇒ v_g = RT P

• Comparaison: L’eau comme exemple

• L’eau vapeur comme gaz parfait à^Po et 100^oC: ^veau,g =22, 4 L mol⁻¹

• L’eau liquide à^Po et 100^oC: ^veau,`=18.10⁻³L mol⁻¹ On justifie bien que :

v_eau,g Àv_eau,`

2.4. L’ expression de l’enthalpie standardmolaire( à préciser dans l’énoncé)∆^c−→gH^o(T): On applique la formule de Clapeyron :

d P

d T = ∆c−→gH^o

T(v_g−v_c) ⇒ ∆c−→gH^o =T(v_g−v_c)d P d T Comme ^vg Àvc alors ^vg−vc 'vg = RT

P ; par conséquent:

∆c−→gH^o=RT²dlnP d T

2.5. Application numérique:

• pour la sublimation : dlnP_s

d T = 3754

T² ⇒ ∆subH^o =31, 21 kJ mol⁻¹

• pour la vaporisation : dlnPv

d T = 3063

T² ⇒ ∆v apH^o=25, 46 kJ mol⁻¹

• pour la sublimation:

Sachant que au voisinage du point triple on a:

∆subH^o+∆v apH^o+∆f usH^o =0 ⇒ ∆f usH^o = −56, 67 kJ mol⁻¹ 3. Production et stockage de l’ammoniac

3.1.

3.1.1. Les grandeurs thermodynamiques:

• ^wu : le travail massique utile, représente le travail de toutes les forces sauf les forces pressantes.

• ^q : la chaleur massique échangée entre le système et le milieu extérieur.

3.1.2. Dans les conditions de la détente le premier principe en système ouvert s’écrit:

∆h=w_u+q 3.2. Détente isenthalpique.

3.2.1. Les conditions sont:

• ^wu =0: absence de toutes pièces mobiles dans la vanne.

• ^q =0: la vanne est calorifugée( pas d’échange thermique avec le milieu extérieur ).

3.2.2. Voir diagramme:

Pour le point A :

T₁=423K et ^P1=75bar s 3.2.3. La température ^T2 à la sortie du gaz.

Pour le point^B :

h_A=h_B;P₂=25bar s donc, d’après le diagramme:

T₂=100^◦C

3.3.

3.3.1. L’emplacement du point ^C ( Voir courbe). La température du stockage ^Ts , d’après le diagramme:

T₂=58^◦C 3.3.2. Calcul de la chaleur ^q cédée par kilogramme:

Absence de pièces mobiles, donc:

q=h_C−h_B D’après le diagramme:

hB=1760 kJ kg⁻¹ et _{hB =660 kJ kg}⁻¹ _{=⇒ q = −1100 kJ kg}⁻¹

3.4.

3.4.1. Détermination de la relation:

? Puisque l’écoulement est isentropique alors ^q=0.

? La conduite n’est pas inclinée donc ^z=c t e.

? Absence de pièce mobile donc ^wu =0.

Conséquence: Dans la conduite, le premier principe s’écrit:

h(x)−h_o= 1 2

¡c_o²−c²(x)¢ 3.4.2. L’expression de ∆h en fonction de ^T(x):

Le gaz est parfait, donc:

h(x)−h_o=c_p(T(x)−T_o)

Avec^cp la capacité massique à pression constante de l’ammoniac.

3.4.3. Relation de Laplace: on a: ^{d H} =T d S+V d P =C_pd T

=⇒ d S=C_pd T

T −nRd P P Comme :^Cp = nRγ

γ−1 alors :

d S= nRγ γ−1

d T

T −nRd P P =0 par intégration on obtient:

γd T

T +(1−γ)d P

P =0 =⇒ T^γP^1−γ=c t e 3.4.4. L’expression de^c(x):

On a: ^h(x)−h_o= 1 2

¡c²_o−c²(x)¢

=⇒ c(x)=p

2(h_o−h(x)) Comme: ^h(x)−ho =cp(T(x)−To)et^Cp= nRγ

γ−1 =⇒ cp= Rγ

M(γ−1); donc:

c(x)=

s 2Rγ

M(γ−1)(T_o−T(x)) Et puisque:

T =T_o³P_o P

´^1−γ_γ

=⇒ T =T_oθ^γ−γ1 Il en résulte que:

c(x)=

s 2RT_oγ M(γ−1)

h

1−θ^γ−1γ i

3.4.5. Expression de la relation entre ^Dm,ρ(x),c(x)et ^S(x): On a: ^Dm=d m

d t =⇒ Dm=ρ(x)S(x)d x d t et comme ^c(x)= d x

d t alors:

D_m=ρ(x)S(x)c(x) 3.4.6. Expression deρ(x)en fonction de ^T(x)et ^P(x): Le gaz est parfait donc:

ρ(x)= M P(x) RT(x) 3.4.7. Montrons l’expression du débit:

On remplace chaque termes par son expression on obtient:

D_m=ρ(x)S(x)c(x) =⇒ D_m=S×M P(x) RT(x) ×

s 2RToγ

M(γ−1)[1−θ^γ−1γ ]

On remarque que :

P(x) T(x)= P_o

Toθ^γ1 Ce qui permet d’écrire:

Dm=S³ Po

s 2γM (γ−1)RT_o

´θ^γ1 q

1−θ^γ−γ1

Par conséquent:

k₁=P_o

s 2γM (γ−1)RTo

3.4.8. L’expression de ^Pc:

En régime permanent on a: ^Dm=c t e, donc:

S(x)=S= D_m k₁θ^1γ

q

(1−θ^γ−1γ S est extrémale si ^{d S}

dθ =0 , ce qui donne après calcul:

P_c=P_o³ 2 γ+1

´_γ−1^γ

3.5.

3.5.1. Les volumes massiques à^293K:

? v_` volume massique de la phase liquide:

v<sub>`</sub>= 1 ρ`

Application numérique: ^v`=1, 39 L kg⁻¹

? v_g volume massique de la phase gazeuse:

v_g = RT M Ps

Application numérique: ^vg =166, 6 L kg⁻¹ 3.5.2. Diagramme de Clapeyron:

• ^AC : la courbe d’ébullition ( apparition des premières bulles gazeuses).

• ^{C B} :courbe de rosée (disparition de la dernière goutte liquide).

3.5.3. Changement de la composition:

• Pour^v Év_c lorsque^T augmente: ^x`−→1 et ^xv −→0.

• Pour^v Êv_c lorsque^T augmente:s ^x`−→0 et ^xv −→1.

3.5.4. Afin de sécuriser le stockage de l’ammoniac , il faut éviter sa transformation en vapeur suite à un accident, pour cela il faut que

v_`>v_C 3.5.5. La masse maximale^mmax d’ammoniac:

m_max =ρcV =10400 kg 3.5.6. La masse^m0max:

État gaz , donc: ^PsV = m⁰_max

M RT ce qui donne:

m⁰_max= PsV M

RT =240 kg 3.5.7. On a: ^xv=0, 25⇒x_`=0, 75

Comme:

m_{`</sub>=x<sub>`}m Application numérique: ^m`=1500;^kg

4. Application: étude d’un système réfrigérant de l’ammoniac 4.1. On a: ∆h=wu+q

Dans le détendeur la transformation est adiabatique ( donc ^q=0) et puisque il ne com- porte pas de pièce mobile alors ^wu =0; par conséquent :

∆h=0 Conclusion:

Dans le détendeur, la transformation est isen- thalpique.

4.2. La transformation ^E1 −→E2 est isentropique donc ( lois de Laplace): ^TγP1−γ = c t e ce qui donne:

T₂=T₁³P₁ P2

´^1−γ_γ

Application numérique: ^T2=350K

• Comme la transformation^E2−→E₃ est isobare alors : P₃=P₂=10bar s

• La transformation^E3−→E₄ est une liquefaction (d’un corps pur); donc la tempéra- ture et la pression restent constantes:

T₄=T₃=298K et ^P4=P₃=10bar s

• La transformation^E5−→E1 est une transition de phase ( évaporation) alors la tem- pérature reste constante, d’où:

T₅=T₁=263K 4.3. Calcul du travail de transvasement ^w12:

On applique le premier principe: ∆h₁₂=q₁₂+w₁₂ Comme ^q12=0 alors :

w12=cp(T2−T1) ⇒ w12= Rγ

M(γ−1)(T2−T1) Application numérique:

w₁₂=184, 4 kJ kg⁻¹ 4.4. Calcul de la chaleur ^q51:

La transformation^E5−→E1 est une évaporation , alors : q51=∆^{v ap}h

Application numérique: ^q51=1500 kJ kg⁻¹

4.5. Le débit massique nécessaire:

D_m=Q₅₁ q₅₁ Application numérique: ^Dm=60 kg h⁻¹

4.6. La puissance théorique absorbée P^co par le compresseur:

P^co=w12Dm

Application numérique: Pco=3, 07 kW 4.7. L’efficacité de la machine:

e= q₅₁ w₁₂ Application numérique: ^e =8, 16