C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, S~rie II b, p. 501-511, 1997 Acoustique, ondes, vibrations~Acoustics, waves, vibrations
R6flexion/r6fraction d'ondes acoustiques une interface
fluide/mat6riau poreux anisotrope
Achour AKNINE, Bernard CASTAGNI~DE et Claude D E P O L L I E R
Institut d'Aeoustique et de M~canique, UMR CNRS n ° 6613, Universit6 du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France.
R6sum6.
Abstract.
Darts le cadre de la th6orie de Biot (1956a, 1956b, 1957, 1962), les coefficients de r6flexion et de transmission en 6nergie sont 6tudi6s pour une interface fluide/solide poreux. La mod61isation prend en compte l'anisotropie. Les expressions analytiques obtenues englobent celles du cas limite isotrope publi6es par Wu (1990). Le modble propos6 est valid6 num6riquement en comparant nos prOdictions avec celles de Wu (1990).
Reflection/refraction of acoustic waves on an interface fluid/porous material
In the general theoretical frame of Biot's model (1956a, b, 1957, 1962), the reflection and refraction energy coefftcients are studied for a fluid~porous solid interface. The model also includes anisotropy. The analytical expressions of the model enable one to retrieve those of the isotropic limit case that were published by Wu (1990). The proposed model is numerically validated by comparing our predictions with those of
Wu (1990).
Abridged English Version
In the present note, Biot's theory (1956a, b, 1957, 1962) is used to study the reflection and refraction of an elastic wave impingeing an anisotropic porous material with an arbitrary angle of incidence. The Poynting theorem (Auld, 1973) is employed for this purpose, and a characteristic numerical simulation is outlined.
The coupled elasticity relationships for both the fluid and the solid frame are given in equation (1).
The motion of both phases is described by equation (2), where expression (3) provides the three densities required. By using a plane wave with an angular frequency co, as given by equation (4), one
Note pr6sent~e par Evariste SANCHEZ-PALENCIA.
A. Aknine, B. CastagnEde et C. Depollier
then derives the system of equations (5), which describes the propagation of elastic waves in the xz plane of a porous solid with hexagonal symmetry. Because the determinant (6) associated with (5) is 4 x 4, there exist four different eigenvalues, while the polarizations are provided by the eigenvectors (for further details see Castagn6de, 1993).
Then the reflection and transmission coefficients are calculated. Figure 1 illustrates the geometrical configuration, while equation (7) recalls the Snell-Descartes law of refraction. The four parts of equation (8) detail the continuity, at the interface between the fluid and the porous medium, of normal and tangential stresses, as well as those of the derivative of the displacement field, and pressure. These relationships are borrowed from Deresiewicz (1962) and Rosenbaum (1974) originally published in the field of geophysics. The expansion of the continuity equations is written in equation (9), and solutions are sought with plane waves as given for the porous medium by (10a) and for the external fluid by (10b). By reporting these expressions in equation (9), one then obtains the system of algebraic equations (11).
The energy reflection and transmission coefficients are then derived by using the Poynting theorem, initially applied to acoustics by Auld (1973), and further studied by Wu (1990). The theorem is given in equation (12), and the analytical expressions for the acoustical intensities are given in equations (13) and (14) for the longitudinal and transverse modes, respectively.
The derivation from these expressions in the limit case of isotropy (following Feng (1983) for one step) is given in the Appendix. It is emphasized that the analytical results of Wu are retrieved that way.
To check the validity of our approach, a numerical simulation is described and the results are presented in figure 2. In the limit case of isotropy, one recovers exactly the results published by Wu (i.e.
figs. 3 and 4 of their work), and energy conservation is rigorously verified. In our work, however, we have made provisions to deal with anisotropy as well, and on-going work in that area is in progress.
Despite the presence of the additional Biot mode, figure 2 is quite similar to that observed in standard elastic or viscoelastic non-porous materials, see, for example, Hosten (1984, 1987).
1. Introduction
Biot (1956a, 1956b, 1957, 1962) a propos6 une thOorie semi-ph6nom6nologique qui fournit une description de la propagation des ondes acoustiques dans les milieux poreux saturOs par un fluide visqueux compressible. Ces derniers sont consid6rOs comme des milieux diphasiques, 61astiques et macroscopiquement homogbnes.
Cette th6orie 6tablit les relations dynamiques h partir de consid6rations 6nerg6tiques et tient compte des couplages inertiels, potentiels et visqueux entre les phases solide et fluide. Elle pr6dit, dans le cas isotrope, que trois types d'ondes de volume peuvent se propager dans un milieu poreux satur6 ; deux de compression et une de cisaillement. L'une des ondes de compression, appelOe onde de premi6re esp6ce ou onde rapide, et l'onde de cisaillement correspondent aux ondes classiques de la thOorie de l'61asticit6. L'autre onde de compression, appel6e onde de seconde esp~ce ou onde lente, est une onde fortement att6nu6e et tr~s dispersive. Elle est diffusive aux basses frOquences et propagative aux hautes fr6quences. Elle a 6t6 observ6e, exp6rimentalement, pour la premiere fois par Plona (1980).
La th6orie de Biot a 6tfi fitablie, initialement, pour la recherche p6trolibre. Cependant, son caractOre g6n6ral a fait qu'elle est appliqu6e dans des domaines aussi variOs que la g6ophysique, l'acoustique sous-marine, la sismologie, etc.
502
Transmission acoustique h une interface poreuse anisotrope Dans cette Note, nous nous proposons d'6tudier la r6flexion et la r6fraction d'une onde acoustique arrivant sous une incidence oblique sur une interface plane fluide/mat6riau poreux isotrope transverse, surface ouverte. En cherchant une solution sous forme d'ondes planes harmoniques aux 6quations de Biot, nous d6terminons les vitesses de propagation et les vecteurs de polarisation des ondes acoustiques transmises dans le milieu poreux satur6. Nous appliquons les conditions aux limites (Deresiewicz, 1962; Rosenbaum, 1974) ~ l'interface fluide/mat6riau poreux pour relier ces ondes r6fl6chie et r6fract6es h l'onde incidente. Nous calculons ensuite les coefficients de r6flexion et de transmission en 6nergie pour chaque mode en utilisant le th6or~me de Poynting (Auld, 1973 ; Wu, 1990) pour le champ acoustique.
Des simulations sont effectu6es pour obtenir la variation de ces coefficients en fonction de l'angle d'incidence.
2. t~quations de Biot
Selon Biot (1956a, 1956b, 1957, 1962), les relations entre contraintes et d6formations pour un milieu poreux satur6 par un fluide et h isotropie transverse sont :
{ as~j = Pi#t ekl + Q~i e
= Qii eij + R e (1)
ofa : Po~t est le tenseur des rigidit6s 61astiques d'un mat6riau poreux anisotrope, Q o est un tenseur d'ordre 2 repr6sentant le couplage potentiel entre le squelette et le fluide interstitiel, R e s t un invariant correspondant au module d'incompressibilit6 du fluide, ekl = 2 k, OX 1 + OX~ / e t e =~-x/ sont les composantes des ddformations des phases solide et fluide et u i, Ui les composantes de leurs vecteurs d6placements.
Les 6quations r6gissant le mouvement de la structure et du fluide sont donn6es par : ffij, j = Plliii + Pl2Ui
s,i = Pl2iii + P22(Ji (2)
avec:
p l z = - ( o~ - 1 ) OPl pll = ( 1 - ~p ) Ps - P12
p22 = ( P P r - p12 (3)
ofa : Ps, PU, cp et c~ sont, respectivement, les masses volumiques du solide et du fluide, la porosit6 et la tortuosit6 du mat6riau poreux, P12 traduit le couplage inertiel entre la matrice et le fluide.
Cherchons la solution sous formes d'ondes planes harmoniques, pour le syst~me d'Oquations (2) dans lequel nous prenons en compte les 6quations (1), telles que:
u i = C i d i e x p j ( o ) t - IKI n . r )
Ui = Ci Oi e x p j ( cot - I K I . . r ) (4)
A. Aknine, B. CastagnEde et C. Depollier
avec • i = 1, 2, 3 et 06 " j = X/-U]-, d~ et D~ sont les composantes des vecteurs de polarisation, ]K I,
-) -.).
n, r et ~o sont, respectivement, le module du vecteur d'onde, le vecteur de propagation unit6, le rayon vecteur et la pulsation. Nous obtenons alors, en se plaqant dans le plan xz :
[ ( A + 2 N ) n~ + Ln~ - P n v2] dx + ( F + L ) n x n ~ d~ + ( M n 2 - P , 2 v2) D~ + M G n z Dz = 0 ( g + L ) G nz d~ + ( Ln 2 + Cn 2 - p u v2) d: + Qnx n~ D ~ + ( Qn 2 - P,2 v2) Dz = 0 ( Mn2~ - P12 v 2 ) d~ + Qnx nz dz + ( Rn2 - P22 v2 ) Dx + Rnx n~ D z = 0 m G n z d~ + ( Qn z - PI: v2 ) d~ + Rnx n~ D~ + ( Rn 2 - P22 v2 ) D~ = 0
(5)
Ceci est un probl~me aux valeurs propres, duquel on d6duit les diff6rentes vitesses et les diffdrents modes de propagation ddcrits dans la th6orie de Biot (1956a, 1956b, 1957, 1962). Le syst~me d'dquations (5) admet des solutions non triviales si son d6terminant est nul.
( A + 2 N ) G + L n 2 - pll 2 V 2 ( F + L ) n x n ~ Mn~ "~ - p12 v 2 Mn x n~
( F + L ) n x n ~ L n 2 + C n ~ - p l l v 2 Q n x n ~ O n ~ - p l 2 v2
mn~ - Pt2 v2 Q G n= Rn~ - P22 V2 R G n~
, , - V 2
M G nz Qn~ - P12 v2 Rn; n. Rn2 - P92
L'6quation (6) correspondant 1993).
= 0 (6)
est de degr6 4 en v 2. Sa r6solution conduit h quatre solutions, une nulle et les trois autres aux carr6s des vitesses de propagation des trois modes cit6s plus haut (Castagnbde,
3 . C o n d i t i o n s a u x l i m i t e s
Soient deux milieux, l'un fluide et l'autre poreux. Nous choisissons un syst6me d'axes orthogonaux tels que le plan xy coincide avec la surface de sdparation de ces deux milieux et le plan xz avec le plan d'incidence de l'onde. Le milieu fluide remplit le demi-espace z < 0 et le matdriau poreux occupe la r6gion z > 0.
Consid6rons une onde plane harmonique se propageant dans le fluide et arrivant, sous une incidence 0, sur l'interface z = 0, comme repr6sent6 sur la figure 1. Cette perturbation g6n6re, du fait de la conversion de modes ~ l'interface, une onde r6fl6chie et trois ondes r6fract6es dans le mat6riau.
Conformdment h la th6orie de Biot, nous obtenons deux ondes de compression et une onde de cisaillement. Du fait de l'anisotropie du milieu poreux satur6, les ondes transmises ne sont ni purement longitudinales ni purement transversales. Toutefois, nous consid6rons que la loi de Snell-Descartes, en z = 0, est toujours v6rifiEe dans le cas d'une isotropie transverse c'est-h-dire isotropie dans le plan xy, et que l'axe z e s t l'axe d'anisotropie. Cela nous permet d'6crire que :
¢n s i n 0 = ~ sin od 1
=~ sin c~ 2 = ~o s i n ~3 = a
V j I,' 1 1' 2 1' 3
oh v~, v 1, v 3 et v 2 sont, respectivement, les vitesses de propagation des longitudinales rapide et lente, et quasi transversale.
(7) ondes incidente, quasi
5 0 4
Transmission acoustique h une interface poreuse anisotrope
0
milieu
R
milieu p o r e u x o
T11 : onde longitudinale rapide TI2 : onde longitudinale lente Tt : onde transversale
Ii ++ Tt
z v TI 2
x
Fig. 1. - G6om6trie du problbme. / : onde longitudinale incidente ; R : onde r6fl6chie ; Tl~ : onde longitudinale rapide transmise ; TI:: onde longitudinale lente transmise ; Tt: onde transverse transmise.
Fig. 1 . - Geometry of problem. I: incident compressional wave; R: reflected wave; Tit: transmitted fast compressional wave; TIe: transmitted slow compressional wave; Tt: transmitted shear wave.
Dans un premier temps nous n6gligeons les effets viscothermiques ; cependant leur prise en compte ne modifie pas la structure des 6quations pr6sent6es jusque-l~t. En effet, il suffit d'introduire une partie imaginaire dans P~2 pour tenir compte des effets visqueux (Johnson, 1982 ; 1987).
Deresiewicz (1962), et 6galement Rosenbaum (1974) ont 6tabli les 6quations aux conditions limites pour le probl~me physique d6crit pr6c6demrnent. Dans le cas d'une interface ~a pores ouverts, nous
aVOI'IS
3.1. continuitd des contraintes normales :
(~rzz + s)lz=o+ = - p l z - 0 3.2. continuit~ des contraintes tangentielles :
~Txzlz:o + = 0 (8)
3.3. continuit~ des vitesses particulaires normales :
( ~ - ¢,) hzl~=o+ + ¢,&~ I+=o + = ~2~ '1+=o
3.4. continuit~ de la pression du fluide :
sl~=o+ = - ~plz=o-
A. Aknine, B. Castagn~de et C. Depollier
Le d6veloppement des 6quations pr6cddentes conduit h :
( F + M ) Oux OUzl ( O U x + _ ~ .-o +
ax z = o + + ( C + Q ) o z z z = O + + ( Q + R ) \ ox ~- = - (pi + f )z= o
ou, OUz'
o /I =0
z = o- (9)
= 0
ou. I OUx ouz'
Nous pouvons 6crire que les vecteurs d6placements t~ et U des phases solide et fluide sont dus aux contributions de chacune des trois ondes transmises. En se pla~ant dans le plan xz et en tenant compte de la loi de Snell-Descartes, les expressions des vecteurs d6placements s'dcrivent •
- d a n s le milieu poreux ."
u = Cid i exp j ( cot - ax - 7i z ),
i = 1
- d a n s le fluide externe :
3
= ~ CiD i e x p j ( c o t - ax - 7, z) (lOa)
i = 1
U ' = \ c o s 0 e x p j ( c o t - a x - T z ) + ~ , - c o s O a r e x p j ( c o t - a x + T z ) (10b) off l'amplitude de l'onde incidente est 6gale /t l'unit6, a r est celle de l'onde r6fl6chie, et
c o
= - - C O S
7 O.
Vr
En reportant les expressions pr6c6dentes de ~, /.~ et U ' dans le syst~me d'6quations (9) nous obtenons •
3
C i [ ( F + M ) adxi + ( C + Q ) 7i dzi + ( Q + R ) ( aDxi + 7i Dzi ) ] - PcoVr a, = pcovf
i = 1
3
E C i [ ( a d : + 7i d x i ) ] + Oar---- 0
i = 1
3
E Ci[ ( 1 - ¢9 ) dzi + (pDzi) ] + ar cos 0 = cos 0
i = 1
3
~ a Ci [ Madxi + QYi dzi + R( aDxi + 7i D~i ) ] - dppcovf ar = dppcovf
i = 1
(11)
5 0 6
Transmission acoustique ~ une interface poreuse anisotrope
La r6solution du syst~me d'6quations alg6briques ( l l ) permet de d6terminer les amplitudes des diff6rentes ondes raises en jeu.
4. Coefficients de r6flexion et de transmission h l'interface z = 0
Les coefficients de r6flexion et de transmission en 6nergie sont calcul6s h partir des rapports des intensit6s acoustiques des ondes rEfl6chie et transmises ~ celle de l'onde incidente. Nous exprimons l'intensit6 acoustique comme &ant la valeur absolue du vecteur de Poynting. Cette grandeur a 6t6 introduite pour l'acoustique des solides par Auld (1973). Wu et al. (1990) l'ont calcul6e pour les mat6riaux poreux isotropes. Son expression est la suivante, dans le cas d'ondes planes harmoniques :
= - j e ) [ e ~ ( u x a,x + U z G z + U ~ s ) + e z ( G Gz + uz ~rzz + U z s ) ] (12) -~ --)
oh e x et e z sont les vecteurs unitaires dans les directions, respectivement, x et z, et or) aij et s sont, respectivement, les composantes des contraintes sur le squelette et sur le fluide.
Le ddveloppement de l'6quation (12) pour les trois modes conduit aux expressions des intensit6s acoustiques correspondantes :
- ondes longitudinales ."
]k = ('OCk 2 [ ( 0././1 q_ ~2 k ,/'/2 )2 if- ( 0"I"/2 "4- ~'k/d3 )2] 1/2 (13) a v e c I_t, = ( A + 2 N ) d2k + Ldz 2 + 2 Mdxk Dxk + RD2~
P2 = ( L + F ) dx~ dz~ + Mdxk Dz~ + Qdzk Dxk + RDxk Dzk
!~3 = Ld2~k + Cd~k + 2 Qdz~ Dz~ + RD~k
oh k = 1 pour l'onde longitudinale rapide et k = 3 pour l'onde longitudinale lente - onde transversale •
2f[a(( A+2N) d22+Ld22)+y2(F+L)d~zdz212 ]1/2
12 = o~C2 ¢[ + [72( ( A + 2 N ) d22 + Ld22) + a( F + g ) dx2 dz2] 2 (14) Les calculs interm6diaires entre les 6quations (13) et (14) sont donnds en annexe.
En se plaqant dans le cas isotrope, nous retrouvons les expressions analytiques des intensit6s acoustiques fournies par Wu (1990) (voir Annexe).
5. Conclusion
Pour valider num6riquement notre module qui d6crit l'acoustique de mat6riaux poreux anisotropes
pores ouverts, nous avons cherch6, dans un premier temps, h retrouver les r6sultats publi6s par Wu et
al. (1990) darts le cas limite d'isotropie. Pour cela nous avons repris les donn6es de leur simulation et
A. Aknine, B. Castagn~de et C. Depollier
retrouv6 ainsi, exactement (fig. 2) les courbes repr6sent6es sur les figures 3 et 4 de leur article. La conservation de l'6nergie est v6rifi6e, ce qui atteste d'une bonne simulation numdrique.
0,8
=~ 0 , 6
0 , 4 7 j
'E 0,2 - - - ~ - __ ~ -Z ?
0 20 40 60 80
angle d'incidence (degr6s)
Fig. 2 . - Coefficients de rdflexion et de transmission en fonction de l'angle d'incidence. * : mode longitudinal rapide ; A : mode longitudinal lent ; + : mode transversal ; x : mode rdfl6chi. Donndes num6riques P = 10,4 GPa ; Q = 1,1 GPa ;
R = 0 , 8 G P a ; N = 2 , S G P a ; Pu = 1,84g. cm 3; p ~ 2 = _ 0 , 3 g . c m 3; p22 = 0 , 7 g . c m 3; vl = 2 6 5 7 , 2 m . s 1;
v 2 = 935,8 m . s 1 ; v3 = 1 281,4 m . s 1 ; v = 1 500 m . s
Fig. 2 . - Energy reflection and transmission coefftcients versus angle of incidence. *: fast compressional mode;
A: slow cornpressional mode; +: shear mode; x: reflection mode. Numerical data: P = 10.4 GPa; Q = 1.1 GPa;
R = 0.8 GPa; N = 2.8 GPa; Pu = 11.84 g. cm 3; P12
- -0.3 g . cm 3; P22 = 0.7 g . cm- 3.
v 1 - 2 6 5 7 . 2 m . s 1; v 2 _ 9 3 5 , 8 m , s- ~; v 3 = 1 2 8 1 , 4 m . s i; v = 1 5 0 0 m . s
Notons, par ailleurs, que l'allure g6ndrale de ces courbes est tout ~t fair analogue ~ ce qui est observ6 clans le cas de solides 61astiques ou viscodlastiques non poreux (Hosten, 1984 ; 1987). La diff6rence majeure tient au fait de l'existence, pour les milieux poreux, de l'onde de Biot (ou onde longitudinale lente). Son amplitude est systdmatiquement faible, ce qui rend son observation, dans de nombreuses configurations expdrimentales, plut6t difficile.
Annexe
Reprenons l'6quation (12):
/D =-Jco[ex( uxax~ + u~axz + U~s) + ez( Uxaxz + uzazI + Uzs)]
. --> - >f i = P x ; x + P - ~
C a l c u l o n s l e s e x p r e s s i o n s d e s c o m p o s a n t e s d e s v e c t e u r s d 6 p l a c e m e n t s e t d e s c o n t r a i n t e s s u r l e s q u e l e t t e e t le f l u i d e , a i n s i q u e le v e c t e u r d e P o y n t i n g p o u r l e s t r o i s m o d e s . N o t o n s q u e l e f a c t e u r e x p j ( c o t - a x - 7 k z ) e s t o m i s p a r c o m m o d i t 6 d e c a l c u l .
508
Transmission acoustique ~ une interface poreuse anisotrope
ondes longitudinales rapide (k = 1) et lente (k = 3) :
Uxk = G clxk, uz~ = G dzk, U~k = G Dxs,, et Ud, = G Dzk
° ~ = ( A + 2 N ) -O-x + F-~-Z + M \ Ox + Oz ~1
= - jC~{ ~ [ ( A + 2 N ) dxk + MDxk ] + Y~( Fdzk + MDz~ ) }
~ = L \ - ~ + Ox ] = - J G L( ~ d.~ + od~ )
OUx~ Ou.~ / OU~ OU.~ ~
= - jC, [ a( Fd.~ + QD~ ) + 7~( Cdz~ + QDz~ ) ] Ou~k Ou~k /" OU~ OU.k ~
= M ~ - ~ - x + Q ~ - + R ~ + ~ )
= -jC~[a(Mdxe + R D ~ ) + "7,~( Qdzk + RDz~)]
[ ~( ( A + 2 N ) d~, + Md~k D~ ) + 7,~( Fdx~ d~ + Md.k D~ )
P.~ = - coCci+ L( 7k d~k dzk + ad2k ) + a( Mdxk D.~ + RD2~ ) + 7,~( QDxk d~ + RDx~ Dz~ ) J
2F a( Fd~k d~k + QD~k dzk ) + "t'k( Cd2~ + Qdzk Dzk ) 1
P~k = - ~ C k + L ( od~k d k + ;"k d~k ) + o ( M d . , D , + RD~k D k ) L - " ~ ~ ~ + 7k( QDzk d~ + RDTk ) J
I k = ~oC 2
"~2( ( A + 2 N ) d~k + Ldz~ + 2 Mdxk D~k + RD2k )2 + 2 ~ryk ( 2 M 4 k D~k + (A + 2 N ) d2k + Ldz 2 + RD~k )
× ( RD~k D~k + ( L + F ) d~k dzk + Mdxk Dzk + Qdzk Dxk ) + 2 ~77k ( LZI~k + Cd2k + 2 Qdzk Dzk + RD~k )
× ( RD~k D~k + ( L + F) d~k dzk + Md~k D~k + Qdz~ Dxk )
+ ( ~r2 + 72 ) ( RD~k Dzk + ( L + F ) d~k dzk + Md~k Dzk + Qd~k Dxk )2 + 7~( Ld~ + Cd2~ + 2 Qdzk Dzk + RD~k )2
1/2
I~ = e)C2[~72/a 2 + 2 ~yk/a, 112 -F 20"~k ]J3 jU 2 4- ( 0 -2 + ) , 2 ) ~ 2 q- y2 ~2] 1,2
I k = 00C2[( O'/J1 + yk,U2) 2 + ( O'/./2 + yk/J3)2] 1/2
A. Aknine, B. Castagn~de et C. Depollier
Comparons nos calculs effectu6s dans le cas d'un mat6riau poreux ~ isotropie transverse au cas -->
isotrope 6tudi6 par Wu (1990). Nous pouvons 6crire, suivant Feng (1983) q u e ' Uk = - Gu+k, et selon Wu (1990) que •
d'ofJ •
Ck dxk = - Jalq) + l, Gdzk--JTdq)+_l, M - Q , L = N , F = A , k - +
Iq~+l 2
- [ a 2 ( 2 Q G + _ ( A + 2 N ) _ R G Z ) _ y 2 + N ]
P l
