Taux de croissance des ondes électrostatiques dans un milieu anisotrope avec ou sans plasma froid

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Taux de croissance des ondes électrostatiques dans un milieu anisotrope avec ou sans plasma froid

J. Jacquinot, C. Leloup

To cite this version:

J. Jacquinot, C. Leloup. Taux de croissance des ondes électrostatiques dans un milieu anisotrope avec ou sans plasma froid. Journal de Physique, 1970, 31 (10), pp.881-891.

�10.1051/jphys:019700031010088100�. �jpa-00206992�

TAUX DE CROISSANCE DES ONDES ÉLECTROSTATIQUES

DANS UN MILIEU ANISOTROPE AVEC OU SANS PLASMA FROID

J.

JACQUINOT,

^{C. LELOUP}

Association Euratom-CEA

Département

^{de la}

Physique

^{du Plasma et} de la Fusion

Contrôlée,

Centre d’Etudes

Nucléaires,

Boîte Postale n°

6, 92, Fontenay-aux-Roses,

^France

(Reçu

le 1 S avril

1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ Le taux de croissance des ondes électrostatiques ^est étudié dans le cas d’un plasma homogène ^et infini, composé ^d’une population anisotrope d’électrons chauds dont la fonction de distribution est représentée par ^une maxwellienne à double température ^{et d’un} plasma ^froid.

L’étude est restreinte aux fréquences inférieures à la fréquence cyclotronique des électrons. Elle

comprend ^{un calcul} analytique approché ^{et un calcul} numérique ^exact qui permettent d’étudier l’importance ^des principaux paramètres : angle ^de propagation, anisotropie ^de pression, ^densité totale, rapport de la densité du plasma ^{froid à la} densité d’électrons chauds.

Abstract. ²⁰¹⁴ The growth ^rates of electrostatic waves are calculated in an infinite homogeneous plasma including ^{a hot} anisotropic ^electron population represented by ^a maxwellian distribution function with two temperatures ^{and a cold} plasma. ^The analysis ^is restricted to frequencies ^below

the electron cyclotron frequency. ^A simplified analytical ^{treatment and an exact} numerical calcula- tion are used to study the effect of various parameters : propagation angle, pressure anisotropy

hot and cold plasma ^densities.

I. Introduction. ^- Les instabilités

électrostatiques [1]

^induites par ^une

anisotropie

^de

pression

^ont

déjà

fait

l’objet

^de nombreuses

investigations

aussi bien

théoriques qu’expérimentales.

^Une telle instabilité

a été

identifiée,

^{en bon accord avec la}

théorie,

^{dans des}

plasmas

d’ions chauds confinés dans les bouteilles

magnétiques

^{à miroirs}

[2], [3].

^{Si la}

population

^électro-

nique présente

^une

pression anisotrope,

la croissance d’ondes de caractère

électrostatique

^{est aussi}

possible

dans un

dômaine

de

fréquence

voisin de la

fréquence cyclotronique électronique.

^Des

fréquences

^{de cet ordre}

apparaissent

effectivement dans les

plasmas

d’électrons chauds confinés dans les bouteilles

magnétiques

^à

miroirs

[4]

^à

[7]

^et

[15]

^à

[17].

L’identification est

cependant malaisée,

^{car des ondes}

électromagnétiques

peuvent ^aussi

apparaître

^{dans le même domaine de}

fréquence.

^{Au cours} d’une étude

précédente [8] ;

^nous

avons

comparé

^{les taux} de croissance maximum de ces

deux modes dans un

large

^{domaine de}

paramètres physiques

^{et tenant} compte ^d’un

plasma

^froid

présent

dans la

plupart

^des

expériences.

^Nous

présentons

^ici

la méthode du calcul du taux de croissance des ondes

électrostatiques.

Après

^avoir

^modifié,

^afin d’inclure le

plasma froid,

les

propriétés déjà

^connues

[9], [10]

^des

fréquences marginales,

^on établit des

expressions approchées

^du

taux croissance

qui

permettent ^{de discuter}

l’impor-

tance des différents

paramètres.

Finalement on effectue

un calcul

numérique

^exact

qui généralise

^{les résultats,}

en

particulier

dans le domaine où les

longueurs

^d’onde

perpendiculaires

^sont inférieures ou

égales

^au rayon de

gyration

des électrons.

II.

Equation

^de

dispersion.

^-

L’équation

^{de dis-}

persion

de% oscillations

longitudinales

^{dans un}

plasma homogène,

^{infini et sans} collisions a été établie _par Harris

[1 ] :

où

Cette

équation

^{est obtenue en} linéarisant

l’équation

de

Vlasov,

^en supposant que les

quantités perturbées

sont

proportionnelles

^{à exp i}

(K. r - cot), puis

^en

faisant

l’hypothèse électrostatique (coIKc

^et

^{alc «} 1) qui permet

^{d’isoler un mode}

purement longitudinal

c’est-à-dire dont le

champ électrique perturbé

^est

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019700031010088100

parallèle

^{au nombre d’onde K}

(west

^la

pulsation

^de

l’onde ;

^{c la vitesse de la lumière et a} la vitesse thermi-

que).

Dans

l’équation (1) foj(Vi, VII)

^{est la fonction de}

distribution des vitesses à

l’équilibre

^de

chaque espèce

de

particule j ;

^les

indices Il

^{et J- sont relatifs aux}

directions

parallèle

^et

perpendiculaire

^au

champ magnétique.

wp ^{et Wc sont les}

pulsations plasma

^et

cylotronique (co,,,

^est

négatif

pour les

électrons). J,,

est la fonction de Bessel d’ordre n.

Par la suite nous ne considérons _{que les}

fréquences qui,

^bien

qu’inférieures

^à

wce/2

^{n, sont très}

supérieures

à la

fréquence cyclotronique

^des

ions ;

la contribution de ces derniers à

l’équation

^de

dispersion

peut ^donc être

négligée.

^Nous limiterons aussi l’étude à des fonctions de distribution maxwelliennes à deux

tempé-

ratures :

On peut

espérer qu’une

telle distribution

représente

effectivement la

population

des électrons obtenus dans les machines à miroirs _par des

procédés

^de

chauffage

turbulent ou

cyclotronique.

Ces méthodes conduisent

en

général

^{à de}

larges

spectres

d’énergie

^{et à une}

anisotropie

^de

pression supérieure

^{à celle attendue de}

la seule

limitation

du cône de perte.

II.I CAS D’UNE SEULE COMPOSANTE CHAUDE ET ANISOTROPE.

- Après

^une

intégration

^sur

Vjj, ^l’équa-

tion de

dispersion

^devient

(en

^{omettant l’indice e,}

pour les

électrons) :

où

et

Z(qJn)

^est la fonction de Fried et Conte

[11] définie

par :

L’intégrale

^dans

l’équation (2)

^peut

s’exprimer

^à

partir

des fonctions de Bassel

hyperboliques In

^et,

posant Â

⁼

K 2 2 2

on obtient la forme suivante :

Cette

équation

^est

identique

^{à celle trouvée} par Timofeev et Pistunovitch

[12],

^et par Tataronis

[14].

Elle a été résolue

analytiquement [12]

pour les faibles valeurs de  et

de 1 co -

Wc

1/ WC.

^{Les cas}

particuliers

concernant les

plasmas

^sans

énergie parallèle (0

⁼

oo)

ou

isotropes (0 = 1)

^{ont été discutés dans le travail}

de Tataronis

[14].

11. 1. 1 Cas limites. ^- Pour un

plasma

d’anisotro-

pie

^infinie

(a

~ ^--+

0),

^{on retrouve}

l’équation

^étudiée

par Harris

[1]

^{et Gruber et al.}

[13] :

L’équation (4)

^{se réduit} à la forme familière du cas

plasma

^{froid en faisant} tendre simultanément a ~ et al ^vers zéro :

II. 1.2

Définitions

^des

quantités

^{réduites. - Sans}

plasma ^froid,

⁶

quantités réduites, permettent

^de

traiter le

problème.

^{Ce sont d’une} part deux para- mètres

caractéristiques

du milieu :

l’anisotropie

⁰

et la densité normalisée D ⁼

(02/(02

^{et d’autre part}

quatre

paramètres caractéristiques

de l’onde : la fré- quence ^et le taux de croissance normalisés

et finalement les deux

quantités

^{liées aux nombres}

d’onde

parallèle

^et

perpendiculaire

^au

champ magné- tique

-- -,? ?

Compte

^{tenu de ces} définitions

l’équation (4)

^{devient :}

Résoudre cette

équation

^{revient à} chercher les solu- tions de deux

équations

^{obtenues en}

séparant

^les

parties

^{réelle et}

imaginaire (indices r

^et

^{i) :}

(1) A ⁼ (2/n)

K 1RL

^est proportionnel ^{au carré du} rapport du rayon de Larmor moyen RL ^{à la} longueur d’onde perpen- diculaire.

II.2 CAS D’UNE COMPOSANTE SUPPLÉMENTAIRE ISO- TROPE ET DE FAIBLE TEMPÉRATURE. ^-

Compte

^tenu

de la forme de

l’équation (1)

^la

généralisation

^est

immédiate. Les indices h

et f étant

^{relatifs aux}

popula-

tions chaudes et froides et posant Y ⁼

ocn flOEllh,

^on

obtient :

et

La forme donnée à ces

équations

^{exclut les cas}

limites

K 1.

^{= 0 et K = 0.}

En fait dans la

plupart

^{des cas}

expérimentaux

^{il n’est}

pas nécessaire de tenir compte ^{de la}

température

^{de la} composante ^froide.

L’importance

^{de ce terme}

peut

être estimée en cherchant à

partir

^de

quelle

^{valeur de}

(XIII l’équation (11)

^{diffère de}

(14)

^{dans un cas}

simple

c’est-à-dire à la stabilité

marginale Fi

^{= 0. En ne}

gardant

^dans

(11)

^{que les termes les}

plus importants (n

^{= 1 et le 1 er terme du}

développement

^{en série de}

I-

^{on obtient} la condition de validité de

l’hypothèse

du

plasma

^{froid :}

Une valeur

expérimentale typique de gi

^{est 5 x}

^10-3.

La condition

(12)

^{est donc}

pratiquement toujours

vérifiée même pour des densités froides considérables.

Par la suite nous ne considérons donc _que des

plasmas

froids de

température

^nulle.

II.3 CAS D’UN PLASMA FROID DE TEMPÉRATURE

NULLE. ^- Les termes du

plasma

^{froid sont obtenus}

en faisant tendre simultanément a If ^et ex 1-f ^{vers zéro.}

Les

équations (10)

^et

(11)

deviennent en omettant l’indice h

pour Â,

y, ç et Z :

A la stabilité

marginale,

^les

équations (9)

^et

(14)

conduisent à des formes

identiques

^{où la densité}

n’apparaît

pas. Il n’en serait

plus

de même si la condi- tion

(12)

était violée.

III. Résolution

analytique approchée.

^-

L’impor-

tance des

paramètres physiques

peut ^{être déduite}

analytiquement

^des

équations

^de

dispersion

moyen- nant certaines

approximations

^{dont on}

jugera

^{le bien-}

fondé en comparant ^{avec des résultats}

numériques

exacts

(cf. Chap. IV.)

III.1 ETUDE DES FRÉQUENCES MARGINALES. -

III. 1.1 Condition nécessaire sur les

fréquences

^mar-

ginales.

^{- On} peut ^tout d’abord reconduire le résultat de Harris

[9]

^{dans le cas sans}

plasma

^froid

qui

permet d’assurer que les

fréquences marginales Fm

inférieures

à 1 co,, 1

^sont

obligatoirement

à chercher dans une

bande de

fréquence

^{telle que :}

En effet

développons,

^dans

l’équation (14), In

^en

fonction de  et ne

gardons

que les termes les

plus importants

de la série

qui correspondent

^{à n = 0 et}

n ⁼ ± 1. Il vient :

Le cosinus

hyperbolique

^étant

toujours supérieur

au sinus, ^{il est clair} que

Fm

^{doit être} inférieure à

(0 - ^1)/0,

^Si

l’argument

^{des sh et ch} est > 1,

l’expres-

sion

(16)

^se

simplifie

^{de nouveau :}

ou encore

Il n’est donc _pas

possible

^de satisfaire cette

équation

si

F.

0,5 ^et  - ^2.

Ayant

^{utilisé un}

développement

en série de

In

^{en fonction de À on ne} peut pas discuter les cas pour

lesquels  k

^{2. Le calcul}

numérique

^exact

(Fig. lb, 3b, 4b)

^montre

cependant

que la condition

(15)

reste valable

pour

> 2 et que pour À

0,25 l’expression (18)

^{est une} excellente

approximation.

La

présence

^au dénominateur de

(18)

^{du terme}

log

) 2013r.2013 2013 Fm

^est

responsable

^{de la} variation brutale de

y2

^au

voisinage

^de

Fm

⁼

(0 - 1)/0.

^{Le maximum}

de cette fonction

correspond

^{donc à des valeurs de}

F. -- 0,9(9 - 1 )/fJ

^{pour des}

anisotropies

suffisamment

grandes (0 >, 4).

^{Il en} résulte que la valeur maximale

prise

par y ^est environ :

donc si

À;5 1 ; ’00FFmax 0,27

^{et ceci est} consistant avec

l’hypothèse de y2 petit qui

^est nécessaire pour passer de

l’équation (16)

^à

l’équation (17).

Une

importante conséquence

^de la relation

(15)

^est

que ^tout

plasma d’anisotropie

inférieure à 2 est stable vis-à-vis des ondes

électrostatiques.

III. 1.2 Critère de stabilité. ^-

L’équation (18)

^ne

constitue

qu’une

condition nécessaire de stabilité mar-

ginale.

^{Il faut s’assurer}

qu’il

existe des valeurs de

Dh

et

D f ^qui

^{satisfont à}

l’équation (13) avec F;

^{= 0} compte ^{tenu de}

l’équation (18).

^Comme

précédemment

développons l’équation (13)

^{en fonction de  et utilisons}

le

développement asymptotique [11 ]

^de

valable

si qJ 1

^{1. En}

négligeant

^{les termes d’ordre}

supérieur

^à

^{Â. 2}

^et

y’

^{on obtient :}

FIG. 1. ^- Stabilité marginale (9 ⁼ 8 ; À ⁼ 0,25). ^La figure ¹⁶ donne (courbeA) les valeurs de y ^à la stabilité marginale ; ^{les croix} représentent les valeurs tirées de la formule approchée (18).

La figure ^{la donne les} valeurs des densités totales à la fréquence marginale pour trois valeurs du rapport ^L1 de la densité froide à la densité chaude. La région ^instable correspond ^à l’intérieur des courbes, les minimums (Dtmin) ^sont les valeurs de densité au-dessous desquelles ^toutes les ondes sont stables (pour ^la

valeur de À considérée). ^{Une condition instable est} représentée

sur la figure 1 b, ^{courbe B} (Dt ⁼ 6 ; ^{L1 =} 10 ; ^{droite B’ sur la} figure la) ; les cercles représentent les valeurs de y obtenues

par la formule approchée (25).

ou bien

Dans ces

expressions

^{on a}

posé

^{L1 =}

D f/Dh.

Le

système d’équations (18)

^et

(21)

permet ^de

pré-

ciser l’allure de la courbe

D f

⁼

f (Fm), (cf. Fig. la) ;

^J

elle est

comprise

^{entre deux} asymptotes verticales ^et

présente

^un

minimum ;

^{on montrera}

(Chap. III.2)

que l’intérieur de cette courbe

correspond

^{au domaine}

instable. Pour

chaque jeu

^{de valeurs}

^{de À, 0,}

^{11 il}

existe donc une densité

critique Dt

min au-dessous de

FIG. ^{2. - Densité} critique ^{totale en fonction du} paramètre À

pour différentes valeurs du rapport L1 de la densité froide à la densité chaude.

FIG. 3. ^- Stabilité marginale (e ⁼ 30 ; ^{Â =} 2)

3a : densités totales à la stabilité marginale pour LI ⁼ 0,10 ^{et 100} 3b : valeurs de y ^{à la stabilité} marginale.

laquelle

^il

n’y

^a

plus

d’instabilité

(ces

^densités

critiques

sont

représentées

^{sur les}

figures ^2,

^{5 et}

6).

Le rôle du

plasma

^froid

apparaît

^sur

l’équation (21) ;

À et 0 étant

donnés,

pour toute valeur de

Fm, la

^densité

D,., prend

^{une forme du} type

Fie. 4. ^- Stabilité marginale (6 ⁼ 100 ; ^{A =} 5)

4a : densités totales à Ja stabilité marginale pour LI ⁼ 0,10 ^et 100;

4b : valeurs de _y à la stabilité marginale.

FIG. 5. ^- Densité critique ^{totale en} fonction du paramètre A

pour différentes valeurs de l’anisotropie ^{0. Cas sans} plasma ^froid.

où A,

B,

^C

dépendent

^de

^/L,

^{0 et}

Fm

^{et sont tous trois}

positifs (excepté

^au

voisinage

^immédiat des asymp-

totes).

^Dans

l’équation (22), Dtm

^{est une fonction}

monotone croissante de A elle en devient

cependant

indépendante

pour L1 » 1.

FIG. 6. ^- Densité critique ^{totale en} fonction du paramètre ^1.

pour différentes valeurs de l’anisotropie ^{6. Le} rapport ^densité froide sur densité chaude, ^{d =} 10.

La forme des

équations (20)

^et

(21)

^montre

qu’à

densité chaude constante, ^le

plasma

^{froid est désta-}

bilisant,

^alors

qu’à

^{densité totale constante il est}

stabilisant.

Pour des valeurs

qui

^sortent du domaine de validité des

équations (21)

^et

(22),

le calcul

numérique

^exact

montrera que ^ces effets peuvent être modifiés

(compa-

raison entre les

figures

^{3 et}

4).

Lorsque

^{tend vers zéro}

(cas,

^{soit d’un}

plasma froid,

soit d’une

propagation parallèle),

^{on obtient un critère}

suffisant de stabilité :

D, 0,25.

III.2 CALCUL DES TAUX DE CROISSANCE. ^- Dans

ce

chapitre

^{les taux de} croissance sont évalués en ne

tenant compte

qu’au premier

ordre des termes liés à la

température

^{finie du}

plasma

^{et en} supposant ^des instabilités faibles

(’) (Fi Fr).

^{Dans de} telles condi- tions les

parties

^{réelles et}

imaginaires

^de la fonction de Fried et Conte s’écrivent :

et

La

procédure

consiste à obtenir _par

l’équation (13)

une relation caractérisant la

propagation

^{du mode}

qui

sera essentiellement

l’équation

^de

dispersion

^en

plasma

froid

(3)

^à

laquelle

^vient

s’ajouter

^un

petit

^{terme lié}

à la

température, puis

^à calculer le taux de croissance

en portant ^{cette relation dans}

(14) qui,

^au

contraire,

est entièrement liée à la

température

^{finie du}

plasma.

En

négligeant

^dans

l’équation (13)

^les termes conte-

nant F;

^{et ne retenant} que les ^termes du

premier

^ordre

en À

(à

l’exclusion de _{ex -} ^p

(F +

_y2 ²

^{1)2 toujours}

^{J très}

petit)

^{on obtient :}

Le dernier terme du dénominateur ainsi _que 1 ^-

exp(- Â) représentent

les corrections

dues,

^{à la}

température

^{finie du}

plasma

^{chaud. Pour} les densités suffisamment

grandes

^ou,

plus précisément,

^si

y devient

indépendant

^de la densité :

Cette

expression

^{n’est autre que la limite de}

l’équa-

tion

(6) quand > ^{_t) .. 2}

^{Dans ce cas la}

propagation

des ondes est

gouvernée

par les ^termes de

plasma

froid

(3).

^{Sur la}

figure 1 b,

^{le résultat de cette formule}

approchée

^est

comparé

^{au calcul exact.}

Traitons maintenant avec les mêmes

approxima-

tions

(mais

^{en retenant le}

premier

^{ordre en}

Fi) l’équa-

tion

(14),

il vient :

Le

système d’équations

^résolues

(24)

^et

(26)

^permet

de calculer le taux de croissance

correspondant

^{à un}

jeu

^de

paramètres physiques (0, Dh

^et

J)

^{et à un mode}

caractérisé

par Â

^et

F,.

La forme de

l’équation (26)

montre bien que la

fréquence marginale

^{haute est}

inférieure à

(0 - 1)/0

^et que le

plasma

^{est instable}

(Fi > 0)

pour des

fréquences

inférieures à cette fré- quence

marginale.

^{On démontre ainsi} que le domaine

(2) ^Cette hypothèse ^est compatible ^{avec des} anisotropies modérées (0 ^- 30, ^cf. Chap. IV).

(3) Ceci n’est vrai que pour le mode fondamental. Aux har- moniques de nouvelles branches de propagation liées à la

température peuvent apparaître.

des instabilités est constitué par l’intérieur de la courbe

parabolique Dtm

⁼

f (Fm), (cf. Fig. la).

Aux fortes

densités, l’équation (25)

permet ^de substituer au

système (24, 26)

^une

expression plus simple :

Cette

expression

^montre que, au-delà d’une certaine

valeur,

^{le taux de} croissance devient

indépendant

^{de la}

densité et

qu’il

^{décroît comme}

1/J.

^{Ces deux carac-}

téristiques

^{ont été} confirmées _par un calcul

numérique

exact

(Fig.

^{9 et}

10).

^{A forte densité le}

plasma

^{froid est}

donc

toujours

stabilisant.

Dans le domaine âe validité de

l’équation (25) l’angle ç

que fait le vecteur d’onde avec le

champ magnétique

^{a une}

expression

^très

simple :

Il ne

dépend

que de

Fr qui

^{dans le} domaine d’insta- bilité est

assujetti

^{à la condition}

(15).

^{On aura donc :}

Dans la

plupart

^{des cas usuels}

(0 -- 10, Fr N 0,7) qJ

reste voisin de 450.

IV. Calcul

numérique

^{exact. - Les}

principales approximations

^{du calcul}

analytique

^sont

et

Le programme de calcul

numérique qui

^{a été mis au}

point

permet ^{de résoudre sans}

approximations l’équa-

tion

complexe équivalente

^au

système d’équations (13)

^et

(14) :

Il est en

particulier possible

^d’étendre les résultats des

chapitres

^{II et III aux}

grandes

valeurs de _{Â pour}

lesquelles

^{il n’existe} pas, à notre

connaissance,

^de résultats

publiés.

IV. 1 PRINCIPE. ^- La méthode utilisée permet ^de calculer

rapidement F;

^et y ^en fonction de

F,

pour ^un

jeu

^de

paramètres

^donné

(Â, 0, Dhld).

^{Elle consiste à}

prendre

la différentielle totale de

(29) qui

^fait

apparaître

deux

équations

différentielles

correspondant

respec- tivement ^aux

parties imaginaire

^{et réelle de}

(29).

L’équation (29)

^étant

analytique,

le théorème de

Cauchy

permet ^de relier A à B’ et A’ à B et le

système (30)

^{devient :}

Les coefficients A, B, ^{C et C’ sont} des fonctions

compliquées

^des

paramètres

^{et leurs}

expressions

^sont

données en annexe.

Le

système d’équations

différentielles

couplées (31)

est

intégré numériquement

par ^une méthode de

Runge

^{Kutta à}

partir

^d’une condition initiale véri- fiant

l’équation (29).

^{Nous avons}

toujours

^choisi

comme condition initiale un

point

^{de stabilité mar-}

ginale qui

était calculé directement à

partir

^de

(29)

par la méthode habituelle du zéro de fonction. L’avan- tage ^{de la méthode} différentielle _par rapport ^{à la} méthode du zéro de fonction est d’une part ^sa

rapidité

et d’autre part, que les

paramètres

du calcul sont

précisément

^les

paramètres physiques.

^{Cette méthode}

est

particulièrement

^bien

adaptée

^au calcul du mode le

plus

instable associé à une condition

«expérimen-

tale »

(0, Dh

^et

J).

IV . Z RÉSULTATS. ^- On

présente

^{dans ce}

chapitre

les résultats de l’étude

numérique

de la stabilité ^mar-

ginale

^{et du taux} de croissance. Dans le but de couvrir la

plupart

^des situations

expérimentales

^{on a}

largement

fait varier chacun des

paramètres :

IV.2.1 Stabilité

marginale.

^{- Les}

figures

1, ^{3 et} 4

représentent,

^{à titre}

d’exemple,

les valeurs

prises,

à la stabilité

marginale,

par la densité totale et le nombre d’onde

parallèle,

pour des nombres d’onde

perpendiculaires

^donnés. Les courbes _y

=f(F,,,) qui

sont

indépendantes

^de

Dh

^{et L1} confirment les considé- rations

analytiques

même pour des valeurs

impor-

tantes de À. En

particulier, quel

que soit

Â,

^{le domaine}

des

fréquences marginales ^Fm

^est

toujours compris

entre

0,5

^et (e -

1)/0 (rappelons

que le domaine des

fréquences supérieures

^{à la}

fréquence cyclotro- nique

^n’est pas discuté dans cette

étude).

Dans tous les cas les courbes

D fm

⁼

f (Fm) présentent

des

asymptotes

^{et un} minimum. L’influence de L1

dépend

^{des valeurs de 0 et} À considérées. Si 0 15 et À 1 la conclusion des calculs

analytiques

^{est confir-}

mée : une

augmentation

de L1 accroît la densité totale

critique

^{mais si} J »

exp - À, Dtm

^devient

indépendant

de L1

(Fig.

^{la et}

2)

ainsi que

prévu

par

l’équation (21).

Cette conclusion peut ^{être inversée}

(Fig. 4,

^{5 et}

6)

pour les

grandes

^{valeurs de À et 0}

(Â. 2, 0 k 30).

Les minimums des courbes

Dtm = f (Fm) repré-

sentent la densité

critique

^{en dessous de}

laquelle

^le

plasma

^{est stable} pour toutes les

fréquences (Â., ()

^{et L1}

étant

fixés).

^Le critère d’instabilité est

représenté

^en

fonction de À avec 0 comme

paramètre

^{sur les}

figures

⁵

et 6 et avec 11 comme

paramètre

^{sur la}

figure

^2. L’efl"et de 0 est de

déplacer

^les asymptotes ^{des courbes}

Dtmm

⁼

f (Â)

^{vers les}

grandes

^{valeurs de Z. On constate}

en

particulier

que

l’hypothèse

^{de À}

petit

des calculs

analytiques

limite leur

champ d’application

^{à des}

faibles valeurs de 0.

IV. 3 TAUX DE CROISSANCE. - A

partir

^d’une

condition de stabilité

marginale l’intégration

^numé-

rique

^du

système d’équations (30)

permet ^de

calculer F;

et y ^en fonction de

Fr

pour ^un

jeu

^de

paramètres (Â., 0, Dh

^et

()).

^Les

figures

^{7 et 8}

représentent

^le spectre ^des

FIG. 7. ^- Spectre ^des fréquences ^instables pour ^{un cas sans}

plasma ^froid. Chaque courbe correspond ^{à une valeur de 1.}

Le mode le plus ^instable correspond ^à Fr ⁼ 0,69 ^{et  =} 0,4.

FIG. 8. ^- Spectre ^des fréquences ^instables pour ^{un cas avec}

plasma froid ; ^{le taux de} croissance maximum est obtenu _pour  == 0,25.

fréquences

^{instables et} illustrent la manière utilisée _pour déterminer le taux de croissance

Qi...(O, A, Dh)

^du

mode le

plus

^instable

correspondant

^{à un}

jeu

^de

paramètres physiques.

^{D’une manière}

générale,

^la

fréquence correspondant

^{au taux} de croissance maxi-

mum augmente

légèrement

^{avec 0 et diminue avec Â.}

Sur les

figures

9, ^{10 et 11} l’évolution de

Dimax

^est

représentée

^{en fonction des trois}

paramètres.

^La

figure

⁹ permet ^{de vérifier} que le ^taux de croissance devient

indépendant

^{de la} densité au-delà d’une cer-

taine valeur. Ceci était

prévisible

^à

partir

^de

l’équa-

tion

(27).

Notons que

Dimax

^{est une fonction extrême-}

ment sensible de

Dt lorsqu’on s’approche

^{de la densité}

critique (Dt 1).

L’effet du

plasma

^{froid L1}

qui

^{est illustré sur la}

figure

¹⁰

dépend

essentiellement de la valeur de

Dh.

Trois situations peuvent ^se

produire :

a) Dh 0,25 :

^Le

plasma

^{est stable sans}

plasma

froid. Dans ce cas

ajouter

^du

plasma

^{froid rend le}

FIG. 9. ^- Taux de croissance maximum en fonction de la densité totale avec et sans plasma ^froid (courbes b ^et a).

FIG. 10. - Taux de croissance maximum ^en fonction du rapport ^il de la densité froide à la densité chaude. Pour de

grandes valeurs de densité chaude (courbe a) ^le plasma ^froid joue ^{un rôle de} stabilisant alors _que pour des faibles valeurs

(courbes b ^et c) ^le plasma froid, ^en petite quantité, joue ^d’abord

un rôle déstabilisant.

FIG. 11. - Taux de croissance maximum en fonction de

l’anisotropie.

plasma ^instable,

^mais au-delà d’une certaine

densité,

^le

taux de croissance

n’augmente plus,

^{au contraire}

S2;max

décroît comme A-1 ^en accord

avec l’équation (27).

b) Dh exp - Â >

^{2. Le}

plasma

^est fortement ins- table et on se trouve dans la

région correspondant

^au

plateau

^{de la}

figure

^{9. Le}

plasma

^{froid est alors tou-}

jours

stabilisant.

c)

^Cas intermédiaire : Le

plasma

^{froid commence}

par être faiblement déstabilisant

puis

^{devient stabili-}

sant.

Dans les trois cas les courbes se confondent avec une droite de

pente -

¹

(en

^échelle

logarithmique)

^au-

delà d’une certaine densité de

plasma

^froid.

L’expli-

cation

physique

^de l’effet déstabilisant du

plasma

^froid

est

simple : lorsque

^la densité chaude est trop ^{faible le}

plasma

^ne peut

plus

propager d’onde

électrostatique

de

fréquence

inférieure _{à Q) ce}

(cf. ^équation (6)). ^L’unique

fonction du

plasma

^{froid est de} permettre la propaga-

tion ;

^l’onde peut ^alors

échanger

^de

l’énergie

^{avec les}

électrons du

plasma

^chaud.

Finalement la

figure

^{11 montre} que le taux de croissance maximum est une fonction

rapidement

croissante de

l’anisotropie.

^{Ce résultat}

déjà

^{mis en}

évidence par Gruber ^et al.

[13]

^{était attendu}

puisque l’anisotropie

constitue l’écart à

l’équilibre thermody- namique.

V. Conclusion. ^- Les résultats

précédents

^nous permettent ^{de tirer}

plusieurs

conclusions :

- Il existe deux critères suffisants de stabilité sur la densité totale

(D, 0,25)

^{et sur}

l’anisotropie (0 2).

- Le spectre ^des

fréquences

^instables

qui dépend

peu des

paramètres

^{est tel} que

0,5 Fr (e - 1)/0.

Pour les valeurs usuelles de 0

(B N 10) Fr

^est

toujours

voisin de

0,7.

- Au-delà d’une certaine valeur

(D, » 2)

^{le taux}

de croissance ne

dépend plus

^{de la densité.}

- En dessous d’une certaine densité totale

(Dt :$ 1)

le fait

d’ajouter

^du

plasma

^froid augmente ^{le taux de} croissance. Aux densités

supérieures

^le

plasma

^froid

devient stabilisant.

- Le taux de croissance est _une, fonction

rapide-

ment croissante de

l’anisotropie.

TABLEAU 1

Comparaison ^{entre les} prévisions de la théorie et les résultats d’expériences ^de confinement d’électrons chauds

en bouteille magnétique ^{à miroirs.}

-

L’angle

^de

propagation

^{des ondes les}

plus

^ins-

tables est en

général

^{voisin de 45°.}

A condition de ne pas être trop

exigeant

^{sur la}

qualité

^de

l’hypothèse électrostatique (Kc , c « ^Kc

^c

^{1 ,}

les conditions

qui

^sont

requises

par ^cette théorie sont

satisfaites dans un certain nombre

d’expériences

^de

confinement en bouteille

magnétique

^{à miroirs}

(Tableau

^I,

lignes

^{1 à}

4).

^{Dans tous ces} cas, ^on observe effectivement une émission dont la

fréquence

^est

correctement

prédite

par la théorie et le

plasma

^est

suffisamment

long

^pour supporter, ^au

minimum,

^une

demi,longueur

^d’onde.

(Notons

^que la relation

(19) conduit,

^en

géométrie finie,

^{à un} critère suffisant sur la

longueur

^g maximum d’un

plasma

p ^{stable : :}

L Il 2not

p

Dans presque ^tous les cas du

tableau,

^le

plasma

^froid

joue,

^en

théorie,

^un rôle déstabilisant : seule

l’expé-

rience no 1 serait instable en absence de

plasma

^froid.

Un spectre ^de

fréquences

^{instables nettement infé-}

rieures à la

fréquence cyclotronique

minimum du

piège magnétique

^est

caractéristique

^des instabilités liées à

l’anisotropie

^de

pression (Tableau

I,

lignes 1, 2,

3, ^{4 et}

6)

^et

incompatible

^{avec les}

instabilités

^électro-

statiques

^à

propagation quasi perpendiculaire qui

^sont

liées à une double distribution

[16]

^{ou à une déficience}

en

particules

p ^{de basse}

énergie [14]

g

afo

>

0 .

Il est,

] ( v ( av

au

contraire, impossible

d’éliminer a

priori

^{les insta-} bilités

électromagnétiques

^induites

également

par

l’anisotropie

^de

pression

^{et dont le taux} de croissance devient

supérieur

à celui des ondes

électrostatiques quand

^la

température parallèle dépasse 1,5

^keV

[8].

L’identification d’un mode de

fréquence

^{voisine de}

0,7

co c est donc délicate et nécessite une mesure de

polarisation

^{et de}

longueur

^{d’onde dans le}

plasma [4], [5].

L’instabilité

électrostatique

^discutée ici n’est pas

obligatoirement

^{un obstacle au} confinement dans les machines à miroirs. Si le rapport ^{de miroir est}

supé-

rieur à

6,5,

^la fonction de distribution à

l’équilibre [18]

peut satisfaire le critère suffisant de stabilité 0 2.

Remerciements. ^- Nous remercions le rapporteur de nous avoir

suggéré

^{la référence}

[14]

^{et la discussion}

du tableau I.

Annexe. ^-

Désignons

par les fonctions _gi et ({Jr les

parties imaginaire

^et réelle du membre de droite de

l’équation (29).

^{Les fonctions} A, B, C, ^et C’ sont des dérivées

partielles

^de oi ^et (Pr :

Elles s’écrivent :

Les

expressions

^{de C et C’ ont été}

simplifiées

^en

utilisant au cours de la dernière

étape

^{du calcul les}

équations (13)

^et

(14).

^{Les dérivées}

partielles

^{de la}

fonction de Fried et Conte peuvent ^être calculées à _par- tir de

Z’(cp) = - 2(1

⁺

^cpZ(cp)).

^{En effet on a :}

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