Statistique : ´etude de cas. Intervalles de conﬁance

(1)

Statistique : ´ etude de cas. Intervalles de confiance

Myriam Maumy-Bertrand

IRMA, UMR 7501, Universit´e de Strasbourg

Vendredi 06 octobre 2017

(2)

Ce chapitre s’appuie essentiellement sur le livre suivant :

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA) Vendredi 06 octobre 2017 2 / 50

(3)

Sommaire

1

Introduction

2

Principe

3

Intervalle de confiance

4

Estimation de la moyenne µ d’une variable gaussienne

5

Estimation de la variance σ

²

d’une variable gaussienne

6

Estimation d’une proportion

(4)

Il est souvent plus r´ ealiste et plus int´ eressant de fournir un renseignement du type

θ

₁

< θ < θ

₂

plutˆ ot que d’´ ecrire s` echement

θ b

_n

= c . D´ efinition

Fournir un tel intervalle ]θ

1

; θ

2

[ s’appelle donner une estimation par intervalle de confiance de θ ou une estimation ensembliste de θ.

(5)

Sommaire

1

Introduction

2

Principe

3

Intervalle de confiance

4

Estimation de la moyenne µ d’une variable gaussienne

5

Estimation de la variance σ

²

d’une variable gaussienne

6

Estimation d’une proportion

(6)

La m´ ethode des intervalles de confiance est la suivante :

soit θ b

_n

un estimateur de θ dont nous connaissons la loi de probabilit´ e pour chaque valeur de θ.

D´ efinition

Etant donn´ ´ e une valeur θ

₀

du param` etre θ, nous d´ eterminons un intervalle de probabilit´ e bilat´ eral de niveau (1 − α) pour l’estimateur θ b

n

,

c’est-` a-dire deux bornes θ

₁ⁿ

et θ

₂ⁿ

telles que P

θ

ⁿ₁

< θ b

_n

< θ

₂ⁿ

|θ = θ

₀

> 1 − α.

(7)

Remarques

1

Ces deux bornes d´ ependent ´ evidemment de la valeur θ

₀

.

2

Nous pourrions ´ egalement construire des intervalles unilat´ eraux pour lesquels θ

ⁿ₁

= −∞ ou θ

ⁿ₂

= +∞.

3

Nous choisissons dans la plupart des cas un intervalle de probabilit´ e ` a

risque sym´ etrique α/2 et α/2.

(8)

Nous adoptons la r` egle de d´ ecision suivante.

Soit θ b

n

(x

1

, . . . , x

n

) = θ b

n

(obs) la valeur observ´ ee de θ b

n

:

si θ b

_n

(obs) ∈]θ

ⁿ₁

; θ

ⁿ₂

[, nous conservons θ

₀

comme valeur possible du param` etre θ ;

si θ b

n

(obs) 6∈]θ

ⁿ₁

; θ

ⁿ₂

[, nous ´ eliminons θ

0

.

Nous r´ ep´ etons cette op´ eration pour toutes les valeurs de θ.

(9)

Sommaire

1

Introduction

2

Principe

3

Intervalle de confiance

4

Estimation de la moyenne µ d’une variable gaussienne

5

Estimation de la variance σ

²

d’une variable gaussienne

6

Estimation d’une proportion

(10)

D´ efinition

Nous appelons intervalle de confiance de niveau de confiance (1 − α) (coefficient de confiance) du param` etre θ tout intervalle ]θ

1

; θ

2

[ tel que : P (θ ∈]θ

₁

; θ

₂

[) = 1 − α pour α ∈ [0; 1] fix´ e.

(11)

Propri´ et´ es

1

]θ

1

; θ

2

[ est un intervalle al´ eatoire car il d´ epend de l’estimateur θ b

n

.

2

]θ

1

; θ

2

[ s’obtient par : (

θ

₁

= (θ

₂ⁿ

)

⁻¹

( b θ

_n

(obs)) θ

₂

= (θ

₁ⁿ

)

⁻¹

(b θ

_n

(obs)) .

3

Si nous augmentons le niveau 1 − α, nous augmentons la longueur de

l’intervalle de probabilit´ e.

(12)

Remarque

Si la taille de l’´ echantillon not´ ee n augmente, comme l’estimateur θ b

n

est suppos´ e convergent, la variance de l’estimateur not´ ee Var

θ b

_n

diminue et par cons´ equent l’intervalle ]θ

1

; θ

2

[ diminue ´ egalement.

(13)

Sommaire

1

Introduction

2

Principe

3

Intervalle de confiance

4

Estimation de la moyenne µ d’une variable gaussienne

5

Estimation de la variance σ

²

d’une variable gaussienne

6

Estimation d’une proportion

(14)

µ b

_n

est le meilleur estimateur de la moyenne µ

_pop

et µ b

_n

suit une loi normale N µ

_pop

; σ

_pop²

n

! .

D´ efinition

L’intervalle de probabilit´ e de µ b

_n

` a 1 − α est : µ

pop

− u

1−(α/2)

σ

_pop

√ n < µ b

n

< µ

pop

+ u

1−(α/2)

σ

_pop

√ n ,

o` u u

p

est le quantile d’ordre p pour la loi gaussienne centr´ ee et r´ eduite.

(15)

D´ efinition

L’intervalle de confiance de µ b

n

` a 1 − α est :

µ b

n

(x

1

, . . . , x

n

) − u

_1−(α/2)

σ √

pop

n < µ < b µ

n

(x

1

, . . . , x

n

) + u

_1−(α/2)

σ √

pop

n , o` u u

_1−(α/2)

' 1, 96 si 1 − α = 0, 95.

Remarque

Pour obtenir le quantile d’ordre 0, 975 de la loi normale centr´ ee et r´ eduite, sous R, vous tapez la ligne de commande suivante :

>qnorm(0.975)

[1] 1.959964

(16)

Nous utilisons le fait que la variable al´ eatoire T

n−1

= √

n − 1 b µ

n

− µ S

_n

suit une loi de Student ` a (n − 1) degr´ es de libert´ e.

D´ efinition

L’intervalle de probabilit´ e pour T

n−1

` a 1 − α est :

−t

n−1;1−(α/2)

< √

n − 1 µ b

n

− µ

S

_n

< t

n−1;1−(α/2)

,

o` u t

n−1;1−(α/2)

est le quantile d’ordre 1 − (α/2) pour la loi de Student ` a (n − 1) degr´ es de libert´ e.

(17)

D´ efinition

L’intervalle de confiance pour µ ` a 1 − α est :

µb_n(obs)−tn−1;1−(α/2) S_n(obs)

√n−1< µ <µb_n(obs) +tn−1;1−(α/2) S_n(obs)

√n−1

ou bien

µb_n(obs)−tn−1;1−(α/2) S_n,c(obs)

√n < µ <µb_n(obs) +tn−1;1−(α/2) S_n,c(obs)

√n ,

o` u t

n−1;1−(α/2)

est le quantile d’ordre 1 − (α/2) pour la loi de Student ` a

(n − 1) degr´ es de libert´ e.

(18)

Remarques

1

Pour obtenir le quantile d’une loi de Student, sous R, vous tapez la ligne de commande suivante :

>qt(0.975,n-1)

o` u la quantit´ e n − 1 est remplac´ ee par la valeur ad´ equate.

2

Le th´ eor` eme de la limite centr´ ee a pour cons´ equence que les intervalles pr´ ec´ edents sont valables pour estimer µ d’une loi quelconque lorsque la taille n de l’´ echantillon est assez grande.

(19)

Exemple : L’airbag, d’apr` es l’examen de f´ evrier 2014

L’airbag (ou coussin gonflable) est un syst` eme de s´ ecurit´ e de plus en plus souvent install´ e dans les automobiles. Son gonflement est assur´ e par un dispositif pyrotechnique dont les caract´ eristiques sont la moyenne et l’´ ecart-type du d´ elai entre la mise ` a feu et l’explosion. Lors de l’´ etude d’un certain dispositif d’allumage, les r´ esultats des mesures qui proviennent d’une loi normale, effectu´ es sur 30 exemplaires, ont ´ et´ e (en millisecondes) les suivants :

28,0 28,0 31,0 31,0 32 33,0 32,5 29,0 30,5 31,0

28,5 27,5 32,0 29,5 28 26,0 30,0 31,0 32,5 33,0

27,5 29,0 30,0 28,5 27 25,0 31,5 33,0 34,5 29,0

(20)

L’airbag, d’apr` es l’examen de f´ evrier 2014 : suite

Calculer l’intervalle de confiance ` a 95% de la moyenne du d´ elai si nous connaissons l’´ ecart-type de la population de r´ ef´ erence et qu’il est ´ egal ` a 2.

Nous commen¸cons par donner une estimation ponctuelle de la moyenne du d´ elai µ :

>gonflable<-c(28,28,31,31,32,33,32.5,29,30.5,31, 28.5,27.5,32,29.5,28,26,30,31,32.5,33,27.5,29, 30,28.5,27,25,31.5,33,34.5,29)

>mean(gonflable) [1] 29.96667

Maintenant appliquons la formule du cours, ` a savoir celle qui donne un intervalle de confiance pour une moyenne µ lorsque la variance σ

²

est connue (ici elle vaut 4).

(21)

L’airbag, d’apr` es l’examen de f´ evrier 2014 : suite

Pour cela, il faut v´ erifier au pr´ ealable que les donn´ ees suivent une loi normale. R´ ealisons donc un test de normalit´ e de Shapiro-Wilk.

>shapiro.test(gonflable) Shapiro-Wilk normality test data: gonflable

W = 0.9796, p-value = 0.8149

La p-valeur (0,8149) du test de Shapiro-Wilk ´ etant strictement sup´ erieure

`

a α = 5%, le test n’est pas significatif. Vous conservez donc l’hypoth` ese

nulle H

0

du test de Shapiro-Wilk. Le risque d’erreur associ´ e ` a cette

d´ ecision est un risque de deuxi` eme esp` ece β. Vous ne pouvez pas l’´ evaluer

dans le cas d’un test de Shapiro-Wilk.

(22)

L’airbag, d’apr` es l’examen de f´ evrier 2014 : suite

Maintenant nous pouvons calculer avec R l’intervalle de confiance cherch´ e (nous rappelons que nous connaissons la variance σ

²

de la population).

>mean(gonflable)-qnorm(0.975)*2/sqrt(30) [1] 29.25099

>mean(gonflable)+qnorm(0.975)*2/sqrt(30) [1] 30.68234

L’intervalle de confiance ` a 95% de la moyenne du d´ elai, en millisecondes, est ´ egal ` a :

]29, 25099; 30, 68234[.

(23)

Exemple : Les plantes marines

Un biologiste ´ etudie un type d’algue qui attaque les plantes marines. La toxine contenue dans cette algue est obtenue sous forme d’une solution organique. Il mesure la quantit´ e de toxine par gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprim´ ees en milligrammes :

1, 2; 0, 8; 0, 6; 1, 1; 1, 2; 0, 9; 1, 5; 0, 9; 1, 0.

Nous supposons que ces mesures sont les r´ ealisations de variables

al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees suivant une loi

normale d’esp´ erance µ et d’´ ecart-type σ.

(24)

Les plantes marines : suite

Donnons une estimation ponctuelle de la moyenne de la quantit´ e de toxine par gramme de solution :

µ b

9

(obs) = 1 9

1, 2 + 0, 8 + 0, 6 + 1, 1 + 1, 2 + 0, 9 + 1, 5 +0, 9 + 1, 0

= 1, 022222 mg .

(25)

Les plantes marines : suite

Donnons une estimation ponctuelle de la variance de la quantit´ e de toxine :

S

_9,c²

(obs) = (0, 2635231 mg )

²

.

(26)

Les plantes marines : suite

D´ eterminons un intervalle de confiance ` a 95% pour la moyenne de la quantit´ e de toxine par gramme de solution. La moyenne µ et la variance

´

etant inconnues, l’intervalle de confiance ` a 95% pour la moyenne µ s’obtient avec la formule suivante :

µ b

₉

(obs) − t

_8;0,975

S

_9,c

(obs)

√

9 < µ < µ b

₉

(obs) + t

_8;0,975

S

_9,c

(obs)

√ 9 0, 820 mg < µ < 1, 225 mg

o` u t

_8;0,975

= 2, 3060 est le quantile d’ordre 0, 975 pour la loi de Student ` a huit degr´ es de libert´ e t(8).

(27)

Les plantes marines : fin

Les commandes sous R qui donnent les r´ esultats ci-dessus sont les suivantes :

> toxine<-c(1.2,0.8,0.6,1.1,1.2,0.9,1.5,0.9,1)

> mean(toxine) [1] 1.022222

> sd(toxine) [1] 0.263523

> mean(toxine)-qt(0.975,8)*sd(toxine)/sqrt(9) [1] 0.8196604

> mean(toxine)+qt(0.975,8)*sd(toxine)/sqrt(9)

[1] 1.224784

(28)

Sommaire

1

Introduction

2

Principe

3

Intervalle de confiance

4

Estimation de la moyenne µ d’une variable gaussienne

5

Estimation de la variance σ

²

d’une variable gaussienne

6

Estimation d’une proportion

(29)

Nous utilisons le fait que

1

c σ

²n

= 1 n

n

X

i=1

(X

_i

− µ)

²

est le meilleur estimateur de la variance σ

²

lorsque la moyenne µ est connue,

2

n c σ

²_n

σ

²

suit une loi du Khi-deux ` a n degr´ es de libert´ e comme la somme

de n carr´ es de loi N (0; 1) ind´ ependantes.

(30)

D´ efinition

k

₁

et k

₂

sont les bornes de l’intervalle de probabilit´ e pour n σ c

²_n

σ

²

si :

P k

₁

< n c σ

²_n

σ

²

< k

₂

!

= 1 − α.

Remarque

Par exemple, nous pouvons prendre la borne k

₁

´ egale au quantile d’ordre α/2 pour la loi du Khi-deux ` a n degr´ es de libert´ e et la borne k

2

´ egale au quantile d’ordre 1 − α/2 pour la loi du Khi-deux ` a n degr´ es de libert´ e.

(31)

D´ efinition

L’intervalle de confiance pour σ

²

` a 1 − α est ´ egal ` a : n σ c

²_n

(x

₁

, . . . , x

_n

)

k

₂

< σ

²

< n c σ

²_n

(x

₁

, . . . , x

_n

)

k

₁

· Remarque

Par exemple, nous pouvons prendre la borne k

₁

´ egale au quantile d’ordre

α/2 pour la loi du Khi-deux ` a n degr´ es de libert´ e et la borne k

2

´ egale au

quantile d’ordre 1 − α/2 pour la loi du Khi-deux ` a n degr´ es de libert´ e.

(32)

Nous utilisons le fait que

1

S

_n²

= 1 n

n

X

i=1

(X

_i

− µ b

n

)

²

,

2

nS

_n²

σ

²

suit une loi du Khi-deux ` a (n − 1) degr´ es de libert´ e comme la somme de (n − 1) carr´ es de loi N (0; 1) ind´ ependantes.

(33)

D´ efinition

l

₁

et l

₂

sont les bornes de l’intervalle de probabilit´ e pour

^nS_σ2ⁿ²

si :

P

l

₁

< nS

_n²

σ

²

< l

₂

= 1 − α.

D´ efinition

L’intervalle de confiance pour σ

²

` a 1 − α est ´ egal ` a : nS

_n²

(x

₁

, . . . , x

_n

)

l

2

< σ

²

< nS

_n²

(x

₁

, . . . , x

_n

) l

1

,

o` u l

₁

et l

₂

sont les quantiles respectivement ` a α/2 et ` a 1 − (α/2) du loi du

Khi-deux ` a (n − 1) degr´ es de libert´ e.

(34)

D´ efinition

l

₁

et l

₂

sont les bornes de l’intervalle de probabilit´ e pour (n − 1)S

_n,c²

/σ

²

si :

P l

1

< (n − 1)S

_n,c²

σ

²

< l

2

!

= 1 − α.

(35)

D´ efinition

L’intervalle de confiance ` a 1 − α pour la variance σ

²

est ´ egal ` a : (n − 1)S

_n,c²

(x

1

, . . . , x

n

)

l

2

< σ

²

< (n − 1)S

_n,c²

(x

1

, . . . , x

n

) l

1

,

o` u l

₁

et l

₂

sont les quantiles d´ efinis dans la diapositive pr´ ec´ edente.

(36)

Remarque

Pour obtenir le quantile l

1

d’une loi du Khi-deux, sous R, vous tapez la ligne de commande suivante :

>qchisq(0.025,n-1)

o` u la quantit´ e n − 1 est remplac´ ee par la valeur ad´ equate. De mˆ eme pour l

₂

en rempla¸cant 0, 025 par 0, 975.

(37)

Exemple : Les plantes marines

Un biologiste ´ etudie un type d’algue qui attaque les plantes marines. La toxine contenue dans cette algue est obtenue sous forme d’une solution organique. Il mesure la quantit´ e de toxine par gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprim´ ees en milligrammes :

1, 2; 0, 8; 0, 6; 1, 1; 1, 2; 0, 9; 1, 5; 0, 9; 1, 0.

Nous supposons que ces mesures sont les r´ ealisations de variables

al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees suivant une loi

normale d’esp´ erance µ et d’´ ecart-type σ

pop

.

(38)

Les plantes marines : suite

Donnons une estimation ponctuelle de la moyenne de la quantit´ e de toxine par gramme de solution :

b µ

9

(obs) = 1, 022222 mg .

Donnons une estimation ponctuelle de la variance de la quantit´ e de toxine

`

a l’aide de l’estimateur corrig´ e de la variance S

_9,c²

: S

_9,c²

(obs) = 0, 06944444 mg

²

(39)

Les plantes marines : suite

D´ eterminons un intervalle de confiance ` a 95% pour la variance σ

²_pop

de la quantit´ e de toxine par gramme de solution. La moyenne µ et la variance σ

²_pop

´ etant inconnues, l’intervalle de confiance ` a 95% pour la variance σ

²_pop

s’obtient avec la formule suivante :

8S

_9,c²

(obs) l

2

< σ

²_pop

< 8S

_9,c²

(obs) l

1

· 0, 032 mg

²

< σ

²_pop

< 0, 255 mg

²

o` u l

₁

= 2, 180 est le quantile d’ordre 0, 025 pour une loi du Khi-deux χ

²

(8)

et l

2

= 17, 535 est le quantile d’ordre 0, 975 pour une loi du Khi-deux

χ

²

(8).

(40)

Les plantes marines : fin

Les commandes sous R qui donnent les r´ esultats ci-dessus sont les suivantes :

> mean(toxine) [1] 1.022222

> var(toxine) [1] 0.06944444

> 8*var(toxine)/qchisq(0.975,8) [1] 0.03168349

> 8*var(toxine)/qchisq(0.025,8) [1] 0.2548735

(41)

Sommaire

1

Introduction

2

Principe

3

Intervalle de confiance

4

Estimation de la moyenne µ d’une variable gaussienne

5

Estimation de la variance σ

²

d’une variable gaussienne

6

Estimation d’une proportion

(42)

Nous souhaitons construire un intervalle de confiance pour une proportion π

_A

d’individus de la population qui poss` edent un certain caract` ere A. Pour estimer π

_A

, nous allons nous servir de l’estimateur b π

_n,A

, qui a ´ et´ e d´ efini auparavant, ` a partir du moment o` u nous faisons l’hypoth` ese que le tirage est al´ eatoire avec remise, ce qui correspond ` a une population infinie.

D’autre part, nous pouvons montrer que n π b

_n,A

suit une loi binomiale de param` etres n et π

_A

. ` A partir de ce r´ esultat, nous pouvons construire un intervalle de confiance pour π

A

.

(43)

Les trois m´ ethodes pour construire un intervalle de confiance pour une proportion π

_A

que nous rencontrerons le plus souvent sont :

1

la m´ ethode exacte ou encore appel´ ee la m´ ethode de Clopper-Pearson qui maintenant est r´ ealisable avec par exemple le logiciel R ;

2

la m´ ethode du score ou encore appel´ ee la m´ ethode de Wilson ou encore la m´ ethode de l’ellipse ;

3

la m´ ethode asymptotique ou encore appel´ ee la m´ ethode de Wald.

(44)

Des ´ etudes statistiques ont montr´ e que, parmi ces trois m´ ethodes, la m´ ethode ` a privil´ egier est la m´ ethode du score. N´ eanmoins, la m´ ethode de Wald reste tr` es utilis´ ee et pr´ esent´ ee dans de nombreux manuels alors qu’elle ne permet g´ en´ eralement pas d’obtenir des intervalles de confiance de qualit´ e convenable.

(45)

L’intervalle de confiance pour la proportion π

_A

au niveau de confiance (1 − α) est ´ egal ` a

πb_n,A(obs) + 1

2nu²_1−α/2−u_1−α/2× v u u

t bπ_n,A(obs)(1−πb_n,A(obs))

n +

u²_1−α/2 4n²

1 +1 nu_1−α/2²

< π_A

<

bπ_n,A(obs) + 1

2nu_1−(α/2)² +u_1−(α/2)× v u u

t bπ_n,A(obs)(1−πb_n,A(obs))

n +

u²_1−(α/2) 4n²

1 +1 nu²_1−(α/2)

,

o` u u

_1−(α/2)

est le quantile de la loi normale centr´ ee et r´ eduite.

(46)

L’intervalle de confiance pour la proportion π

_A

au niveau de confiance (1 − α) est ´ egal ` a

b π

_n,A

(obs) − u

_1−(α/2)

× r

b π

_n,A

(obs)(1 − b π

_n,A

(obs))

n < π

_A

< b π

_n,A

(obs) + u

_1−(α/2)

× r

b π

_n,A

(obs)(1 − b π

_n,A

(obs))

n ,

o` u u

_1−α/2

est le quantile de la loi normale centr´ ee et r´ eduite.

(47)

Remarques

1. Il existe pour ces deux intervalles une formule avec une correction de

continuit´ e de Yates pour tenir compte du passage d’une loi discr` ete ` a

une loi continue. Donc, parfois, nous pouvons constater un l´ eger ´ ecart

entre le calcul de cette formule si nous le r´ ealisons ` a la main et le

calcul donn´ e par un logiciel de statistique. Donc une recommandation

que nous pouvons faire : regarder ce qui est programm´ e dans le

manuel du logiciel qui est utilis´ e.

(48)

Remarques

2. Pour ´ etablir l’intervalle de confiance par la m´ ethode de Wald, l’approximation de la loi binomiale par la loi normale a ´ et´ e utilis´ ee. Il faut se rappeler que pour utiliser cette approximation, certaines conditions doivent ˆ etre remplies.

3. Enfin, il manque la formule math´ ematique de l’intervalle de confiance par la m´ ethode de Clopper-Pearson. Elle n’a pas ´ et´ e pr´ esent´ ee ici car le calcul est un peu plus compliqu´ e que les deux autres. N´ eanmoins elle peut ˆ etre retrouv´ ee facilement sur internet.

(49)

Exemple : La bact´ erie Brucella abortus

Dans le cas d’une contamination d’un grand cheptel bovin par la bact´ erie Brucella abortus, un v´ et´ erinaire observe 53 avortements pour 134 vaches gestantes.

Quelle proportion d’avortements peut-il pr´ edire dans le cheptel au seuil de confiance ´ egal ` a 95% ?

Au sujet de la bact´ erie Brucella abortus, nous renvoyons le lecteur au rapport de Juillet 2015 r´ edig´ e par l’Anses et t´ el´ echargeable ` a l’adresse suivante :

https://www.anses.fr/fr/system/files/SANT2014sa0218Ra.pdf

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