Série 27

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Série 27 ^{M : Zribi}

4

^ème

Sc

^Exercices

1

09/10

Exercice 1 :

A) On considère la fonction f définie sur l’intervalle



^{0 ;}^{ }



par f(x) = lnx – 2 + x.

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en .

2. Étudier le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution  dans l’intervalle



^{0 ;}^{ }



^.

Donner un encadrement du nombre  à 10^–2 près.

B) Le plan est muni d’un repère orthonormal (O i j; , ).

On considère sur le graphique ci-dessus la courbe représentative C de la fonction ln, ainsi que la droite D d’équation y = 2 − x. On note E le point d’intersection de la courbe C et de la droite D.

On considère l’aire en unités d’aire, notée A, de la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et au dessous de la courbe C et de la droite D.

1. Déterminer les coordonnées du point E.

2. Soit

1

ln

I xdx





 ^.

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Calculer I , en fonction de , à l’aide d’une intégration par parties.

c. Montrer que I peut aussi s’écrire I ²  1 sachant que f() = 0.

3. Calculer l’aire A en fonction de  . Exercice 2 :

A) Soit f la fonction définie sur l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^{par :}^{f x}  ^x ^ln₂^x

x

  .

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O i j; , ) (unité graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^par^{u x} ^^x³^{ }^{1 2 ln}^x^. a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^.

b. Calculer ^u ¹ et en déduire le signe de ^{u x}  pour x appartenant à l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^.

2. Étude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et en .

b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f.

3. Éléments graphiques et tracés.

a. Démontrer que la droite  ^ d'équation yx est asymptote oblique à la courbe (C).

b. Déterminer la position de (C) par rapport à  ^ ^. c. Tracer la courbe (C) et la droite  ^ ^.

(2)

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^ème

Sc

^Exercices

2

09/10

B) On note  un nombre réel strictement positif et on désigne par ^A ^ ^l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite  ^ ^et les droites d'équation x = 1 et x.

1. On suppose dans cette question que  1.

a. À l’aide d'une intégration par parties, démontrer que : ^A  ¹ ^ln ¹

a

 

  . b. Déterminer la limite l de ^A ^ ^lorsque^ tend vers .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que l A ¹ e

    . Exercice 3 :

Les courbes (C) et (C’) données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O i j; , ), les fonctions f et g définies sur l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^{par :}^{f x} ^^ln^x^et

  ^ln ²

g x  x .

1) On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée. On note

1

ln

e

I



xdx^et 1^ ^²

ln

e

J



x dx^.

a. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^par ^{F x} ^^x^ln^{x x}^ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.

b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J e 2I. c. En déduire J.

d. Donner la valeur de A.

(C)

e (C ')

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

(3)

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^ème

Sc

^Exercices

3

09/10

2)

Pour x appartenant à l'intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe (C) d'abscisse x et N le point de la courbe (C’) de même abscisse.

Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Exercice 4 :

A) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur



^{0 ;}^{ }



^{par :}^{f x}  ^ln₂^x

x



Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous.

1. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que l'extremum.

Enoncer puis démontrer ces propriétés.

2. Existe-t-il des tangentes à la courbe (C) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation.

B) Soit g la fonction définie sur l'intervalle



^{0 ;}^{ }



^par   ₂

1 xlnt

g x dt

t





^.

1. a. Que représente f pour la fonction g ?

b. En déduire le sens de variations de g sur



^{0 ;}^{ }



^.

2. Interpréter géométriquement les réels ^g ³ ^et ¹

g 2

  .

3. a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ^{g x}  ¹ ^ln^x ¹

x

  

b. Déterminer la limite de g en .

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4

^ème

Sc

^Exercices

4

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x 0 ¹

e2



 

f x



1 2e

0

(C)

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

-1 0 1 2 3 4 5

y

x

Série 27

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4

Sc

09/10



























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4

Sc

09/10













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4

Sc

09/10















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4

Sc

09/10

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