M ODULE 2 - O UTILS Q UANTITATIFS
M ATHÉMATIQUES POUR L ’É CONOMISTE 4
Polycopié de cours
Julie Scholler
chapapp 0 - Suites numériques 3
0.1 Généralités sur les suites réelles . . . 3
0.2 Nature d’une suite . . . 5
0.3 Propriétés de limites . . . 7
0.4 Suites usuelles . . . 13
chapapp 1 - Suites récurrentes d’ordre un 21 1.1 Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants et second membre constant 21 1.2 Équations aux différences finies du premier ordre non linéaires . . . 25
chapapp 2 - Suites récurrentes linéaires d’ordre deux 33 2.1 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre . . . 33
2.2 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre . . . 35
2.3 Étude complète d’une relation de récurrence linéaire à coefficients constants d’ordre 2 . . . . 37
chapapp 3 - Équations différentielles du premier ordre 39 3.1 Équations « primitives » . . . 39
3.2 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . 40
3.3 Équations différentielles du premier ordre non linéaires autonomes . . . 48
chapapp 4 - Équa. diff. linéaires du second ordre à coefficients constants 53 4.1 Généralités . . . 53
4.2 Structure de l’ensemble des solutions . . . 54
4.3 Résolution de l’équation homogène . . . 54
4.4 Cas d’un second membre constant . . . 58
4.5 Problème de Cauchy . . . 58
4.6 Méthode de résolution complète . . . 60
Suites numériques
1. Généralités sur les suites réelles
1.1. Définition des suites réelles
Définition. Suite réelle, terme général d’une suite
Une suite réelleu = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ est N(ou Jn0,+∞J avec n0 ∈N)
u:N−→R, n7−→un.
unest appelé le terme généralde la suite. Sonindice ou rangest n.
On peut aussi définir des suites indexées sur l’ensemble Jn0,+∞Jdes entiers supérieurs ou égaux à un entier n0.,Une telle suite est notée (un)n>n0. En pratique, on commence souvent à 0 ou à 1.
Pour ne pas alourdir les énoncés, nous considérons dans ce cours des suites définies surN, si rien de particulier n’est précisé. La généralisation aux autres suites est triviale.
Remarque.
Il ne faut jamais oublier les parenthèses qui permettent de faire la différence entre une suite (un)n∈Net son terme général un qui est un réel.
Remarque.
Une suite peut être définie de différentes façons :
• de façonexplicite: pour tout entier positifn, on aun=f(n) ;
• de façonrécurrente: pour tout entier positifn, on aun+1=f(un) ouun+k=f(un+k−1, un+k−2, . . . , un).
Exemples de suites définies explicitement :
• la suite de terme général :un= 3n2+ 5 ;
• la suite de terme général :un=
(1 sinest pair, 0 sinest impair.
Exemple de suites définies par récurrence :
• la suite (un)n∈Ndéfinie par u0= 2 et∀n∈N,un+1 =√ un;
• la suite (un)n∈Ndéfinie par un= 1 et∀n∈N,un+1=u0+u1+· · ·+un.
1.2. Variations d’une suite
Définition. Variations d’une suite réelle On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est
• croissante(resp. strictement croissante) si∀n∈N, un+1>un (resp. un+1> un) ;
• décroissante(resp. strictement décroissante) si∀n∈N, un+1 6un (resp. un+1< un) ;
• monotonesi elle est soit croissante soit décroissante ;
• strictement monotonesi elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.
On définit de manière évidente la notion de suite croissante ou décroissante à partir d’un certain rang.
Une suite constante à partir d’un certain rang est ditestationnaire.
Méthode. Étudier les variations d’une suite
Pour montrer qu’une suite est croissante (respectivement décroissante), on peut utiliser l’une des méthodes suivantes.
• On montre que pour tout entier natureln, on aun+1−un>0 (resp.un+1−un60).
• Si la suite est à termes strictement positifs, on montre que pour tout entier naturel n, on a un+1
un >1 (resp. un+1 un 61 ).
Pour que le sens de variation soit stricte, il faut que l’inégalité soit stricte.
Exemple.
Étudions le sens de variation de la suite (un)n∈Ndéfinie pour tout entier naturel npar nn n!. On donne deux méthodes.
• Soitndans N?. On prendn >0 pour de pas se retrouver par une division par 0.
un+1
un
=
(n+1)n+1 (n+1)!
nn n!
= (n+ 1)n+1n!
nn(n+ 1)! = (n+ 1)(n+ 1)nn!
nn(n+ 1)! = (n+ 1)
n+ 1 n
n 1 n+ 1 =
n+ 1 n
n
>1
car n+ 1
n >1, ce qui prouve que la suite est strictement croissante à partir de l’indice 1.
De plus,u0 = 1 =u1 donc la suite est croissante.
• Soitndans N.
un+1−un= (n+ 1)n+1 (n+ 1)! −nn
n! = (n+ 1)n(n+ 1) n!(n+ 1) −nn
n! = (n+ 1)n n! −nn
n! = (n+ 1)n−nn n! >0, etun+1−un>0 si n >0. ce qui prouve que la suite est croissante et strictement croissante à partir de l’indice 1.
Définition. Suites majorées, minorées, bornées
• On dit qu’une suite (un)n∈N estmajoréesi
∃M ∈R, ∀n∈N, un6M.
• On dit qu’une suite (un)n∈N estminoréesi
∃m∈R, ∀n∈N, un>m.
• On dit qu’une suite (un)n∈N estbornéesi elle est minorée et majorée :
∃m∈R, ∃M ∈R, ∀n∈N, m6un6M.
ou de manière équivalente
∃M ∈R, ∀n∈N, |un|6M.
Exemple.
Montrons que la suite (un)n∈N définie pour tout entier natureln parun= (−1)n
n+ 1 est bornée.
Pour toutn∈N, on an+ 1>1 donc 1
n+ 1 61 puisque la fonction x7→ 1
x est décroissante sur [1,+∞[.
Par ailleurs, on a|(−1)n|= 1 donc finalement,|un|61.
Ainsi, (un)n∈N est bornée.
2. Nature d’une suite
2.1. Suite convergente Définition informelle :
Une suite (un)n∈N est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pour nassez grand),un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de`.
Définition. Suite convergente
On dit qu’une suite (un)n∈N converge vers un réel`, et on note lim
n→+∞un =` ouun −→
n→+∞`, si et seulement si
∀ε∈R?+, ∃n0 ∈N, ∀n>n0, |un−`|< ε.
ce qui revient à dire
∀ε∈R?+, ∃n0 ∈N, ∀n>n0, un∈]`−ε, `+ε[.
Ainsi, une suite converge vers`si, quelque soit ε(aussi petit que l’on veut), on peut trouver un rangn0(dépendant deε) à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l’intervalle ]`−ε, `+ε[.
Si la suite converge, alors à partir du rangn0, tous les termes sont dans la bande de largeur 2ε.
Si on diminueε, alors le rang à partir duquel les termes sont dans la bande sera supérieur ou égal à n0.
`
`+
`−
n0 +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
Proposition. Caractère borné des suites convergentes Toute suite convergente est bornée.
Remarque.
La réciproque est fausse : il existe des suites bornées qui ne convergent pas.
Exemple.
La suite (un)n∈Ndéfinie par
∀n∈N, un:= (−1)n est bornée par −1 et 1 mais ne converge pas.
Proposition. Unicité de la limite
Quand une suite est convergente, sa limite est unique.
2.2. Suite divergente
Définition. Suite divergente On dit qu’une suite (un)n∈N
• a pourlimite +∞, et on note lim
n→+∞un= +∞ou un−−−−−→
n→+∞ +∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃n0 ∈N, ∀n>n0, un> A.
• a pourlimite −∞, et on note lim
n→+∞un=−∞ou un−−−−−→
n→+∞ −∞, si et seulement si
∀A∈R, ∃n0 ∈N, ∀n>n0, un< A.
• estdivergente si et seulement si elle admet pour limite +∞ ou −∞ou n’admet pas de limite.
Ainsi, une suite diverge vers +∞ si, quelque soit le réel A, il existe un rang n0 (dépendant de A) à partir duquel les termes de la suite sont supérieurs à A.
Si on augmenteA, alors le rang à partir duquel les termes seront supérieurs àA sera supérieur ou égal àn0.
A
n0
+
++++++++++++++
Remarque.
Il ne faut pas confondre la notion de suite divergente et de suite n’admettant pas de limite.
Il existe des suites divergentes qui admettent une limite, auquel cas la limite est infinie.
Proposition.
• Toute suite qui tend vers +∞ est minorée.
• Toute suite qui tend vers −∞est majorée.
2.3. Généralités
Définition. Nature d’une suite
On appellenature d’une suite son caractère convergent ou divergent.
3. Propriétés de limites
3.1. Opérations sur les limites
Proposition. Limite de la somme de deux suites
Soient (un)n∈N et (vn)n∈Ndeux suites réelles. Soient `et`0 deux réels.
• Si (un)n∈N converge vers`et (vn)n∈N converge vers`0, alors (un+vn)n∈N converge vers`+`0.
• Si (un)n∈N est minorée et (vn)n∈N tend vers +∞, alors la suite (un+vn)n∈N tend vers +∞.
• Si (un)n∈N est majorée et (vn)n∈N tend vers−∞, alors la suite (un+vn)n∈N tend vers−∞.
En particulier, on a les résultats suivants.
• Si (un)n∈N tend vers un réel ou +∞ et (vn)n∈N tend vers +∞, alors la suite (un+vn)n∈N tend vers +∞.
• Si (un)n∈N tend vers un réel ou −∞et (vn)n∈N tend vers −∞, alors la suite (un+vn)n∈N tend vers−∞.
Remarque.
Si (un)n∈Ntend vers +∞ et (vn)n∈N tend vers−∞, alors on ne peut rien direa priori.
C’est une forme indéterminée: il n’existe pas de théorème général mais la limite peut exister.
Exemple.
• Si pour tout entier natureln,un=netvn=−n+`, où` désigne un réel, alorsun+vn−−−−−→
n→+∞ `.
• Si pour tout entier natureln,un=n2 etvn=−n, alorsun+vn−−−−−→
n→+∞ +∞.
• Si pour tout entier natureln,un=netvn=−n2, alorsun+vn−−−−−→
n→+∞ −∞.
• Si pour tout entier natureln,un=netvn=−n+ (−1)n, alors la suite de terme généralun+vn= (−1)n n’admet pas de limite.
Proposition. Limite du produit d’une suite par un scalaire Soit (un)n∈Nune suite réelle. Soitλun réel non nul.
• Si la suite (un)n∈N converge vers le réel `, alors la suite (λun)n∈N converge vers λ`.
• Si la suite (un)n∈N tend vers +∞, alors la suite (λun)n∈N tend vers
(+∞ si λ >0
−∞ si λ <0.
• Si la suite (un)n∈N tend vers−∞, alors la suite (λun)n∈N tend vers
(−∞ si λ >0 +∞ si λ <0.
• Si la suite (un)n∈N n’admet pas de limite, alors la suite (λun)n∈N n’admet pas de limite.
Remarque.
Pour toute suite (un)n∈N, siλ= 0, alors la suite (λun)n∈N est nulle donc admet pour limite 0.
Proposition. Somme d’une suite convergente et d’une suite divergente
Soient (un)n∈N une suite convergente et (vn)n∈N une suite divergente. Alors la suite (un+vn)n∈N est divergente.
Remarque.
On ne peut rien direa priori sur la somme de deux suites divergentes.
Proposition. Limite d’un produit de deux suites
Soient (un)n∈N et (vn)n∈Ndeux suites réelles. Soient `et`0 deux réels.
1. Si (un)n∈N converge vers 0 et (vn)n∈N est bornée, alors (unvn)n∈N converge vers 0.
2. Si (un)n∈N converge vers`et (vn)n∈N converge vers`0, alors (unvn)n∈N converge vers``0. 3. Si (un)n∈N tend vers +∞ et si, à partir d’un certain rang,
• (vn)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors (unvn)n∈N tend vers +∞.
• (vn)n∈N est majorée par une constante strictement négative, alors (unvn)n∈N tend vers−∞.
4. Si (un)n∈N tend vers−∞et si, à partir d’un certain rang,
• (vn)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors (unvn)n∈N tend vers−∞.
• (vn)n∈N est majorée par une constante strictement négative , alors (unvn)n∈Ntend vers +∞.
Exemple.
Montrons que dans le cas de la forme indéterminée « 0×+∞», tous les cas peuvent se présenter.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un= `
n, où` désigne un réel, etvn=n, alorsunvn−−−−−→
n→+∞ `.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un= 1
n2 etvn=n, alorsunvn−−−−−→
n→+∞ 0+.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un=− 1
n2 etvn=n, alorsunvn−−−−−→
n→+∞ 0−.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un= 1
n etvn=n2, alorsunvn−−−−−→
n→+∞ +∞.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un=−1
n etvn=n2, alorsunvn−−−−−→
n→+∞ −∞.
• Si pour tout entier naturelnnon nul,un=(−1)n
n et vn=n, alors unvn= (−1)n n’admet pas de limite.
Proposition. Limite de l’inverse
Soit (un)n∈Nune suite réelle et soit ` un réelnon nul.
1. Si la suite (un)n∈N converge vers le réel non nul`, alors la suite 1
un
converge vers le réel 1
`. 2. Si la suite (un)n∈N tend vers +∞ ou−∞, alors la suite
1 un
converge vers 0.
3. Si la suite (un)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement positifs (respectivement négatifs) à partir d’un certain rang, alors la suite
1 un
tend vers +∞ (respectivement−∞).
Exemple.
Dans le cas de la forme indéterminée « 1
0 », les différentes possibilités sont +∞,−∞ou pas de limite.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un= 1
n, alors lim
n→+∞
1 un
= lim
n→+∞n= +∞.
• Si pour tout entier naturelnnon nul, un=−1
n, alors lim
n→+∞
1
un = lim
n→+∞−n=−∞.
• Si pour tout entier natureln non nul,un= (−1)n
n+ 1, alors la suite de terme général 1 un
= n+ 1
(−1)n n’admet pas de limite.
Remarque.
On peut retenir
« 1
0+ = +∞», « 1
0− =−∞» et « 1
∞ = 0 »,
mais ces abréviations ne doiventpas être utilisées dans la rédaction d’une solution.
Proposition. Limite du quotient de deux suites
Soient (un)n∈N une suite réelle et (vn)n∈N une suite réelle qui ne s’annule pas à partir d’un certain rang.
Soient `un réel et `0 un réel non nul.
1. Si (un)n∈N converge vers`et (vn)n∈N converge vers`0, alors la suite un
vn
n∈N
converge vers `
`0. 2. (a) Si (un)n∈N converge vers`et (vn)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement
positifs à partir d’un certain rang, alors la suite un
vn
n∈N
converge vers
(+∞ si ` >0
−∞ si ` <0. (b) Si (un)n∈N converge vers`et (vn)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement
négatifs à partir d’un certain rang, alors la suite un
vn
n∈N
converge vers
(−∞ si ` >0 +∞ si ` <0. 3. (a) Si (un)n∈N tend vers ±∞ et (vn)n∈N converge vers `0, alors
un
vn
n∈N
converge vers (±∞ si `0 >0
∓∞ si `0 <0.
(b) Si (un)n∈Ntend vers±∞et (vn)n∈Nest
(minorée par une constante strictement positive majorée par une constante strictement négative , alors la suite
un vn
n∈N
converge vers (±∞
∓∞ .
Remarque.
Les formes indéterminées sont « ∞
∞ », « 0
0 » et « ∞
0 » (pour le dernier, si le quotient n’est pas de signe constant à partir d’un certain rang, alors il n’y a pas de limite).
En revanche, « ∞
0+ » et « ∞
0− » ne sont pas des formes indéterminées.
Exemple.
Dans le cas de la forme indéterminée « +∞
+∞ », tous les cas non négatifs peuvent se présenter.
• Si pour tout entier natureln,un=`n, où `est dans R?+, etvn=n, alors un
vn −−−−−→
n→+∞ `.
• Si pour tout entier natureln,un=netvn=n2, alors un vn
−−−−−→
n→+∞ 0+.
• Si pour tout entier natureln,un=n2 etvn=n, alors un
vn −−−−−→
n→+∞ +∞.
• Si pour tout entier natureln,un=n(2 + (−1)n) etvn=n, alors la suite de terme généralun vn
= 2+(−1)n n’a pas de limite.
3.2. Limites de suites et fonctions
Proposition. Limite d’une fonction d’une suite Soit (un)n∈Nune suite qui tend vers `(un réel ou +∞ ou−∞).
Soit f une fonction telle quef(x)−→
x→`λ(un réel ou +∞ ou−∞).
Alors la suite (f(un))n∈N tend versλ. En particulier, si f est une fonction continue au point`, alors f(un) −→
n→+∞f(`).
Exemple.
• Soit (un)n∈N une suite qui tend vers `(un réel ou +∞ ou −∞).
Alors la suite (eun)n∈
N tend vers
+∞ si`= +∞
e` si`∈R 0 si`=−∞
• Soit (un)n∈N une suite strictement positive qui tend vers`(un réel positif ou +∞).
Alors la suite (ln(un))n∈
N tend vers
+∞ si`= +∞
ln(`) si`∈R?+
−∞ si`= 0
• – Soit (un)n∈N une suite strictement positive qui tend vers`(un réel positif ou +∞).
Pour tout réel α dansR?+, la suite (uαn)n∈
N tend vers
+∞ si `= +∞
`α si `∈R?+ 0 si `= 0
– Soit (un)n∈N une suite strictement positive qui tend vers`(un réel positif ou +∞).
Pour tout réel α dansR?−, la suite (uαn)n∈
N tend vers
0 si `= +∞
`α si `∈R?+ +∞ si `= 0
3.3. Théorèmes d’encadrement
Théorème.
Soient (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N trois suites réelles.
• Si les suites (un)n∈N et (wn)n∈N admettent la même limite réelle`et si
∀n∈N, un6vn6wn. alors la suite (vn)n∈N converge et admet pour limite`.
• Si la suite (un)n∈N diverge vers +∞ et si
∀n∈N, un6vn, alors la suite (vn)n∈N diverge vers +∞.
• Si la suite (vn)n∈N diverge vers−∞et si
∀n∈N, un6vn, alors la suite (un)n∈N diverge vers−∞.
Exemple.
Pour tout entierndans N?, on a −16(−1)n61 donc −1
n 6 (−1)n
n 6 1
n. Or les suites
1 n
n∈N?
et −1
n
n∈N?
convergent vers 0.
Ainsi, d’après le théorème de convergence par encadrement, la suite
(−1)n n
n∈N?
converge, et sa limite est 0.
Pour tout entier natureln,n−16n+ (−1)n. Or la suite (n−1)n∈Ntend vers +∞.
D’après le théorème de divergence par minoration, on en déduit que la suite (n+ (−1)n)n∈
N tend vers +∞.
3.4. Théorème de la limite monotone
Théorème. Théorème de la limite monotone Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).
1. Soit (un)n∈N une suite croissante.
• Si la suite (un)n∈N est majorée par un réelM, alors elle converge vers un réel`6M.
• Si la suite (un)n∈N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.
2. Soit (un)n∈N une suite décroissante.
• Si la suite (un)n∈N est minorée par un réelm, alors elle converge vers un réel `>m.
• Si la suite (un)n∈N n’est pas minorée, alors elle diverge vers−∞.
Remarque.
Ce théorème ne donne pas la limite de la suite mais est utilisé pour prouver l’existence de la limite.
3.5. Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs
Définition. Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs Soit (un)n∈Nune suite.
• On appellesuite extraite des termes d’indices pairsla suite (u2n)n∈N.
• On appellesuite extraite des termes d’indices impairsla suite (u2n+1)n∈N.
Théorème. Théorème des suites extraites Soit (un)n∈Nune suite. Soit `un réel ou +∞ ou−∞.
La suite (un)n∈N admet pour limite`si et seulement si les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite`.
Remarque.
Pour montrer qu’une suite est divergente, il suffit de déterminer une sous-suite divergente ou deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes.
Théorème. Théorème des suites extraites d’indices pairs et impairs Soit (un)n∈Nune suite. Soit `un réel ou +∞ ou−∞.
Alors (un)n∈N admet pour limite`si et seulement si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite`.
Remarque.
Pour tout entier natureln, le terme qui suit u2n dans la suite (u2n)n∈N estu2(n+1)=u2n+2. Pour tout entier natureln, le terme qui suit u2n+1 dans la suite (u2n+1)n∈N est u2(n+1)+1 =u2n+3. Exemple.
• La suite ((−1)n)n∈
N, qui est bornée par −1 et 1, n’admet pas de limite.
En effet, la suite des termes d’indices pairs est constante et prend la valeur 1 donc converge vers 1.
La suite des termes d’indices impairs est constante et prend la valeur−1 donc converge vers −1.
Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.
• La suite (n(−1)n)n∈
N, qui n’est pas bornée, n’admet pas de limite.
En effet, la suite (2n)n∈N des termes d’indices pairs tend vers +∞.
La suite (−(2n+ 1))n∈N des termes d’indices impairs tend vers −∞.
Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.
3.6. Croissances comparées
Théorème. Croissances comparées
Soient aetbdeux réels tel quea >0 et b >1. Alors
• lim
n→+∞
na
n! = 0, • lim
n→+∞
bn
n! = 0, • lim
n→+∞
na
bn = 0, • lim
n→+∞
n!
nn = 0.
Remarque.
Par ordre de prépondérance croissante on a ainsi :
• les suites puissances strictement positives ;
• les suites exponentielles de basea >1 ;
• la suite factorielle ;
• la suite de terme généralnn.
4. Suites usuelles
4.1. Suites arithmétiques
Définition. Suite arithmétique
On appellesuite arithmétique de raison r∈R toute suite (un)n∈N telle que
∀n∈N, un+1 =un+r.
Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n’importe quel terme).
Exemple.
La suite (un)n∈Ndéfinie par
u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 =un+ 3 est l’unique suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3.
Remarque.
Sir= 0, alors la suite est constante égale à son premier terme.
Méthode. Montrer qu’une suite est arithmétique
Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est arithmétique, on montre que pour tout entier naturel n, la différenceun+1−un est constante, c’est-à-dire ne dépend pas den.
Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite arithmétique.
Proposition. Variations d’une suite arithmétique Soit (un)n∈Nune suite arithmétique de raisonr.
• Si la raison r est strictement positive, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.
• Si la raison r est strictement négative, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.
• Si la raison est nulle, alors la suite est constante égale à son premier terme.
Démonstration.
∀n∈N, un+1−un=un+r−un=r.
r >0 r <0 r= 0
× × × × × × ×
×
×
×
×
×
× × × × × ×
u0 u1 u2 u3u4 u5 u5 u4 u3 u2 u1 u0
u0
u1
u2
Remarque.
Toute suite arithmétique de raison strictement positive est minorée et non majorée.
Toute suite arithmétique de raison strictement négative est majorée et non minorée.
Proposition. Terme général d’une suite arithmétique Le terme général d’une suite arithmétique (un)n∈N de raisonr est
un=u0+nr.
Démonstration.
C’est trivial par récurrence sur l’entiern.
1. Initialisation : u0 =u0+ 0×r.
2. Hérédité : soitn un entier naturel tel queun=u0+nr. Alors
un+1 =un+r par définition de la suite (un)n∈N
=u0+nr+r d’après l’hypothèse de récurrence
=u0+ (n+ 1)r.
Plus généralement, on obtient facilement que pour tous entiers naturelsp6n,un=up+ (n−p+ 1)r.
Proposition. Somme de termes en progression arithmétique
Soit (un)n∈Nune suite arithmétique de raisonr ∈R. Alors pour tout entier naturel n,
n
X
k=0
uk = (n+1)u0+un
2 et ∀p∈Jn,+∞J,
n
X
k=p
uk = (n−p+ 1)
| {z }
nombre de termes
premier terme
z}|{up +
dernier terme
z}|{un
2 .
Démonstration.
n
X
k=0
uk=
n
X
k=0
(u0+kr) =
n
X
k=0
u0+r
n
X
k=0
k= (n+ 1)u0+n(n+ 1)
2 r = (n+ 1)u0+un
2 .
n
X
k=p
uk=
n−p
X
k=0
up+k=
n−p
X
k=0
up+kr=
n−p
X
k=0
up+r
n−p
X
k=0
k= (n−p+ 1)up+r(n−p)(n−p+ 1) 2
= (n−p+ 1)2up+ (n−p)r
2 = (n−p+ 1)up+up+ (n−p)r
2 = (n−p+ 1)up+un
2
Théorème.
Toute suite arithmétique (un)n∈N admet une limite, qui dépend du signe de sa raisonr.
• Sir est strictement positif, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut +∞.
• Sir est strictement négatif, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut −∞.
• Sir est nul, alors la suite est constante égale à son premier terme.
4.2. Suites géométriques
Définition. Suite géométrique
On appellesuite géométrique de raison q∈Rtoute suite (un)n∈N telle que
∀n∈N, un+1 =q un.
Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n’importe quel terme).
Exemple.
La suite (un)n∈Ndéfinie par
u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 = 3un
est l’unique suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3.
Remarque.
• Siq= 1, alors la suite est constante.
• Siq= 0, alors la suite est stationnaire : elle est nulle à partir du rang 1 (ou 0 si u0 = 0).
Méthode. Montrer qu’une suite est géométrique
Pour montrer qu’une suite (un)n∈N (dont tous les termes sont non nuls) est géométrique, on montre que pour tout entier naturel n, le quotient un+1
un
est constant, c’est-à-dire ne dépend pas de n. Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite géométrique.
Proposition. Variations d’une suite géométrique Soit (un)n∈Nune suite géométrique de raison q.
1. Siq >1,
• siu0>0, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.
• siu0<0, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.
2. Siq= 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.
3. Si 0< q <1,
• siu0>0, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.
• siu0<0, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.
4. Siq= 0, alors la suite (un)n∈N nulle et donc constante à partir du rang 1 (ou 0 si u0 = 0).
5. Siq <0, alors la suite (un)n∈N n’est pas monotone.
q >1 etu0>0 q >1 et u0<0 q = 1
× × ×
×
×
×
× ×
×
×
×
×
× × × × × ×
u0
u1u2 u3 u4 u5
u0 u1 u2 u3 u4 u5
u0 u1 u2
0< q <1 et u0 >0 0< q <1 etu0<0 −1< q <0
×
×
×
× × × ×
×
× × × ×
×
×
×
×
× ×
u4
u0 u1
u2 u3
u4
u0 u1 u2u3 u1 u3u5 u4u2 u0
q =−1 q <−1
× × ×
× × ×
× ×
×
×
×
× u0
u1 u2 u1
u3
u5 u5 u3u1 u0u2 u4
Remarque.
Une suite géométrique non nulle de raisonq∈Rest bornée si et seulement si −16q61.
Proposition. Terme général d’une suite géométrique Le terme général d’une suite géométrique (un)n∈N de raisonq est
un=qnu0.
Démonstration.
C’est trivial par récurrence sur l’entiern.
1. Initialisation : u0 =q0u0.
2. Hérédité : soitn un entier tel queun=qnu0. Alors
un+1 =qun par définition de la suite (un)n∈N
=q(qnu0) d’après l’hypothèse de récurrence
=qn+1u0.
Plus généralement, pour tous entiers naturelsp6n,un=qn−pup. Théorème.
Soit (un)n∈Nune suite géométrique non nulle de raison q ∈R.
• Si|q|<1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à 0.
• Siq= 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.
• Siq >1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à +∞ ou −∞, selon le signe deu0.
• Siq6−1, alors la suite (un)n∈N n’admet pas de limite.
Remarque.
Soit (un)n∈N une suite géométrique non nulle de raison q <−1.
Alors la suiteu0q2n
n∈N
= u0q2n
n∈N
est géométrique de raisonq2>1 de premier termeu0 donc tend vers
(+∞ siu0 >0
−∞ siu0 <0 La suiteu0q2n+1
n∈N
=u0qq2n
n∈N
est géométrique de raison q2 >1 de premier terme u0q de signe
opposé à u0 donc tend vers
(+∞ si u0 <0
−∞ si u0 >0
Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.
Rappelons la formule de la somme des puissances successives d’un réel.
Proposition. Somme des puissances entières successives d’un réel Soit x un nombre réel (ou complexe). Pour tout entier natureln, on a
1 +x+x2+· · ·+xn=
n
X
k=0
xk=
1−xn+1
1−x si x6= 1 n+ 1 si x= 1
Démonstration.
Le cas oùx= 1 est trivial. Six est différent de 1, il suffit de développer (1−x)(1 +x+· · ·+xn) = 1 +x+x2+· · ·+xn
−x−x2− · · · −xn−xn+1
= 1−xn+1.
Plus généralement, par la même démonstration, pour tous entiers naturels netp tels quep6n, on a xp+· · ·+xn=
n
X
k=p
xk=
xp−xn+1
1−x six6= 1 n−p+ 1 six= 1
Cette proposition permet de calculer la somme de termes en progression géométrique.
Proposition. Somme de termes en progression géométrique
Soit (un)n∈Nune suite en progression géométrique de raisonq 6= 1. Pour tous entiers naturelsp6n,
up+· · ·+un=
n
X
k=p
uk =u0
qp−qn+1
1−q = up
|{z}
premier terme
1−q
nombre de termes
z }| { n−p+ 1
1−q .
4.3. Utilisation des résultats sur les suites arithmétiques et géométriques Exemple.
On considère la suite (un)n∈
N définie par u0 = 4 et par la relation de récurrence
∀n∈N, un+1=− 1 un+ 2
1. Montrons que, pour tout entier naturelnnon nul,unest défini et vérifie l’encadrement −1< un<0.
On montre par récurrence surndansN? :Hn «un est bien défini et que−1< un<0 ».
• Initialisation :u1=−1
6 ∈]−1,0[.
• Hérédité : soit n dansN? tel queun est bien défini et−1< un<0.
Alorsun+1 existe et on a
−1< un<0⇔1< un+ 2<2⇔ 1
2 < 1
un+ 2 <1⇔ −1< un+1 =− 1
un+ 2 <−1 2 <0
• Conclusion : la suite (un)n∈
N est bien définie et tous ses termes sont compris strictement entre -1 et 0.
2. On introduit la suite (vn)n∈
Ndéfinie par
∀n∈N, vn= 1 un+ 1. Pour tout entier natureln,un+ 16= 0 donc la suite (vn)n∈
N est bien définie.
3. Calculons les premiers termes de la suite (vn)n∈
N. On au0= 4, u1 = 1
6,u2 =− 6
11,u3 =−11
16. Doncv0 = 1
5,v1 = 6
5,v2= 11
5 etv3 = 16 5 . 4. On peut conjecturer que la suite (vn)n∈
Nest arithmétique de raison 1 et de premier terme 1
5. Montrons-le.
Pour tout entiernon a vn+1−vn= 1
un+1+ 1− 1
un+ 1 = 1
−u1
n+2 + 1− 1
un+ 1 = 1
un+2−1 un+2
− 1 un+ 1
= un+ 2 un+ 1− 1
un+ 1 = un+ 1 un+ 1 = 1, ce qui prouve que la suite (vn)n∈
N est arithmétique de raison 1 et de premier termev0 = 1 4 + 1 = 1
5. On en déduit
∀n∈N, vn= 1 5+n 5. On déduit de l’expression devn une expression de un.
Or pour tout entier natureln, vn= 1
un+ 1 ⇐⇒ un+ 1 = 1
vn ⇐⇒ un= 1 vn −1.
Pa conséquent,
∀n∈N, un= 1
1
5 +n −1 6. Finalement on constate que la suite (un)n∈
N converge vers −1.
Équations aux différences finies du premier ordre, Suites récurrentes d’ordre un
Définition. Suites récurrentes d’ordre p
On dit qu’une suite (un)n∈N est unesuite récurrented’ordrep∈N? s’il existe une fonction f telle que
∀n∈N, un+p=f(un+p−1, un+p−2, . . . , un, n)
Définition. Suites récurrentes linéaires d’ordre p à coefficients constants avec second membre
On dit qu’une suite (un)n∈N est une suite récurrente linéaired’ordre p∈N? s’il existe des réels a1, . . . , ap, b et une fonctionf tels que
∀n∈N, un+p =a1un+p−1+a2un+p−2+· · ·+apun+f(n).
L’ordred’une suite récurrente linéaire est la profondeur de la relation de récurrence : c’est le nombre de termes précédents dont on a besoin pour calculer un terme.
1. Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants et second membre constant
Définition.
On appelle suite récurrente linéaire du premier ordre à coefficients constants et second membre constant une suite vérifiant une relation de récurrence de la forme
yt+1 =ayt+b, ∀t∈N ou
un+1=aun+b, ∀n∈N, avec aetb des constantes réelles.
Cas où a = 0.
L’équation devient yt+1 =b. Les solutions sont les suites constantes égales à bà partir du rang 1 et dont le terme de rang 0 est quelconque.
