Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES
( JE SAIS FAIRE )
1 É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
Je sais décrire les solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y′+a(x)y=0.
1 Résoudre les équations différentielles : y′−5y=0 et 2y′+x y=0 d’inconnuey∈ D(R,R).
Je sais trouver une solution particulière de l’équation différentielle linéaire y′+a(x)y=b(x)grâce à la méthode de variation de la constante, puis décrire l’ensemble de ses solutions. Je sais résoudre un problème de Cauchy.
2 Résoudre l’équation différentielle y′+3y
x =1 d’inconnue y∈ D R∗
+,R .
Je sais utiliser le principe de superposition pour simplifier mes calculs quand le second membre est une somme de termes simples.
Je sais trouver une solution particulière de l’équation y′+a y=Aeλx sans variation de la constante, ainsi que des équationsy′+a y=Aeλxsin(ωx)ety′+a y=Aeλxcos(ωx). J’ai bien compris que la technique ici utilisée n’est valable que lorsqueaest uneCONSTANTE— et non pas une fonction.
3 Déterminer l’unique solution du problème de Cauchy : y′+ y = 3 e−xsinx+ex +2 et y(0) = 0 d’inconnue y∈ D(R,R).
2 É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS
Je sais décrire les solutions COMPLEXES de l’équation différentielle linéaire homogène a y′′+b y′+c y = 0 à coefficientsCONSTANTS.
Je sais décrire les solutionsRÉELLESde l’équation différentielle linéaire homogènea y′′+b y′+c y=0 à coefficients
CONSTANTS. Je sais résoudre l’équation d’un oscillateur harmonique y′′+ω2y = 0 sans repasser par son polynôme caractéristique.
4 Résoudre les équations différentielles : y′′−5y′+4y = 0, y′′−6y′+9y = 0 et y′′+2y+5y = 0 d’inconnueydeux fois dérivable. On donnera d’abord les solutions complexes, puis les solutions réelles.
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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Je sais trouver une solution particulière des équations : a y′′+b y′+c y=Aeλx, a y′′+b y′+c y=Aeλxsin(ωx) et a y′′+b y′+c y=Aeλxcos(ωx).
5 Résoudre l’équation différentielle linéaire y′′+3y′+2y=cosxd’inconnue y:R−→Rdeux fois dérivable.
3 S UITES RÉCURRENTES LINÉAIRES
Je sais calculer le terme général d’une suite arithmétique ou géométrique.
6 Déterminer une expression explicite de l’unique suite(un)n∈N définie paru0 = 3 et pour tout n∈ N: un+1= un+2.
Même question en remplaçantun+2 par 2un.
Je sais calculer le terme général d’une suite arithmético-géométrique.
7 Déterminer une expression explicite de l’unique suite(un)n∈Ndéfinie paru0=1 et pour toutn∈N: un+1=5un−2.
Je sais calculer le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 dans les cas complexe et réel.
8 Déterminer une expression explicite de l’unique suite (un)n∈N définie par : u0 = 0, u1 = 1 et pour toutn ∈ N : un+2=5un+1−6un. Même question en remplaçant 5un+1−6unpar 4un+1−4un, puis par 2un+1−4un.
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4 C ORRECTION DES EXERCICES
1 Équationy′−5y=0: x7−→λe5x, λdécrivantR. Équation2y′+x y=0: x7−→λe−x
2
4, λdécrivantR.
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2 Équationy′+3y
x =1: x7−→ λ x3+ x
4, λdécrivantR.
————————————–
3 Équationy′+y=3 e−xsinx+ex+2: x7−→λe−x−3 e−xcosx+ex
2 +2, λdécrivantR. Problème de Cauchy y(0) =0: x7−→e−x
2 −3 e−xcosx+ex
2 +2=chx−3 e−xcosx+2.
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4 Équationy′′−5y′+4y=0:
x7−→λex+µe4x, λetµdécrivantC, x7−→λex+µe4x, λetµdécrivantR.
Équationy′′−6y′+9y=0:
x7−→(λx+µ)e3x, λetµdécrivantC, x7−→(λx+µ)e3x, λetµdécrivantR.
Équationy′′+2y+5y=0:
x7−→e−x λe2ix+µe−2ix
, λetµdécrivantC, x7−→e−x λsin(2x) +µcos(2x)
, λetµdécrivantR.
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5 Équation intermédiairey′′+3y′+2y=eix : x7−→λe−x+µe−2x+1−3i
10 eix, λetµdécrivantC. Équationy′′+3y′+2y=cosx: x7−→λe−x+µe−2x+3 sinx+cosx
10 , λetµdécrivantR.
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6 Suite arithmétique : Pour toutn∈N: un=2n+3.
Suite géométrique : Pour toutn∈N: un=3×2n.
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7 Pour tout x∈R: 5x−2= x ⇐⇒ x= 1
2, donc(un)n∈N est de la forme
λ5n+1
2
n∈N
pour un certainλ∈R. Or u0=1, donc pour toutn∈N: un=5n+1
2 .
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8 Suiteun+2=5un+1−6un: La suite(un)n∈N est de la forme λ2n+µ3n
n∈N pour certainsλ,µ∈R. En tenant compte des conditions initiales, pour toutn∈N: un=3n−2n.
Suiteun+2=4un+1−4un: La suite(un)n∈Nest de la forme (λn+µ)2n
n∈Npour certainsλ,µ∈R. En tenant compte des conditions initiales, pour toutn∈N: un= n
22n=2n−1n.
Suiteun+2=2un+1−4un: Les racines du polynôme caractéristique sont 1±ip
3, de module 2 et d’arguments±π
3. La suite (un)n∈N est de la forme
λsinnπ
3 +µcosnπ 3
2n
n∈N
pour certains λ,µ∈R. En tenant compte des conditions initiales, pour toutn∈N: un= 2n
p3 sinnπ 3 .
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