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2: doc 2 Encore des suites et enfin des limites 2014-2015
I Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
Il s’agit encore de sensibilisation à la notion et non d’un exposé exhaustif sur le sujet ; néanmoins, on peut donner une définition
On note S a,b =
(u n ) n∈N ∈ R
Ntelles que u n+2 = au n+1 + bu n , (a; b) ∈ R 2
Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants est une suite de S a,b . Une approche empirique ...
L’objectif est la recherche d’une suite (u n ) n∈N de l’ensemble S 1,1 vérifiant les conditions initiales : u 0 = 0 et u 1 = 1.
1. Quelle relation de récurrence vérifie une suite de S 1,1 , s’il en existe ? Vérifier que S 1,1 est un ensemble non vide.
2. Soit r ∈ R
∗, On pose u n = r n , n ∈ N . Déterminer r de sorte que (u n ) n∈N appartienne à S 1,1 . La ou les suite(s) trouvée(s) vérifie(nt)-elle(s) les conditions initiales ?
3. Prouver que si deux suites appartiennent à S 1,1 alors toute combinaison linéaire de ces deux suites appartient à S 1,1 .
4. Proposer une suite (F n ) n∈N de S 1,1 vérifiant les conditions initiales.
Soit E un ensemble non vide. Une combinaison linéaire sur R de deux éléments de E est une expression de la forme
αx + βy avec (x, y) ∈ E 2 et (α, β) ∈ R 2
II Limite +∞ en +∞
Soit α ∈ R . Soit f une fonction :
f : [α; + ∞ [ −→ R x 7−→ f (x) .
En classe la définition suivante a été donnée :
Soit A ∈ R . On dit que f (x) tend vers + ∞ lorsque x tend vers + ∞ , quand tout intervalle du type [A; + ∞ [ contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand.
Cela se note lim
x→+∞ f (x) = + ∞
Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :
« pour tout A ∈ R , il existe un réel x A (qui dépend de A) tel que :
x ∈ I et x > x A implique que f (x) > A ( ou encore f (x) ∈ [A; + ∞ [ ) »
Remarque 1 Utiliser la définition pour prouver que lim
x→+∞ f (x) = + ∞ revient à trouver des solutions dans I α à l’inéquation f (x) > A et ceci pour n’importe lequel des nombres A que je choisis.
Exemple 1 Soit
g : [0; + ∞ [ −→ R x 7−→ x
2+ bx . Prouver que g(x) −→
x→+∞
