Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 Soit

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Soit a et b deux réels.

On considère une suite

 

un définie par ses deux premiers termes u₀ et u₁ ainsi que par la relation de récurrence u_n2 au_n1bu_n.

Il s’agit d’une suite linéaire récurrente d’ordre 2.

Notre objectif est de déterminer une expression explicite de u_n en fonction de n.

On va commencer par associer une suite de matrices.

Pour tout entier naturel n, on pose

1

U_n ⁿ

n

u u _

 

  

 

.

On a alors  n  ₁ ¹

2

U_n ⁿ

n

u u







 

  

 

. Donc  n  U_n1AU_n où 0 1

A b a

 

  

 

.

On considère l’équation r²ar b 0 (1).

(1) est une équation du second degré, appelée équation caractéristique associée à

 

un . On note  le discriminant de (1).

2 4

a b

  

On va étudier trois cas suivants le signe de .

1^er cas : On suppose que  0 (c’est-à-dire a²4b0) Dans ce cas, (1) admet deux racines réelles distinctes r₁ et r₂.

On pose ¹

2

D 0 0 r

r

 

  

 

et

1 2

1 1 Q r r

 

  

 

.

 Démontrons que Q est inversible. Préciser son inverse Q^1.

2 1

det Qr r



Par suite Q est inversible et ^{1 2}

1

2 1

1 1

Q 1

r r r r

   

  



  

.

 Démontrons que AQQD.

1 2

1 2

AQ r r

ar b ar b

 

  

 

 

1 2

2 2

1 2

QD r r

r r

 

  

 

Or r₁ et r₂ sont racines de (1) donc r₁² ar₁b et r₂² ar₂b.

D’où ¹₂ ²₂

1 2

AQ r r

r r

 

  

 

. On en déduit que AQQD.

 Par conséquent, AQDQ^1 et donc n   Aⁿ QD Q^{n 1}

U_n A Uⁿ 0

En effectuant les calculs, on obtient :  n  u_n r₁ⁿ r₂ⁿ où



^{  ;}



^2.

Lorsque  0, l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r₁ et r₂. Dans ce cas, il existe deux réels  et  tels que  n  u_n  r₁ⁿ r₂ⁿ.

2^e cas : On suppose que  0 (c’est-à-dire a²4b0).

Dans ce cas, (1) admet une racine double ₀ 2 r a.

On pose ⁰

0

T 1 0 r

r

 

  

 

et

0 0

1 1

Q r 1 r

 

  

  

.

 Démontrons que Q est inversible et donnons Q^1.



0



0

det Q 1 1r r  1 1 Donc det Q0.

Par suite Q est inversible et ^{1 0}

0

1 1

Q 1

r r

    

  

  

.

 Démontrons que AQQT.

On rappelle que 0 1

A b a

 

  

 

.

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1

0 1

AQ 1

r r r r

r r b ar b a ar r r a

b a

 

     

 

    

    

       

On sait que r₀ est solution de (1) donc r₀² ar₀b.

0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

QT 1 0 2

r r r r r r r

r r r r r r r r r r r a r

  

         

      

    

         

On en déduit que AQQT. On a donc AQTQ^1.

 Démontrons que  n 

1

0 0

0

T 0

n n

n

n

r nr r

  

  

 

. On le démontre par récurrence.

 Exprimons Aⁿ. Aⁿ QT Q^{n }1

 Déduisons-en u_n en fonction de n.

n

  0

 

n

un r   n où



^{  ;}



^2.

Lorsque  0, l’équation caractéristique admet une racine double r₀. Dans ce cas, il existe deux réels  et  tels que  n  0

 

n

un r   n .

3^e cas : On suppose que  0 (c’est-à-dire a²4b0).

Dans ce cas, (1) admet deux racines complexes conjuguées distinctes e^i et e^{ i} avec  0.

En procédant de la même manière qu’au cas étudié dans le I, on démontre que, dans ce cas, il existe deux réels

 et  tels que  n  un  ⁿ



^cos

 

n  ^sin

 

n



.

 n  un  ⁿ



^cos



n  



^sin



n

 

où



^{  ;}



^2.

Lorsque  0, l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées distinctes e^i et e^{ i} avec  0.

Dans ce cas, il existe deux réels  et  tels que  n  un  ⁿ



^cos

 

n  ^sin

 

n



.

Application à la suite de Fibonacci :

On considère la suite

 

un définie sur  par ses deux premiers termes u₀ 0 et u₁1 ainsi que par la relation de récurrence u_n2 u_n1u_n pour tout entier naturel n.

La suite

 

un est une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

L’équation caractéristique associée est r²  r 1 0. Les racines sont ₁ 1 5

r 2

 et ₂ 1 5

r 2

 .

On sait qu’il existe deux réels  et  tels que  n  1 5 1 5

2 2

n n

un      

     

   

.

Comme u₀ 0, on a :

0 0

1 5 1 5

2 2 0

     

     

   

(1).

(1)     0      (1')

Comme u₁ 1, on a : 1 5 1 5

2 2 1

 

      (2).

(2)  1 5 1 5

2 2 1

 

    

   51  1

5

 

(1') donne alors 1 5

   .

Donc n   1 1 5 1 1 5

2 2

5 5

n n

un      

     

   

.