Suites récurrentes
1. Systèmes dynamiques topologiques.
2. Systèmes dynamiques linéaires.
3. Systèmes autonomes un+1 = f(un).
4. Systèmes non autonomes un+1 = f(n, un), etc.
Pierre-Jean Hormière
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« Il jeta un coup d’œil sur les suites récurrentes que j’étais en train de calculer et s’assit sur mon lit. » Raymond Queneau, Odile (Pléiade, p.559)
Introduction
Les « suites récurrentes » des vieux cours de taupe se nomment aujourd’hui « systèmes dynamiques discrets ». « Un mot à la place d’un autre, ça n’a l’air de rien », disait Althusser… et pourtant ce changement de dénomination permet d’interpréter la variable entière d’indexation n comme un temps observé à des instants successifs, et souligne la parenté de ces systèmes avec les équations différentielles, ou « systèmes dynamiques différentiables ». Mais n peut aussi désigner une variable d’espace.
Il y a plusieurs types de suites récurrentes :
1) Les suites récurrentes simples un+1 = f(un) sont des systèmes dynamiques autonomes : la loi de détermination de un+1 à partir de un est déterministe et invariante dans le temps.
2) Les suites récurrentes simples un+1 = f(n, un) sont des systèmes dynamiques non autonomes : la loi de passage de un à un+1 est déterministe mais évolue dans le temps.
Les dynamiques autonomes un+1 = f(un) peuvent apparaître comme des cas limites de dynamiques non autonomes, lorsque la loi d’évolution s’est stabilisée dans le temps.
3) Les récurrences doubles un+2 = f(un+1, un) sont des systèmes dynamiques autonomes à mémoire plus longue. Mais elles se ramènent aussitôt à des récurrences simples sur les couples, car :
(un+2, un+1) = F(un+1, un) , avec F(x, y) = (f(x, y), y).
4) Les suites récurrentes doubles un+2 = f(n, un+1, un) non autonomes.
5) Enfin, il y a des suites récurrentes un+1 = f(n, un, un−1, …, u0) à mémoire longue, etc.
Les suites récurrentes sont l’analogue discret des systèmes différentiels : par exemple, la récurrence un+1 = f(un) s’écrit un+1− un = f(un) − un , ou encore ∆un = g(un), où g(x) = f(x) − x.
Elle est à rapprocher de l’équation différentielle y’(t) = f(t) − t. Cette analogie aide parfois à deviner le comportement asymptotique de la suite (un).
Mais cette analogie peut être poussée plus loin : de même que les équations différentielles combinent méthodes exactes (équations s’intégrant élémentairement) et qualitatives (linéarisation à l’équilibre, fonctions de Liapounov, techniques de perturbation, etc.), de même les suites récurrentes combinent méthodes exactes (suites se calculant élémentairement) et qualitatives (linéarisation à l’équilibre, fonctions de Liapounov discrètes, techniques de perturbation, etc.). De sorte qu’il y aurait intérêt à exposer les deux chapitres parallèlement.
Enfin, lorsque la loi de passage de un à un+1 n’est plus déterministe, mais aléatoire, on obtient les suites un+1 = f(un) + ε, où ε est une variable aléatoire, gaussienne ou autre. C’est le point de départ des processus stochastiques : chaînes de Markov, etc. Mais cela sort du champ de cette étude.
1. Systèmes dynamiques topologiques.
1.1. Problèmes et concepts.
Soit (E, d) un espace métrique. Nous dirons qu’une suite (xn) de points de E s’échappe à l’infini s’il existe un point a tel que d(xn, a) → +∞. Cette propriété, indépendante du point a choisi, sera notée par abus xn→∞∞∞∞ . Elle suppose la distance d non bornée.
Soit f : E → E une fonction continue. On appelle système dynamique topologique l’action sur E de f et de ses itérées. On notera S = (E, f) un tel système.
Etant donnée une condition initiale u0 ∈ E, formons la suite un+1 = f(un) des itérés de u0 par f : on a donc un = f n(u0). Plusieurs questions se posent :
• La suite (un) est-elle bornée ? Sinon, tend-elle vers l’infini ? Si oui, converge-t-elle dans E ? On sait qu’alors sa limite est un point fixe de f.
• Si (un) ne converge pas, est-elle périodique ? A-t-elle un « cycle limite » ? un nombre fini, une infinité dénombrable ou non dénombrable de valeurs d’adhérence ?
• Peut-on inventorier les comportements de la suite (un) en fonction de la condition initiale u0? On obtiendrait alors une cartographie de l’espace métrique E.
Définitions : 1) On appelle ensemble de Julia plein de f l’ensemble K = { x ∈ E ; fn(x) est bornée}, et ensemble de Julia de f la frontière de K dans E : J = Fr K.
2) Pour chaque point fixe a de f, le bassin d’attraction de a est l’ensemble BBBB(a) = { x ∈ E ; fn(x)
→ a }, et le bassin d’attraction de l’infini est l’ensemble : BBBB(∞∞∞∞) = { x ∈ E ; f n(x) → ∞∞∞ }. ∞ Cette notion s’étend aux cycles-limites : appelons 2-cycle de f tout couple (a, b) de points distincts tels que b = f(a) et a = f(b), et bassin d’attraction d’un tel cycle les x ∈ E tels que f2k(x) → a et f2k+1(x) → b, ou l’inverse ; idem pour les cycles de longueur 3, etc.
L’ensemble de Julia doit être considéré comme un ensemble-limite, où le comportement de la suite (fn(x)) est imprévisible, « chaotique » : au voisinage de tout point de J, il existe des x dont la suite des itérés est bornée, resp. non bornée.
Exemple 1 : Dans C, considérons f(z) = z2.
Il est clair que fn(z) = z2^n, de sorte que : K = { z ; |z| ≤ 1 }, et J = { z ; |z| = 1 }.
Le comportement des itérés de z par f est limpide si |z| < 1 et si |z| > 1, bien plus compliqué si |z| = 1, car si z = exp(i.θ), un = exp(2n.iθ) : c’est la dynamique du doublement de l’angle, qui sera évoquée plus tard (§ 1.3.).
Exemple 2 : Problème de Cayley (1879).
Dans C, considérons la fonction : f(z) =
3 2z +
3 2
1
z = z − 3 ² 1
3
z z −
.
Le système dynamique zn+1 = f(zn) n’est autre que la méthode de la tangente de Newton étendue au champ complexe en vue de résoudre l’équation z3 – 1 = 0. f a trois points fixes : 1, j et j2.
Soient BBBB(1), BBBB(j) et BBBB(j2) les bassins d’attraction respectifs du système dynamique associé à f.
On a BBBB(j) = j.BBBB(1) et BBBB(j2) = j2.BBBB(1) en vertu de f(j.z) = j.f(z).
Chacun des ensembles BBBB(1), BBBB(j) et BBBB(j2) est un voisinage de 1, j, et j2 resp.
Une expérimentation graphique montre que ces ensembles ne forment pas une partition de C, mais qu’ils s’imbriquent les uns dans les autres, avec des frontières de formes fractales. BBBB(1) est rouge ; BBB
B(j) vert, et BBBB(j2) violet.
Exercice 1 : Propriétés générales des ensembles de Julia et des bassins d’attraction. Montrer que : 1) K est un FFFFσσσσ tel que f(K) = K ∩ f(E) et f−1(K) = K ;
2)BBBB(∞∞∞∞) est un FFFFσσσσδδδδ tel que f(BBBB(∞∞∞∞)) = BBBB(∞∞∞) ∩ f(E) et f∞ −1(BBBB(∞)) = BBBB(∞) ;
3) Pour tout point fixe a de f,BBBB(a) est un FFFFσσσσδδδδ tel que f(BBBB(a)) = BBBB(a) ∩ f(E) et f−1(BBBB(a)) = BBBB(a).
Exercice 2 : Soit a un entier naturel impair, b un entier > 0. On considère la suite (un) définie par u0 = b , un+1 =
2 un si u
n est pair , un+1 = un + a sinon.
1) Démontrer qu’on peut trouver un entier n tel que un≤ a.
2) Démontrer que (un) est périodique à partir d’un certain rang. (Concours général 1996, extrait) Exercice 3 : Arbre de Calkin-Wilf. Soit (un) la suite définie par u0 = 0 , un+1 =
n
n u
u
E −
+2 ( ) 1
1 .
Montrer que n → un est une bijection de N sur Q+ . Exercice 4 : Suite de Syracuse.
Soit f : N → N définie par f(x) = 3x + 1 si x est impair , f(x) = 2
x si x est pair.
On considère le système dynamique suivant : c ∈ N*, x0 = c, xn+1 = f(xn).
1) Programmer avec Maple les suites correspondant à 1 ≤ c ≤ 50. Que constate-t-on ?
2) Programmer le calcul de l’orbite de c, de sa longueur, de son maximum ; visualiser la ligne polygonale associée. 1
1.2. Points fixes attractifs et répulsifs.
Définition : Les points fixes de f s’appellent aussi points d’équilibre du système dynamique (E, f).
Le point fixe a de f est dit :
−−−− attractif, ou équilibre stable si le bassin d’attraction de a est un voisinage de a, ou encore, s’il existe un voisinage V de a, stable par f, tel que toute suite x0 ∈ V, xn+1 = f(xn), tende vers a.
− répulsif s’il existe un voisinage V de a tel que (∀x ∈ V) d(a, x) ≤ d(a, f(x)).
Remarque : La définition des points attractifs ici retenue est celle que l’on trouve généralement dans les livres de maths. Celle des points répulsifs a été choisie pour sa simplicité, mais n’est pas la seule.
Points fixes attractifs.
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. Une application f : (E, d) → (E, d) est dite contractante si : ∃k ∈ ]0, 1[ ∀(x, y) ∈ E2 d(f(x), f(y)) ≤ k.d(x, y).
Théorème de point fixe (Picard-Banach) : Soit (E, d) un espace métrique complet, f une application k-contractante E → E.
i) f admet un unique point fixe a ;
ii) toute suite récurrente x0 ∈ E , xn+1 = f(xn) converge vers a, de façon que : (∀n) d(xn, a) ≤ d(x0, x1).
k kn
−
1 et d(xn, a) ≤ kn.d(x
0, a).
1 Cet algorithme, dû à Lothar Collatz (1930), est étudié dans J.-M. Ferrard, Maths et Maple (Dunod, 1998), mais la conjecture à laquelle il donne lieu est toujours ouverte.
Si l’on traduit le théorème de point fixe en termes de systèmes dynamiques, on dira que le point fixe a a pour bassin d’attraction E tout entier : c’est un point fixe attractif, ou un point d'équilibre stable, et toutes les suites récurrentes convergent vers a à une vitesse géométrique.
Exercice 5 : Extension aux itérées.
(E, d) est toujours supposé complet. Si l’application f : (E, d) → (E, d) est telle qu’une itérée p-ème fp = f o f o ... o f ( p fois ) de f soit contractante, pour un p ≥ 1, alors f a encore un unique point fixe a, et toute suite récurrente x0 ∈ E , xn+1 = f(xn) tend vers a.
Exercice 6 : Point fixe et compacité.
Soit (E, d) un espace métrique compact, f une application : E → E vérifiant :
∀(x, y) ∈ E2 x ≠ y ⇒ d(f(x), f(y)) < d(x, y) .
Montrer que f admet un unique point fixe a, et que toute suite récurrente x0 ∈ E, xn+1 = f(xn) converge vers a. Comparer ce théorème de point fixe à celui de Picard-Banach, tant du point de vue des hypothèses que de celui de la conclusion. [Ind. : considérer la fonction ϕ(x) = d(x, f(x)) ].
Points fixes répulsifs.
Si a est répulsif, son bassin d’attraction est exactement formé de ses ascendants.
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. Une application f : (E, d) → (E, d) est dite dilatante si :
∃k > 1 ∀(x, y) ∈ E2 d(f(x), f(y)) ≥ k.d(x, y).
Proposition : Une application dilatante a au plus un point fixe a ; ce point fixe est alors répulsif, et vérifie BBBB(a) = {a} et BBBB(∞∞∞∞) = E − {a}.
Critères de classification des points fixes.
En pratique, certains points fixes de f peuvent être attractifs, et d’autres répulsifs. Ainsi, f(x) = [x] si F(x) ≤
3
1 , f(x) = 3x − 2[x] − 1 si 3
1≤ F(x) ≤ 3
2 , f(x) = [x] + 1 si 3
2≤ F(x) , où F(x) = x – [x].
Voici un critère différentiel très commode pour les distinguer :
Proposition : Soit I un intervalle de R, f : I → I une fonction de classe C1. • Un point fixe a tel que | f’(a) | < 1 est attractif ;
• Un point fixe a tel que | f’(a) | > 1 est répulsif.
Proposition : Soit U un ouvert de Rn, f : U → U une fonction de classe C1. • Un point fixe a tel que ||| f’(a) ||| < 1 est attractif ;
• Un point fixe a tel que ||| f’(a) ||| > 1 est répulsif.
Ces deux propositions découlent du théorème des accroissements finis.
Lorsque | f’(a) | = 1, ou ||| f’(a) ||| = 1 , il faut examiner la situation au cas par cas.
Exercice 7 : Classifier les points fixes de f(x) = x − 2
1sin x. Quels sont leurs bassins d’attraction ? Exercice 8 : Soit la suite récurrente zn+1 = 1 +
zn
1 dans C. Classifier ses points d’équilibre.
1.3. Décalage de Bernoulli.
« Accède à l’allègre ardeur du décalage, à la belle erreur du réel ! » Georges Perec, A Claude Berge (Beaux présents) Les travaux de George Birkhoff et Stephen Smale ont montré que les mouvements de la mécanique céleste se ramènent dans certains régions, suivant une « analogie » très précise, à des décalages de Bernoulli.
Problème
Soient Σ l’ensemble des suites infinies x = (x1, x2, x3, …) à éléments xi ∈ {0, 1}, et M =
U { }
1
1 , 0
≥ n
nl’ensemble des suites finies, ou « mots », à éléments ∈ {0, 1}.
Si x ∈Σ et n ≥ 1, on note x|n = (x1, x2,…, xn). On dit le mot m = (m1, m2,…, mn) figure dans la suite x ∈Σ s’il existe k ≥ 0 tel que xk+i = mi pour 1 ≤ i ≤ n.
1. L’espace métrique ΣΣΣΣ.
a) Montrer que d(x, y) =
∑
+∞=
−
1 2
n n
n
n y
x est une distance sur Σ. Quel est le diamètre de Σ ?
b) Montrer que chacune des fonctions pn : x → xn est continue Σ → {0, 1}.
c) Pour x ∈ Σ, m ≥ 1, on note Vm(x) = { y ; y|m = x|m }. Montrer que (Vm(x))m≥1 est un système fondamental de voisinages fermés de x.
d) Soit xk = (xnk)n≥1 une suite d’éléments de Σ (k ≥ 0). Donner une cns pour que xk→ y ∈Σ. e) Montrer que Σ est non dénombrable, compact et sans point isolé.
2. Le décalage de Bernoulli.
Il s’agit de l’application σ : Σ→Σ définie par σ : x = (xn) →σ(x) = (xn+1).
a) Montrer que σ est surjective, continue, non injective, et que, pour tout x, l’ensemble A(x) = { y ∈ Σ ; ∃n σn(y) = x } des « ascendants » de x est dénombrable et dense dans Σ.
b) Quels sont les points fixes a et b de σ ? Pour chacun d’eux, déterminer son bassin d’attraction B
B B
B(i) = { x ∈Σ ; σn(x) → i } (i = a, b) . Montrer qu’il est dense dans Σ.
c) Quels sont les x∈Σ tels que (σn(x)) soit périodique ? Montrer qu’ils forment une partie dense.
d) On considère la suite t = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, …) définie par tn = 1 si n = 2
) 1 (p+
p , tn = 0 sinon. Montrer que la suite (σn(t)) a pour valeurs d’adhérence la suite nulle et les suites canoniques ep = (0, …, 0, 1, 0, …) . En déduire que l’ensemble des x∈Σ tels que (σn(x)) ait une infinité dénombrable de valeurs d’adhérence est dense.
3. Les suites-univers.
L’élément x ∈Σ est appelé « suite-univers » si tout mot m ∈ M figure dans x. Soit UU UUleur ensemble.
a) Montrer que la « suite de Shakespeare » :
s = ( 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, … ) obtenue en concaténant successivement tous les mots m ∈ M rangés par longueurs croissantes et dans l’ordre lexicographique, est une suite-univers, que son orbite O(s) = { σn(s) ; n ∈ N } est dense et que tout x ∈Σ est valeur d’adhérence de la suite (σn(s)).
b) Montrer que ∀x ∈Σ x ∈UUUU ⇔σ(x) ∈UU UU. En déduire que UUUU est dense.
c) Soit x un élément de Σ. Montrer l’équivalence des propriétés :
i) x est une suite-univers ii) tout y∈Σ est valeur d’adhérence de (σn(s)) iii) l’orbite O(x) est dense.
4. Conclusion.
En quel sens peut-on dire que le système dynamique (Σ, σ) défini par l’action de σ et de ses itérés sur Σ est à la fois « déterministe » et « chaotique » ?
L’importance du décalage de Bernoulli provient de sa simplicité, et de ce que plusieurs systèmes dynamiques réels lui sont « conjugués ».
Définition : Les systèmes dynamiques S = (E, f) et S’ = (F, g) sont dits topologiquement conjugués s’il existe un homéomorphisme θ : E → F tel que θ o f = g o θ ; θ est appelé conjugaison topologique. Si θ est une surjection continue, les systèmes sont dits semi-conjugués.
Il est clair que deux systèmes dynamiques topologiquement conjugués ont les mêmes propriétés.
Exercice 9 : Introduction au fer à cheval de Smale.
Soit I = R,on considère la fonction f(x) = 3x si x ≤ 2
1, 3(1 − x) si x ≥ 2 1.
1) Déterminer le bassin d’attraction de −∞. Reconnaître les ensembles de Julia K et J.
2) Quels sont les points fixes de f ? Natures et bassins d’attraction.
3) Montrer que le système dynamique (K, f) est conjugué du décalage de Bernoulli (Σ, σ).
Conséquences ?
Exercice 10 : Doublement de l’angle.
Soit U = { z ∈ C ; |z| = 1 }, q : z ∈ U → z2 ∈ U.
1) Quel est le point fixe de q ? Quel est son bassin d’attraction ?
2) On pose u0 = z = exp(2iπθ), où θ ∈ [0, 1[, et l’on écrit θ = 0, d1d2d3… en base 2. Reconnaître la suite (un) des itérés de z par q. Montrer que le système dynamique (U, q) est semi-conjugué du décalage de Bernoulli (Σ, σ). Conséquences ?
Exercice 11 : La tente.
Soit I = [0, 1], t(x) = 2x si 0 ≤ x ≤ ½ , 2(1 − x) si ½ ≤ x ≤ 1.
1) Quels sont les points fixes de t ? Montrer que leurs bassins d’attraction sont denses.
2) Montrer que le système dynamique (I, t) est semi-conjugué du décalage de Bernoulli (Σ, σ).
Conséquences ?
1.4. Vers une définition mathématique du chaos ?
« Le chaos est l’époux lascif de l’infini. » Victor Hugo
Peut-on définir mathématiquement un système dynamique chaotique ? C’est tout à fait possible même en restant dans une perspective déterministe. La difficulté des prévisions météorologiques vient de ce que, parfois, un léger écart sur les conditions initiales conduit à des situations très différentes. C’est ce qu’on appelle parfois l’ « effet papillon » : un battement d’aile de papillon peut provoquer un cyclone à l’autre bout de la terre.
Exercice 12 : Transitivité topologique.
Soient (E, d) un espace métrique, f : E → E une application continue.
1) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :
a) Quels que soient les ouverts non vides U et V, il existe x ∈ U et n ∈ N tels que fn(x) ∈ V ;
b) Quel que soit l’ouvert non vide U de E,
U
n≥0fn(U) est dense dans E ; c) Quel que soit l’ouvert non vide V de E,U
n≥0fn<−1>(V) est dense dans E ; d) ∀x, y ∈ E ∀α, β > 0 ∃z ∈ E ∃n ∈ N d(x, z) ≤α et d(y, fn(z)) ≤β. Si ces conditions sont réunies, on dit que f est topologiquement transitive.2) Montrer qu’il en est ainsi si f vérifie l’une des conditions suivantes : a) Pour tout x, l’ensemble des ascendants de x est dense dans E ;
b) L’ensemble des points de E dont l’orbite est dense, est dense dans E ; c) Tout ouvert non vide est infini et il existe un point dont l’orbite est dense.
Donner des exemples de fonctions topologiquement transitives.
Exercice 13 : Sensibilité aux conditions initiales.
Soit (E, d) un espace métrique. L’application continue f : E → E est dite sensible aux conditions initiales si : ∃δ > 0 ∀x ∈ E ∀ε > 0 ∃y ∈ E ∃n ∈ N d(x, y) < ε et d(fn(x), fn(y)) > δ.
Interpréter cette notion. Le décalage de Bernoulli est-il sensible aux conditions initiales ?
Dans son Introduction to Chaotic Dynamical Systems, R. Devaney se risque à formuler une définition mathématique précise du chaos :
Définition : Soient (E, d) un espace métrique, f : E → E une application continue. Le système dynamique (E, f) est dit chaotique si :
(CH 1) Les points périodiques de f sont denses ; (CH 2) f est topologiquement transitive ; (CH 3) f est sensible aux conditions initiales.
Cette définition n’est pas la seule possible : peut-on définir le Chaos ? Définir les choses, n’est-ce pas tuer la poule aux œufs d’or ? Mieux vaut peut-être écouter l’extraordinaire Cahos qui débute les Elémens du compositeur Jean-Féry Rebel (1738), ou lire Denis Diderot :
« Il n'existe dans la nature ni surface sans profondeur, ni ligne sans largeur, ni point sans dimension, ni aucun corps qui ait cette régularité hypothétique du géomètre. Dès que la question qu'on lui propose le fait sortir de la rigueur de ses suppositions, dès qu'il est forcé de faire entrer dans la solution d'un problème l'évaluation de quelques causes ou qualités physiques, il ne sait plus ce qu'il fait : c'est un homme qui met ses rêves en équations, et qui aboutit à des résultats que l'expérience ne manque presque jamais de détruire. Si le calcul s'applique si parfaitement à l'astro- nomie, c'est que la distance immense à laquelle nous sommes placés des corps célestes réduit leurs orbes à des lignes presque géométriques ; mais prenez le géomètre au toupet, et approchez-le de la lune d’une cinquantaine de demi- diamètres terrestres ; alors, effrayé des balancements énormes et des terribles aberrations du globe lunaire, il trouvera qu'il y a autant de folie à lui proposer de tracer la marche de notre satellite dans le ciel que d'indiquer celle d'un vaisseau sur nos mers, lorsqu'elles sont agitées par la tempête. » (Sur Clairaut, Œuvres complètes, t.V, p.526) Hiroshige, Les Tourbillons d’Awa
2. Systèmes dynamiques linéaires.
Pourquoi débuter l’étude des systèmes dynamiques par les récurrences linéaires ? Parce qu’elles sont les plus simples, mais aussi parce que, lorsqu’on étudie un système non linéaire au voisinage d’un point d’équilibre a, on a tout lieu de penser qu’il se comporte comme le système linéaire tangent : Si un+1 = f(un) et a = f(a), on peut écrire au voisinage de a :
un+1 − a = f(un) − f(a) ≈ f’(a).( un − a ) ,
f’(a) étant la dérivée ou la matrice jacobienne de f en a. Il est alors naturel de poser Xn = un − a et d’étudier la dynamique Xn+1 = f’(a).Xn . Il existe des théorèmes de linéarisation en bonne et due forme, difficiles et hors programme, mais dont l’heuristique sous-jacente est tout à fait naturelle. Les mêmes idées président à l’étude qualitative des systèmes différentiels : que l’on songe à la linéarisation du pendule simple au voisinage de l’équilibre.
2.1. Systèmes autonomes.
Les dynamiques linéaires autonomes sont de la forme Xk+1 = A.Xk ( k ∈ N ), dans Rn ou Cn. On a aussitôt Xk = Ak.X0. La réduction de A permet de calculer ses puissances successives, donc les Xk. Au fond, si A et B sont semblables, les dynamiques associées sont linéairement conjuguées.
De plus, lorsque A est inversible, k peut décrire Z, et l’on peut alors remonter les temps.
− Si A est diagonalisable, P−1.A.P = D = diag(λ1, ... , λn). Alors Ak = P.Dk.P−1. Dans le nouveau repère, Dk = diag((λ1)k, ..., (λn)k) , suite facile à étudier.
− Si A est trigonalisable, P−1.A.P = T où T est trigonale supérieure, mais si T est seulement trigonale supérieure, ses puissances ne sont pas faciles à calculer, car T = D + N, somme d'une matrice diagonale et d’une matrice nilpotente qui ne commutent pas.
Pour pouvoir calculer Tk grâce à la formule du binôme, il faut recourir à la forme trigonale supérieure réduite, ou, ce qui revient au même, à la décomposition additive de A. Ou, mieux encore, à la décomposition de Jordan de A.
Si T = diag(J1 , ... , Jr), où les Ji sont des blocs de Jordan, Tk = diag((J1)k , ... , (Jr)k) ; or les puissances d’un bloc de Jordan sont faciles à calculer.
Dans les exercices suivants, on se place dans Mn(C) muni de sa topologie usuelle, définie par exemple par la norme A → ||A|| = sup1≤i≤n
∑
= n
j
aij 1
subordonnée à la norme ||X||∞ = max |xi| . Exercice 1 : Algorithme de Philolaos et Théon.
On se propose de montrer l’irrationalité de 2 par une méthode qui nous a été transmise par Théon de Smyrne (2ème siècle ap. J.-C.). Cette méthode, qui remonte peut-être au pythagoricien Philolaos de Crotone, était en tout cas connue de Platon et Euclide.
On considère les suites récurrentes : x1 = y1 = 1 , xn+1 = xn + 2.yn , yn+1 = xn + yn. Les xn sont appelés nombres diagonaux, les yn nombres latéraux.
1) Calculer ces deux suites ; quelle est la limite de la suite des fractions (
n n
yx ) ? 2) Calculer xn2− 2.yn2 et montrer que 2 est irrationnel.
3) Montrer que les fractions Fn =
n n
y
x ne sont autres que les réduites du développement en fraction continue de 2.2
4) On revient au cas général x0 et y0 quelconques. Étudier et discuter la convergence et la limite des deux suites (xn) et (yn) ; une figure est souhaitée.
Exercice 2 : Itérations de Thom-Anosov.
On considère les suites récurrentes : xn+1 = 2.xn + yn , yn+1 = xn + yn. 1) Calculer ces deux suites lorsque x0 = 1, y0 = 0 ; limite de la suite (
n n
yx ) ? Irrationalité de 5. 2) Calculer ces deux suites en fonction de x0 et y0. Étudier et discuter la convergence et la limite des deux suites (xn) et (yn) ; une figure est souhaitée.
Remarque : Ce système dynamique « hyperbolique » considéré, non dans R2, mais sur le tore R2/Z2, fut indiqué par Thom pour illustrer la théorie d’Anosov, est un modèle du chaos. Ces deux exercices voisins traversent 26 siècles de mathématiques, et en illustrent à merveille l’unité profonde.
Exercice 3 : Etudier le système dynamique xn+1 = 10
3 x
n − 10
4 y
n , yn+1 = 10
4 x
n + 10
3 y
n dans R2. Quel est le point d’équilibre ? Son bassin d’attraction ? Formes du flot ?
Exercice 4 : Systèmes dynamiques linéaires dans le plan et l’espace.
Soit x
n+1 = a x
n + b y
n , y
n+1 = c x
n + d y
n un système dynamique dans R2. En étudiant à similitude près la matrice A =
d c
b
a , étudier et discuter les différentes formes géométriques de ce système dynamique. Distinguer notamment les cas où (0, 0) est attractif, répulsif, ou "col". Même question pour les systèmes dynamiques linéaires dans R3.
Problème 5 : Étude globale de la suite (Ak).
1) Montrer que si la suite (Ak) converge, sa limite P est un projecteur vérifiant : P2 = P , P.A = A.P = P , Im P = Ker( A − I ) (*) Montrer qu’alors la suite Mk =
k
1( I + A + ... + Ak−1 ) converge vers P, la réciproque étant fausse.
2) Montrer que si la suite Mk = k
1( I + A + ... + Ak−1 ) converge, sa limite P vérifie (*).
Montrer que si P est une valeur d’adhérence de la suite (Mk), P vérifie (*).
3) On note ρ(A) = max { |λ| ; λ∈ Sp A } le rayon spectral de A.
− Si ρ(A) < 1 , montrer que lim Ak = 0 ;
− Si ρ(A) > 1 , montrer que (Ak) est non bornée ; − Si ρ(A) = 1 , montrer l’équivalence des propriétés :
a) (Ak) converge
b) 1 est la seule valeur propre de module 1 et l’espace propre E1 et l’espace caractéristique F1 associés coïncident.
c) 1 est racine simple du polynôme minimal de A.
2 Elles tendent vers √2 en spirale, et moins vite, que les itérations de Héron d’Alexandrie données par u0 = 1, un+1 = (un + 2/un)/2, qui, elles, tendent en décroissant vers √2, et étaient connues des babyloniens (cf. Maurice Caveing, L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à Euclide).
Retrouver et préciser le résultat de 1). Récapituler les résultats obtenus.
4) On dit que A est ergodique si la suite (Mk) converge. Montrer l’équivalence des propriétés : a) A est ergodique ;
b) la suite (Ak) est bornée ;
c) ρ(A) < 1 ou ρ(A) = 1 et, pour chaque valeur propre de module 1 de A, l’espace propre et l’espace caractéristique coïncident.
Retrouver et préciser le résultat de 2).
Problème 6 : Endomorphismes contractants, dilatants, hyperboliques.
Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de E.
1. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : a) ∀λ ∈ Sp u |λ| < 1 ;
b) Il existe une norme sur E relativement à laquelle ||| u ||| < 1 ; c) Pour tout x ∈ E, lim
n→∞ un(x) = 0 . L’endomorphisme u est alors dit contractant.
2. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : a) ∀λ∈ Sp u |λ| > 1 ;
b) u est inversible et u−1 est contractant ;
c) Il existe une norme sur E et une constante A > 1 telle que (∀x ∈ E) || u(x) || ≥ A.||x|| ; d) Pour tout x ≠ 0, lim
n→+∞ ||un(x)|| = +∞ . L’endomorphisme u est alors dit dilatant.
3. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : a) ∀λ∈ Sp u |λ| ≠ 1 ;
b) Il existe une décomposition de E en somme directe E = Ec ⊕ Ed de deux sous-espaces u- stables tels que uc = u|
Ec soit contractant, et ud = u|
Ed soit dilatant.
L’endomorphisme u est alors dit hyperbolique.
Déterminer alors { x ∈ E ; limn→∞ un(x) = 0 } et { x ∈ E ; limn→∞ || un(x) || = +∞ }.
On les appelle resp. variétés stable et instable de u.
4. Montrer que l’ensemble des endomorphismes contractants, resp. dilatants, est un ouvert de LLLL(E), et que l’ensemble des endomorphismes hyperboliques est un ouvert dense de LLLL(E).
Problème 7 : Rayon spectral.
1) Soit E un C-ev de dim n, x → ||x|| une norme sur E, u → |||u||| la norme subordonnée sur LLLL(E).
On appelle rayon spectral de u : ρ(u) = max { |λ| ; λ∈ Sp u }.
i) Montrer que ρ(u) ≤ ||| u ||| et plus généralement ρ(u) ≤ |||uk|||1/k (∀k ≥ 1).
ii) Montrer que ρ(u) = lim
k→+∞||| uk |||1/k = inf
k≥1 ||| uk |||1/k .
2) Montrer que ρ(u) est la borne inférieure des |||u||| calculées relativement à toutes les normes sur E, et qu’on peut même se limiter aux seules normes hermitiennes sur E.
[ Indication : soit x → ( xx ) une norme hermitienne sur E, a > ρ(u) ; montrer que : (∃m ≥ 1) (∀x) (um(x) | um(x)) ≤ a2m(x|x) ; définir < x | y > =
∑
−= 1
0 m
i
a2(m−i−1) (ui(x) | ui(y)) .] 3) Soit f(z) =
∑
k≥0 a
k zk une série entière de rayon de convergence R > 0.
Montrer qu’on peut définir f(u) pour ρ(u) < R.
2.2. Systèmes non autonomes.
Les dynamiques linéaires non autonomes sont de la forme Xk+1 = Ak.Xk ( k ∈ N ), dans Rn ou Cn. On a aussitôt Xk = Ak−1.Ak−2… A0.X0 ( k ∈ N ).
Pour n = 1, on est ramenés à la théorie des produits infinis. Lorsque les matrices Ak sont simultanément diagonalisables, idem. Dans d’autres cas, il faut innover.
Problème
1) Soit (ak)k≥1 une suite à termes ≥ 0. Montrer l’équivalence des propriétés : i) La série
∑
+∞=1 k
ak converge ii) La suite Pn =
∏
kn=1(1+ak)a une limite finie.2) Soient (a, b) ∈ R2, (u1, v1) ∈ R2. On considère les suites (un)n≥1 et (vn)n≥1 définies par : un+1 = un +
) 1 (
.+ n n
v
a n et vn+1 = vn +
) 1 (
.+ n n
u b n .
a) On note tn= |un| + |vn| ; majorer tn+1 à l’aide de tn et de c = max( |a| , |b| ).
b) En déduire que (un) et (vn) sont bornées, puis convergentes. On note u et v leurs limites.
c) Développement asymptotique à deux termes des suites (un) et (vn) ?
Problème
Soit a = (an)n∈N une suite réelle telle que la série
∑
≥1 n
an soit absolument convergente.
On note Ea l’ensemble des suites réelles u = (un)n∈N telles que (∀n ≥ 1) un+1 = un + an−1.un−1 . 1) Structure et dimension de Ea ?
2) a) Montrer que toute suite u = (un)n∈N ∈ Eaest bornée.
[Ind. : montrer que Mn = sup( |un| , |un+1| ) vérifie Mn≤ ( 1 + |an−1| ).Mn−1.]
b) Montrer que toute suite u = (un)n∈N∈ Eaest convergente.
3) On suppose la suite a = (an)n∈N à termes ≥ 0. Soit L = limn un . Montrer que : un = L − L.Rn−2 + o(Rn−2) , où Rn =
∑
+
≥n 1 k
ak est le reste de la série.
4) Applications :
a) Soit 0 < r < 1. Étudier les suites u = (un)n∈N telles que (∀n ≥ 1) un+1 = un + rn−1 un−1 . b) Étudier les suites u = (un)n∈N telles que : (∀n ≥ 1) un+1 = un +
) 1 .(
+1
−
n n
un . Exercice : Fonctions continues périodiques.
1) Que dire d’une fonction f : R → R continue et admettant pour périodes 1 et 2 ? 2) Que dire d’une fonction f : R2→ R continue et telle que :
∀(x, y) f(x, y) = f(x + 1, y) = f(x, y + 1) = f(x + y, y) ? 3) Que dire d’une fonction f : R2 → R continue et telle que :
∀(x, y) f(x, y) = f(x + 1, y) = f(x, y + 1) = f(2x + y, x + y) ?
3. Suites récurrentes autonomes un+1 = f(un).
3.1. Méthodes de monotonie.
Proposition 1 : Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction croissante telle que f(I) ⊂ I. Pour tout u0 ∈I, la suite récurrente un+1 = f(un) est monotone, croissante si u0 ≤ u1, décroissante si u0 ≥ u1. On dit qu’on a des itérations « en escaliers ».
Preuve par récurrence. u0 ≤ u1 implique un ≤ un+1, u1 ≤ u0 implique un+1 ≤ un pour tout n.
En pratique, une fois déterminé un intervalle de stabilité I dans lequel f est croissante, on forme la fonction g(x) = f(x) − x. Le signe de g(u0) gouverne le type de monotonie de (un).
Les figures ci-dessous indiquent les situations génériques, c’est-à-dire généralement rencontrées :
convergence en croissant divergence en croissant convergence en décroissant divergence en décroissant
escaliers montants escaliers descendants
Proposition 2 : Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction décroissante telle que f(I) ⊂ I.
Pour tout u0 ∈ I, la suite récurrente un+1 = f(un) vérifie :
Si u0 ≥ u2 , la suite (u2n) est décroissante, la suite (u2n+1) est croissante ; Si u0≤ u2 , la suite (u2n) est croissante, la suite (u2n+1) est décroissante ; On dit qu’on a des itérations « en spirale » ou « en colimaçon ».
Preuve : f o f est croissante. u0≤ u2 implique u3≤ u1, et par récurrence u2n≤ u2n+2 et u2n+3≤ u2n+1 pour tout n. Situation renversée si u2≤ u0.
En pratique, une fois déterminé un intervalle de stabilité I dans lequel f est décroissante, on forme la fonction h(x) = (f o f)(x) − x. Le signe de h(u0) gouverne le type de monotonie des suites (u2n) et (u2n+1), mais attention, les deux suites, peuvent, soit être adjacentes et tendre vers un point fixe de f, soit se tourner le dos, et tendre vers deux points fixes distincts a et b de f o f, tels que a = f(b) et b = f(a). Le premier cas correspond à un colimaçon convergeant (i.e.{a, b} est un cycle attractif), le second à un colimaçon divergeant vers un 2-cycle limite (i.e.{a, b} est un cycle répulsif).
colimaçon convergent involution colimaçon divergent Ces méthodes de monotonie peuvent se combiner avec des arguments de point fixe.
Exercice 1 : Etudier les suites : un+1 = 2 1( u
n
2 + 1 ) , un+1 = un2 + 16
3 , u
n+1 = ( 1 − un )2. Exercice 2 : Trouver les fonctions f continues R → R, telles que ∃a ∈ ]0,
4
1] (∀x) f(x) = f(x2 + a).
Exercice 3 : Etudier les suites : un+1 = cos un , u0 ∈
[
0, 2π ]
; un+1 = 2 12 un
+ , u0 ∈ R ; un+1 = 22
1 1
n n
u +u
− , u
0 ∈ [0, 1] ; un+1 = exp(1 − un) , u0 ∈ R ; un+1 = sin(2un) , u0 ∈ R ; un+1 = 33un+1− 1 , u0 = 1 .
Exercice 4 : Etudier la convergence d’une suite (un) vérifiant u0 > 0 et (∀n) 0 < un+1 ≤ 2 − un
1 . Exercice 5 : Radicaux superposés.
1) Soit (un) donnée par u0 ∈ [−2, 2] , un+1 = 2+un . a) Convergence et limite de cette suite ?
b) Retrouver ces résultats en posant u0 = 2.cos θ , θ∈ [0, π]. Cas où θ = π/2 ? 2) Soit (un) donnée par u0 ∈ [−2, 2] , un+1 = 2−un .
a) Montrer que (un) est définie. Convergence et limite.
b) Retrouver ces résultats en posant u0 = 2.cos θ , θ∈ [0, π].
3) Mêmes questions pour la suite (un) donnée par u0 ∈ [−2, 2] , un+1 = 2− 2+un . Exercice 6 : Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application 1-lipschitzienne.
Montrer que la suite x0 ∈ [0, 1], xn+1 = 2
) ( n n fx x +
converge vers un point fixe de f.
3.2. Bifurcations et transitions vers le chaos.
Lorsqu’un système dynamique, discret ou différentiel, dépend d’un paramètre, son comportement se modifie lorsque le paramètre franchit certaines valeurs-seuils : on parle alors de bifurcations.
Que l’on songe à un solide situé à l’extrémité d’un ressort et glissant sur une droite horizontale : lorsqu’il n’y a pas de frottement, il décrit un mouvement périodique ; lorsque la force de frottement est faible, il décrit un mouvement périodique amorti ; lorsque le frottement dépasse une valeur critique, le solide tend vers le point d’équilibre en un mouvement apériodique. Et l’on observe des situations de non retour dans bien d’autres domaines…
Exercice 7 : Bifurcation en fourche.
Etudier les systèmes dynamiques xn+1 = k.Arctan xn (k > 0) en distinguant les cas 0 < k < 1, k = 1 et k > 1. Le point fixe attractif donne naissance à trois points fixes, un point répulsif compris entre deux points attractifs.
Exercice 8 : Bifurcation en selle-nœud .
Etudier les systèmes dynamiques xn+1 = exp(xn + c) en distinguant les cas c < −1, c = −1 et c > −1.
Les deux points fixes, attractif et répulsif, se rapprochent, puis s’évanouissent simultanément.
Problème 9 : Système logistique et constante de Feigenbaum.
Soit I = [0, 1], et, pour tout λ∈ R, soit fλ : x →λ.x.(1 − x).
1) Trouver une cns portant sur λ pour que fλ(I) ⊂ I.
Dans les questions 2 à 6, on supposera cette condition remplie, et on se propose d’étudier les suites définies par u0 ∈ I, un+1 = λ.un.(1 − un).
On aura intérêt à faire des figures pour illustrer les démonstrations.
2) Dans cette question, on suppose 0 < λ ≤ 1.
a) Montrer que (un) converge. Quelles est sa limite ? b) Si 0 < λ < 1, et u0 ∉ {0, 1}, que vaut lim
n n
u
u +1 ? Montrer ∃ C > 0 un ∼ C.λn . c) Si λ = 1 et u0 ∉ {0, 1}, quelle est la limite de la suite
1
1
+
un −un
1 ? Equivalent de un ?
3) On suppose 1 < λ ≤ 2. Quels sont les points fixes de fλ ? Montrer que, quel que soit u0, la suite (un) converge (distinguer trois cas). Comment se modifie le système dynamique lorsque λ franchit la valeur 1 (bifurcation transcritique) ?
4) On suppose 2 < λ ≤ 3. Montrer que si u0 ∉ {0, 1}, (un) finit par converger en spirale vers une limite à déterminer.
5) On suppose 3 < λ≤ 4. Points fixes de fλ ? Montrer que (un) converge ssi elle est stationnaire.
Remarque : On peut démontrer que, lorsque λ varie de 3 à 4, le système dynamique devient de plus en plus compliqué. Pour 3 < λ < 2.( 1+ 6) les deux points fixes de f o f sont stables, et définissent un 2-cycle attractif pour f. Il deviennent instables lorsque λ franchit ce seuil. Alors apparaissent 4 points fixes nouveaux de f4, d’abord stables (d’où un 4-cycle attractif de f), puis instables pour λ >
3,56872…, etc. C’est la « cascade sous-harmonique ».
6) On suppose désormais λ = 4. Soit θ l’unique réel ∈ [0, 1] tel que u0 = sin2
πθ
2 . a) Calculer u1, puis un en fonction de n et de θ.b) Soit A, resp. B, l’ensemble des u0 ∈ I tels que (un) tend vers 0, resp. ¾. Déterminer A et B, et montrer que ce sont deux parties denses de I.
c) Soit θ = 0, d1d2d3… le développement dyadique propre de θ. Calculer un à l’aide des dk. Montrer que, pour tout t, il existe des valeurs de θ telles que (un) soit périodique de période t.
Montrer l’équivalence θ ∈ Q ⇔ (un) est quasi-périodique.
d) Montrer que si θ = 0,1101001000100001… , l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un) est { sin2 k
2
π
; k ∈ N }.e) On note [n] le développement en base 2 de l’entier n : par exemple [11] = 1011. Montrer que si θ = 0,[1]1[1]0[2]1[2]0…0[n]1[n]… , l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un) est I.
Lien avec le décalage de Bernoulli ?
7) On suppose λ > 4.
a) Montrer que l’ensemble des x ∈ I tels que fλ(x) ∈ I est Λ1 =
[
2 1−
r r r
2
²−4 , 2 1+
r r r
2
²−4
]
. b) Montrer que l’ensemble Λn = { x ∈ I ; fλn(x) ∈ I } est réunion de 2n segments disjoints, et la restriction de fλn à chacun de ces segments est une bijection de ce segment sur I.c) Montrer que l’ensemble Λ = ∩Λn est un ensemble de Cantor (compact, ne contenant aucun intervalle de longueur > 0, et sans point isolé).
Remarque : On trouvera des programmes Maple illustrant ce problème dans J.-M. Ferrard, Maths et Maple (Dunod, 1998).
3.3. Comportement asymptotique.
Nous supposons ici f suffisamment régulière pour couvrir tous les cas usuels.
Proposition : Soit I un intervalle de R, f une fonction de classe C1 de I dans I, a un point fixe de f.
Si | f’(a) | < 1, a est attractif. Si | f’(a) | > 1, a est répulsif. Le cas | f’(a) | = 1 est indéterminé.
Dans la suite, nous supposons a attractif et f de classe suffisante, et nous proposons de trouver un équivalent et un développement asymptotique de un− a, au moyen de techniques de sommations de relations de comparaison, dans le cas où 0 < | f’(a) | < 1.
• Soient 0 < k < | f’(a) | < k’ < 1. Par continuité de f’, on a k ≤ |f’(x)| ≤ k’ dans V = I ∩ [a−η, a+η].
Alors x ∈ V ⇒ | f(x) − f(a) | ≤ k’.| x − a | ≤ η , donc V est f-stable.
De plus, si c = u0 ∈ V, la suite un+1 = f(un) vérifiera k.|un − a| ≤ |un+1 − a| = |f(un) − f(a)| ≤ k’.|un − a|, donc kn | c − a | ≤ | un− a | ≤ k’n | c − a |.
• Equivalent de un− a.
On a aussitôt un+1− a ∼ f’(a).( un− a ) (1) . On peut en induire que ∃C ≠ 0 un− a ∼ C f’(a)n (2) ,
mais attention, (2) ne se déduit pas de (1) : la suite ( nf’(a)n) vérifie (1) et pas (2).
Cependant, nous allons montrer qu’il en est bien ainsi lorsque :
f(x) = a + f’(a).( x − a ) + O( |x − a|s ) (s > 1) au V(a).
Cette hypothèse est remplie dès que f est C2 au V(a), ou deux fois dérivable en a.
Soit vn = ln n n a f
a u
) '(
− . Alors vn+1 = ln 1 1 ) '( +
+−
n n
a f
a
u = ln 1
) '(
) '(
.
+
−
n n
a f
a f a
u ( 1 + O( |un − a|s−1 ) )
= ln n
n
a f
a u
) '(
− + O( |un − a|s−1 ) = vn + O(k’n(s−1)).
Par suite,
∑
(vn+1− vn) est absolument convergente, et, si L est sa somme, on a (2) avec C = exp(L).• Développement asymptotique de un− a.
Supposons f de classe C∞. Je dis qu’alors (un) admet un développement asymptotique à tous ordres un = a + c1.bn + c2.b2n + … + cp.bpn + O(b(p+1)n) , où b = f’(a) (1).
Ceci s’établit par récurrence sur p. Reprenons les résultats et notations ci-dessus.
Pour p = 1, on a : un+1− a = f’(a).(un− a) + O(un− a)2 , d’où :
