Le Ch. précédent a présenté des variantes du MRL avec

(1)

Ch 2. Introduction aux Modèles Linéaire Dynamiques

Économétrie des Données de Panel

Ch 2. Modèles Linéaire Dynamiques

Pr. Philippe Polomé, Université Lumière Lyon 2

M1 APE Analyse des Politiques Économiques M1 RISE Gouvernance des Risques Environnementaux

2016 – 2017

(2)

Introduction

I

Le Ch. précédent a présenté des variantes du MRL avec

I des EF ou des EA et

I des régressuersstrictement exogènes

E[eit|ai,x_i1, ...,xiT] =0, t =1, ...,T

I

Ce Ch. : Modèles linéaires en relaxant cette hyp.

I RégresseursendogènesE[eit|xijt]6=0 pour au moins unj

(3)

Plan

I

Tous les estimateurs de ce Ch. sont des applications de la Méthode Généralisée des Moments (GMM)

I

Cas général linéaire

I Rappel en coupe transversale

I Disponibilité des instruments en panel

I

2 applications

I Hausman-Taylor

I Essayer de récupérer des régresseurs invariants dans le temps

I Arrellano-Bond

I p.e.variable dépendante retardée

I endogène en panel puisque autocorrélation

(4)

Ch 2. Introduction aux Modèles Linéaire Dynamiques Théorie GMM en coupes transversales

Outline

Théorie GMM en coupes transversales

GMM linéaire en panel

Application 1. Modèle Hausman–Taylor

Application 2. Modèle dynamique

(5)

Le principe d’analogie

I

Les estimateurs GMM sont basés sur le principe d’analogie

I On suppose une ou pls conditions sur des moments de la population

I On trouve des valeurs des paramètres t.q. ces conditions se réalisent dans l’échantillon

I

Exemple classique de MM : estimation de la moyenne de la population (espérance)

I lorsquey est iid d’espéranceµ

I

Dans la population

E[y µ] =

0 par définition

I ReplacerE[·]pour la population parN ¹PN

i=1(·)pour l’échantillon définit le moment empirique correspondant :

1

N

XN i=1

(yi µ) =

0

I

Résoudre pour

µ

définit l’estimateur MM

ˆ

µ_MM =N ¹PN

i=1yi = ¯y

I L’estimateur MM de l’espérance est la moyenne de l’échantillon

(6)

Régression linéaire en coupe transversale

I

MRL

y =x⁰ +u

I x & sont des vecteursK⇥1

I

Supposons

E[u|x] =

0

I Par la loi des espérances itérées (law of iterated expectations)

I K conditions de moment inconditionnelE[xu] =0

I Donc, quand l’erreur a zéro moyenne conditionnalle / est

“exogène” / orthogonale Eh

x⇣

y x⁰ ⌘i

=0

I

Estimateur MM de = solution de ces mêmes conditions dans l’échantillon

1

N

XN i=1

xi

⇣yi x_i⁰ ⌘

=0

I Ça donne ˆ_MM =⇣P

ix_i⁰x_i⌘ 1P

ix_i⁰y_i

(7)

Estimateur Variable Instrumentale (VI) linéaire

I

Imaginons qu’il y ait endogénéité :

E[u|x]6=

0

I

Si on a des instruments

z

t.q.

E[u|z] =

0 et

I Que ces instruments sontbons

I fortement corrélés avec les régresseurs

I Quedim(z) =dim(x): exactement un instrument par régresseur

I modèle dit “exactement identifié”

I

Alors

ˆ_MM =⇣P

iz_i⁰xi

⌘ 1P

iz_i⁰yi

est consistant

I alors que ˆ_OLS =⇣P

ix_i⁰x_i⌘ 1P

ix_i⁰y_i est inconsistant

I ˆ_MM estl’estimateur Variable Instrumentale VI

I une application du principe MM

(8)

Conditions de Moments supplémentaires

I

des moments/instruments additionels peuvent améliorer l’eﬃciencen

I mais demande une adaptation de MM

I

Considérons que

dim(z)>dim(x)

I plus d’instruments que de régresseurs

I

Quels instruments prend-t-on ? Toute sélection est arbitraire

I soitz₁etz₂deux sous-ensembles dez t.q.

dim(z₁) =dim(z₂) =dim(x)

I Alors, ˆ_MM1=⇣

Z₁⁰X⌘ 1

Z₁⁰Y 6=⇣

Z₂⁰X⌘ 1

Z₂⁰Y = ˆ_MM₂

(9)

Conditions de Moments supplémentaires

I

Si on écrit les conditions de moment

Eh

Z⇣

y X⁰ ⌘i

I Donc : plus de conditions que de paramètres à estimer

I

L’estimateur GMM choisit

ˆ

de sorte à ce que le vecteur de conditions de moments dans l’échantillon

1

N

X

i

zi

⇣yi x_i⁰ ⌘

soit aussi petit que possible en termes quadratiques

I

C’est-à-dire

ˆ_GMM

minimise :

QN( ) =

"

1

N

X

i

zi

⇣yi x_i⁰ ⌘#⁰

W

N

"

1

N

X

i

zi

⇣yi x_i⁰ ⌘#

où W

N

est une matrice de poids dépendant de l’application

(10)

Conditions de Moments supplémentaires

I

Comment choisir W

N

?

I Soitdim(z) =r;WN estr⇥r , sdp et ne dépend pas de

I Essentiellement,WN est un choix de pondération des instruments

I Pour retrouverkinstruments pondérés

I Tout choix deWN définit un estimateur consistant

I mais avec diﬀérentes variances (quandr>k)

I GMM spécifie le choixoptimalde la matrice de poidsWN I selon chaque cas particulier (autocorrélation,

hétérocédasticité)

I t.q. ˆ_GMM a la pluspetite variance asymptotique

I 3 cas en panel

(11)

Ch 2. Introduction aux Modèles Linéaire Dynamiques GMM linéaire en panel

Outline

Théorie GMM en coupes transversales

GMM linéaire en panel

Application 1. Modèle Hausman–Taylor

Application 2. Modèle dynamique

(12)

Hypothèses Panel

I

Soit le modèle linéaire en panel

yit =xit +uit

(1)

xit

peut contenir des régresseurs invariants dans le temps et un intercept

I

Pour le modèle de cette section, simplification :

I pas d’eﬀet individuel ↵_i

I x_itcomprendseulementdes variables de la périodes courantes

I Pas de retard

I On peut voir cette simplification comme si les données étaient transformées

I comme dans le Ch. 1 avec les lestimateurs˜

I

En gras on empile les T observations pour le

i^eme^`

agent

y

i =

X

i +

u

i

(2)

(13)

EF et EA avec endogénéité

I

Temporairement on remet les

↵_i

I le modèle (1)y_it =x_it +u_it devient

yit =↵_i +

x

⁰_it +✏_it

(3)

I

Certains régresseurs dans

xit

sont supposés endogène, donc

E[xit(↵i +✏it)]6=

0

I On appelleEAsi9instrumentsZ_i t.q. Eh

Z⁰_i(↵_i+✏it)i

=0

I Alors on applique GMM selon les formules présentées + loin

I On appelleEFs’il estseulementpossible de trouver des instruments t.q.Eh

Z⁰_i✏it

i=0, maisEh Z⁰_i↵i

i6=0

I Dans ce cas, il faut éliminer les EF↵i par diﬀérentiation comme dans le Ch. 1

I et seuls les coeﬃcients des régresseurs variables dans le temps sont identifiés

I C’est la même discussion qu’au Ch. 1

(14)

Conditions de moment GMM en panel

I

On revient au modèle sans les

↵i

I Donc on est soit en EA, soit en EF après élimination des↵i I

On suppose une matrice

T ⇥r

d’instruments

Zi

I r K est le nombre d’instruments / de conditions de moment t.q.

Eh

Z

⁰_i

u

i

i=

0 (4)

I

L’estimateur GMM basé sur ces conditions minimise une forme quadratique :

ˆ_PGMM =

"

X

i

X

⁰_i

Z

i

!

W

N

X

i

Z

⁰_i

X

i

!# ₁ X

i

X

⁰_i

Z

i

!

W

N

X

i

Z

⁰_i

y

i

!

I

Cet estimateur est consistant pour autant que les conditions de moment (4) tiennent

I 3 cas

(15)

Cas 1. Panel GMM juste identifié

I

Dans ce cas

r =K

, donc

dim(z) =dim(x)

I alors ˆ_PGMM se simplifieen l’estimateur VIquel que soitWN

ˆ_VI =

"

X

i

X⁰_iZi

!# 1

X

i

Z⁰_iyi

!

I On voit bien que c’est la version panel de ˆ_VI =⇣

X⁰Z⌘ 1

Z⁰Y

I

S’il y a des régresseurs exogènes

I Ils sont leurs propres instruments

I

Imaginons que

r >K

: plus d’instruments que de régresseurs

I Il faut utiliser la formule avec la matirce de poidsWN I Il y a 2 cas (diapo suivante)

(16)

Cas 2 & 3. estimateurs PGMM suridentifiés optimaux

I

Hyp. pas d’hétéroscédasticité & pas d’autocorrélation

I ˆ_2SLS =

 X⁰Z⇣

Z⁰Z⌘ 1

Z⁰X

1

X⁰Z⇣ Z⁰Z⌘ 1

Z⁰y

I C’est le cas équivalent à MC en 2 étapes (MC2E / 2SLS)

I Stataivregou menu stat!Panel!Endogenous covariates!IV regression

I Gretl menu Model!Panel!Panel IV models I

Pas de telle hyp. (robust)

I ˆ_2SGMM =h

X⁰ZˆS ¹Z⁰Xi 1

X⁰ZˆS ¹Z⁰y

I ^S= _N¹P

iZ⁰i^ui^u⁰iZi est un estimateur robuste de type White

I Sˆest consistant pour la matricer⇥r S=plim_N¹P

iZ⁰iuiu⁰iZi I C’est l’estimateur GMM en 2 étapes (2-Step GMM)

I Premier pas est un estimateur consistant de comme ˆ_2SLS

I Ensuite on utilise les résidus^ui=yi Xiˆ_2SLSpour calculer^S

I R dans le package plm

(17)

Panel GMM suridentifié

I

Dans beaucoup d’applications Z

i

est composé de valeurs retardées des régresseurs

I endogènes &/ou exogènes

I

Imaginons qu’on dispose de

r

instruments

I On peut souvent supposer que le premier retard de chaque régresseur est non-corrélé avec l’erreur courante

I doncxit 1 sont disponible comme instrumentsadditionels pourxit

I appeléexogénéité faible/instruments prédéterminés

I On peut souvent poursuivre ainsi avec 2 retards, 3 retards...

I On perd chaque fois une période d’observation, l’eﬃcience baisse...

I mais on augmente le nombre d’instruments, l’eﬃcience augmente

I Le modèle est alors très facilementsuridentifié

I Cela fait que même si on n’a pas d’endogénéité, panel GMM sera un estimateur plus eﬃcient que MC

(18)

Inférence Panel-robuste

I ˆ_PGMM

est asymptotiquement normal

I avec une matrice de var-cov asymptotique compliquée

I

Un estimateur consistant de cette matrice existe

I conditionnellement à un choix deWN I et on peut supposer l’indépendance entrei

I

Un estimateur robuste de type White existe

I Il permet de calculer des et robustes à l’Het. et l’Autoc.

I Mais ça n’est pas généralement implémenté dans les logiciels

I Pas dans Stata en général, sauf pour des cas particuliers (+

loin)

I On ne verra que ces cas particuliers I

Alternativement, Bootstrap est faisable

I

C’est comme dans le Ch. 1

(19)

Ch 2. Introduction aux Modèles Linéaire Dynamiques Application 1. Modèle Hausman–Taylor

Outline

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Application 1. Modèle Hausman–Taylor

Application 2. Modèle dynamique

(20)

Motivation

I

Habituellement, en panel, l’endogénéité

I vient de régresseurs corrélés avec les eﬀets individuels↵i I amène à l’inconsistance des estimateurs EA

I

L’estimateur within est consistant

I mais alors les coeﬃcients des régresseurs invariants dans le temps ne peuvent être estimés

I alors qu’il y a beaucoup d’études dont ce serait précisément le but

(21)

Spécification

I

Modèle Hausman & Taylor

yit =

x

⁰_1it 1+

x

⁰_2it 2+

w

⁰_1i 1+

w

⁰_2i 2+↵i+✏it

(5) où x

_1it

& w

_1i

ne sont pas corrélés avec

↵_i

mais x

_2it

& w

_2i

le sont ;

w

indique les régresseurs invariants dans le temps

I

C’est le modèle panel classique

I sauf qu’on précise quels régresseurs sont corrélés avec↵_i et lesquels sont invariants

I Tous les régresseurs sontnon-corrélésavec"it

I

La transformation Within

z¨it =zit z¯i

élimine la corrélation avec

↵i

¨

yit = ¨

x

⁰_1it ₁+ ¨

x

⁰_2it ₂+ ¨✏_it

I

Mais aussi les régresseurs invariants dans le temps

(22)

Estimateur Hausman–Taylor consistant

I

x

2i

corrélé avec

↵_i

I mais pas avec la transformation withinx¨_2it=x_2it x¯_2i

I Puisque la corrélation avec↵i ne peut être qu’avec la partie dex2it8t invariante au temps

I Doncx¨_2it peut être utilisé comme instrumentpour x_2it endogène

I

On prend pareillement

x¨_1it

comme instrument pour

x_1it

I plutôt quex_1it lui-même comme on ferait d’habitude

I Donc, mêmex1it exogène est instrumenté

I car cela séparex1it de sa partie invariante au tempsx¯1i I Celle-ci (¯x_1i) est utilisée comme instrument pourw_2i endogène

I pourrait être un instrument faible

I w_1i

exogène est utilisé comme instrument pour lui-même

(23)

Estimateur Hausman–Taylor

yit =

x

⁰₁_it 1+ x⁰₂_it 2+

w

₁⁰_i 1+ w⁰₂_i 2+ ↵_i +✏_it

# # # #

¨x_1it ¨

x

_2it

w

_1i⁰ ¯x_1i

I

Identification des coef. des régresseurs invariant dans le temps

I si # régresseurs exogènes variant dans le temps # régresseursendogènes invariant dans le temps

I c’est-à-dire si # dex₁ # dew₂

I C’est-à-dire si # instruments est au moins égal au # de régresseursw₂

I

Ineﬃcient puisque cet estimateur ignore la structure de corrélation panel de

(↵i+✏_it)

I

HT est implémenté dans Stata

I Mais apparemment sans les et panel-robustes

(24)

Exemple : Baltagi and Khanti-Akom (1990)

I

595 obs. d’individus sur 1976–1982

I Du Panel Study of Income Dynamics (PSID)

I use http ://www.stata-press.com/data/r11/psidextract

I r11 pour moi car j’ai Stata 11

lwage log-salaire, supposé fonction de : y

Inst

ed IT années d’éducation w₂ ¯x1

wks VT le temps que la personne a tavaillé pour la firme

x₂ ¨

x

₂

exp VT expérience de travail

occ VT occupation - type de fonction je suppose x₁ ¨x1 si la personne (0/1)

smsa VT ... vit dans une grande agglomération

x₁ ¨x₁

south VT ... vit dans le sud ind VT ... est dans l’industrie ms VT ... est mariée

x₂ ¨

x

₂

union VT ... est syndiquée fem TI ... est un homme

w₁ w₁

blk TI ... est African-American

(25)

Endogénéité

I

Les IT

fem,blk

sont exogènes :

w₁

I

Les VT

exp,exp²

,

wks

,

ms, et union

I Peuvent tous être corrélés avec les eﬀets individuels inobservés

I = sont endogènes

I Ces variables présentent-elles suﬃsamment de variation within-panel pour être leurs propres instruments ?

¨

x2it=x2it x¯2i

I On regarde les variations within / between

I xtsum exp exp2 wks ms union!assez faible, mais ok I

On suppose que les VT

occ

,

south,smsa,ind

sont toutes

exogènes :

x₁

I x¯₁est utilisé comme instrument pour l’endogène ITed :w₂

I L’instrument pourx1is¨x1

I Corrélation suﬃsante pour identifier le coeﬃcient deed?

I correlate occ south smsa ind ed!risque instrument faible

(26)

Régression

I xthtaylor lwage occ south smsa ind exp exp2 wks ms union fem blk ed, endog(exp exp2 wks ms union ed)

I

Décomposition de la varience en

µ

et

✏

: 0.9418 et 0.1518, respectivement

I indiquant qu’une large fraction de la variance totale de l’erreur est attribuée àµ_i

I Les statz indique que plusieurs coeﬃcients pourraient ne pas être significativement diﬀérent de zéro

I Les coeﬃcients des variables ITfemetblk ont des et relativement grands

I L’et du coeﬃcient deed est relativement petit

(27)

Ch 2. Introduction aux Modèles Linéaire Dynamiques Application 2. Modèle dynamique

Outline

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Application 1. Modèle Hausman–Taylor

Application 2. Modèle dynamique

(28)

Dynamique

I

Les régresseurs comprennent un retard de la variable dépendante

yit = yi,t 1+

x

⁰_it +↵i+✏it, i =

1, . . . ,

N, t=

1, . . . ,

T

(6)

I

On suppose

| |<

1

I Dans les applications, cela peut être testé en utilisant des tests de racines unitaires panel

I ¬R racine unitaire, alorsyit est une marche aléatoire (random walk)

I L’inférence n’est pas valide

I Pas dans ce cours

(29)

Corrélation entre y

it

& y

i,t 1

I

On a à présent une corrélation sérielle dans

yit

I directement viayi,t 1

I en plus d’indirectement via la persistence donnée par↵i I Ces 2 causes amènent àdiﬀérentes interprétationsde la

corrélation dans le temps

I

Du modèle (6) avec

=

0

I y_it= y_i,t ₁+↵i+✏it, on a

Cor[yit,yi,t 1] =Cor[ yi,t 1+↵_i+✏_it,yi,t 1]

= Cor[yi,t 1,yi,t 1] +Cor[↵i,yi,t 1]

= +

1

+ (1 ) ²_✏/(1+ ) ²_↵

I

La 2º égalité suppose

Cor[✏it,yi,t 1] =

0

I

La 3º égalité s’obtient dans le cas particulier des EA

I avec✏_it ⇠iid⇥ 0, ✏²

⇤& ↵_it ⇠iid⇥ 0, ↵²

⇤

(30)

2 raisons possible de corrélation entre y

it

& y

i,t 1

1.

Véritable dépendance à l’état (True state dependence)

I Quand la corrélation dans le temps est due au mécanisme causal quey_i,t ₁ déterminey_it

I Cette dépendance est relativement grande si

I l’eﬀet individuel est relativement petit↵i'0

I ou lorsque ↵² est petit par rapport à ✏²car alors Cor[yit,yi,t 1]'

2.

Corrélation spurieuse entre

yit

&

yi,t 1

, sans mécanisme causal,

I due à del’hétérogénéité inobservée↵i I donc =0

I maisˆOLS6=0 carCor[yit,yi,t 1] = ²↵/ ↵²+ ✏² comme dans le Ch. 1

I due des question deséries temporelles:yit is I(1)

I Pas dans ce cours

(31)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I

Les 2 cas permettent une corrélation arbitrairement proche de 1 (100%)

I parce que soit !1 ou _↵²/ ²_✏ !0

I Mais ces 2 explications ont des implications politiques radicalement diﬀérentes

I On prend l’exemple des revenusyit

I

Explication “Véritable dépendance à l’état”

I Les revenusyit sont toujours au-dessus de la moyenne (ou en-dessous)

I même après avoir contrôlé pour les régresseursxit

I car les revenus futurs sont déterminés par les revenus passés I

Expication hétérogénéité inobservée

I est en réalité petit mais des régresseurs important ont été omisde x_it,

I ce qui amène à un↵i élevé

I qui fait queˆLS semble élevé (facteurs confondants)

(32)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I

C’est-à-dire, les gens sont-ils pauvres (ou riches) parce que

I Ils ont été pauvres (ou riches) ?

I Dans ce cas, il faut traiter la pauvreté en transférant de l’argent

I Ou bien ont-ils des caractéristiques individuelles qui font qu’ils sont pauvres ?

I Dans ce cas, la pauvreté pourrait être traitée par exemple en améliorant l’éducation

(33)

Inconsistance des estimateurs du Ch. 1

I

Tous les estimateurs du Ch.1 sont inconsistants lorsqu’on inclue un retard de la variable dependante

I

p.e. MCO de

yit

sur

yi,t 1

et x

it

I Erreur(↵i+✏it), corrélée avecyi,t 1par↵i

I

Estimateur Within :

yit y¯i

sur

(yi,t 1 y¯i)

et

(xit

x

¯i)

avec erreur

(✏it ✏¯_i)

I y_i,t ₁ correlée avec✏_i,t ₁et donc avec¯✏_i

I

Inconsistance aussi pour l’estimateur EA du Ch 1

I puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de within et between

(34)

Modèle diﬀérences premières

I

Le modèle dyn. (6) en diﬀ. premières,

t=

2

, . . . ,T

:

yit yi,t 1 = (yi,t 1 yi,t 2) + (xit

x

i,t 1)⁰ + (✏it ✏_i,t ₁)

I

MCO sur ce modèle est inconsistant parce que

yi,t 1

corrélé avec

✏_i,t ₁

I donc le régresseur(y_i,t ₁ y_i,t ₂)corrélé avec l’erreur (✏_it ✏i,t 1)

I

Donc l’estimateur D1 du modèle dyn, est aussi inconsistant

I

Par contre, on peut utiliser VI

I avecy_i,t ₂comme instrument pour(y_i,t ₁ y_i,t ₂)

I y_i,t ₂ instrument valide puisque non-corrélé avec(✏_it ✏_i,t ₁)

I Ça pourrait encore dépendre de la corrélation sérielle des erreurs✏it

I y_i,t ₂ est un “bon” instrument puisque corrélé à (y_i,t ₁ y_i,t ₂)

(35)

Estimation plus eﬃciente du modèle en diﬀérences premières

I

L’estimateur VI précédent est juste identifié

I il demande qu’au moins3 périods of data soient disponibles pour chaque individu

I

Une estimation plus eﬃciente est possible

I En utilisant des retardssupplémentairesde la variable dépendante comme instruments

I L’estimateur devient alorssur-identifié

I estimation par 2SLS ou 2SGMM

(36)

Estimateur Arellano–Bond

I

L’estimateur panel GMM qui fait ça est appelé

Arellano–Bond ˆ_AB =

" _N X

i=1

X

˜⁰_i

Z

i

!

W

N

XN i=1

Z

⁰_i

X

˜i

!# 1 XN i=1

X

˜⁰_i

Z

i

!

W

N

XN i=1

Z

⁰_i

y

˜i

!

I

avec

I X⇣˜i est une matrice (T 2)⇥(K +1)avect^eme^` ligne y_i,t ₁, x⁰_it⌘

, T =3, . . . ,T

I ˜yi est un vecteur(T 2)⇥1 avect^eme^` ligne y_it

I On est bien dans le modèle diﬀérences premières

I Zest défini à la prochaine diapo

(37)

Estimateur Arellano–Bond

I

Z

i

est une matrice

(T

2)

⇥r

d’instruments :

Z

i = 2 66 66 4

z

⁰_i3

0

· · ·

0 0 z

⁰_i4

...

... ... 0

0

· · ·

0 z

⁰_iT

3 77 77 5

avec souvent z

⁰_it =h

yi,t 2,yi,t 3, . . . ,yi1,

x

⁰_iti

I

Donc on rajoute un instrument à chaque période

(38)

Estimateur Arellano–Bond

I

Des retards de x

it

ou de x

it

peuvent de plus être utilisé comme instruments

I et pourT suﬃsamment grand, on peut limiter le nombre de retards dey_it qui sont utilisés comme instrument

I p.e. pas plus queyi,t 4

I

2SLS et 2SGMM correspondent à diﬀérentes matrices de poids

WN

I selon le traitement de l’hétéroscédasticité et de l’autocorrélation

I Voir section précédente

(39)

Exemple

I

Données Arellano-Bond disponible par

webuse abdata

I Year = t, n = log of employment, w = log of real wage, k = log of gross capital, ys = log of industry output, unit = firm index (id)

I

Structure panel comprise par Stata

I Vérification par Menu : Panel data : Declare dataset to...

I Panel ID = id ; time=year I

Estimateur Arellano-Bond

I Menu : panel data : Dynamic... :

I xtabond n w k ys, lags(1) vce(robust) artests(2)

I Diﬀérence importante avec “robust vce”

I C’est GMM “2SLS” pour panel

I assume pas autocorrélation & homoscé.

I comme vu + haut

I Pour 2SGMM utilisrxtdpd(linear dynamic PD)

I On verra ça en M2