Modélisation micromécanique des matériaux hétérogènes en régimes transitoires : contributions en vue de l'étude du vieillissement des structures en service

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Modélisation micromécanique des matériaux

hétérogènes en régimes transitoires : contributions en

vue de l’étude du vieillissement des structures en service

Renaud Masson

To cite this version:

Renaud Masson. Modélisation micromécanique des matériaux hétérogènes en régimes transitoires :

contributions en vue de l’étude du vieillissement des structures en service. Mécanique

[physics.med-ph]. Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2010. �tel-00605270�

- Rapport CEA-R-6268 -

CEA Cadarache

Direction de L’Énergie Nucléaire

Département d’Études des Combustibles

Service d’Etudes et de Simulation du Comportement des Combustibles

MODÉLISATION MICROMÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES

EN RÉGIMES TRANSITOIRES :

CONTRIBUTIONS EN VUE DE L’ÉTUDE DU VIEILLISSEMENT

DES STRUCTURES EN SERVICE

par

Renaud MASSON

«Modélisation micromécanique des matériaux hétérogènes en régimes transitoires : contributions en vue de

l'étude du vieillissement des structures en service»

Résumé -

La modélisation du comportement mécanique des matériaux de structure se nourrit de plus en plus de paramètres

microstructuraux. Dans ce cadre, les méthodes d’homogénéisation présentent l’avantage de fournir des méthodes déductives qui,

à partir des propriétés et de la répartition spatiale des hétérogénéités, déduisent les propriétés effectives du matériau considéré.

Néanmoins de nombreuses applications soulèvent encore des difficultés. C’est en particulier le cas des matériaux de structure

présentant un comportement élasto-viscoplastique et soumis à un trajet de chargement non monotone et non isotherme.

Progresser sur le traitement par homogénéisation de ces situations concrètes constitue précisément le fil conducteur des

différentes contributions présentées dans ce mémoire d’HDR. Dans le cas élastique linéaire, de nouvelles expressions pour le

calcul du tenseur d’Eshelby sont tout d’abord établies afin d’améliorer l’efficacité des méthodes d’homogénéisation

habituellement proposées. Toujours pour des comportements linéaires mais à présent viscoélastique, différentes approximations

associées à l’utilisation du théorème de correspondance sont étudiées et comparées. On montre notamment l’équivalence d’une

de ces approximations (la méthode des collocations) avec une formulation à variables internes du comportement effectif. Cette

formulation à variables internes conduit à des résultats exacts dans certaines situations et simplifie notablement le traitement des

comportements viscoélastiques linéaires vieillissants. Dans le cas des comportements élasto-viscoplastiques, s’ajoute à la

difficulté précédente (couplage viscoélastique) celle du traitement des non linéarités. Des comparaisons établies entre différentes

familles d’estimation permettent de bien cerner les effets des différentes approximations nécessaires pour traiter ces non

linéarités. Une proposition d’amélioration est même formulée et mise en œuvre dans un cas particulier. On montre ensuite

comment décliner l’approche par variables internes dans ce cas non linéaire. Enfin, la question des calculs de microstructures est

aussi abordée en considérant le cas particulier où des zones de l’élément de volume considéré ont des propriétés mécaniques mal

définies. Dans le cas élastique linéaire, de nouvelles bornes pour le comportement effectif sont établies en mariant le calcul de

structure et une approche variationnelle de type Hashin et Shtrikman. Ce dernier point ouvre sur des perspectives de recherche

importantes : bornes plus resserrées, comportements non linéaires, … Côté méthodes d’homogénéisation, des perspectives

précises sont aussi définies, en particulier pour les matériaux poly-cristallins, situation pour laquelle le champ d’investigation

s’élargit nettement (fatigue, grandes déformations, …) grâce à la formulation à variables internes proposée. Enfin, la simulation

des effets d’irradiation constitue le troisième thème d’intérêt pour les années à venir, l’objectif général étant de mieux prédire les

effets des déformations de gonflement induites par l’irradiation sur le comportement des structures en service.

2011 – Commissariat à l’Énergie Atomique – France

RAPPORT CEA-R-6268 – Renuad MASSON

« Micromechanical modelling of heterogeneous materials in transient conditions: contributions for the study

of the ageing of structural components under service »

Abstract -

The modelling of the mechanical behaviour of structural materials is increasingly based on microstructural

parameters. Within this framework, homogenisation methods have the advantage of providing deductive methods which, starting

from the properties and space distribution of each constituent, deduce the effective properties of the heterogeneous material.

Nevertheless, many applications make still difficult the use of homogenisation methods. It is in particular the case of structural

materials presenting elastic-viscoplastic behaviours and subjected to both non-monotone and ageing loadings. To progress on the

treatment by homogenisation of these useful situations constitutes precisely the main idea of the various contributions presented

in this work.For linear elasticity, new expressions for the computation of the Eshelby tensor are first of all established in order to

improve the efficiency of homogenisation methods usually used. Always for linear behaviours but now viscoelastic, various

approximations associated with the use of the theorem of correspondence are studied and compared. The equivalence of one of

these approximations (the so-called “collocation method”) with an internal variables formulation of the effective behaviour is

shown. This internal variables formulation leads to exact results in some situations and strongly simplifies the treatment of

ageing linear viscoelastic behaviours. In the case of elastic-viscoplastic behaviours, is added to the previous difficulty

(viscoelastic coupling) that of the treatment of nonlinear behaviour. Comparisons made between various families of estimates

make it possible to determine the effects of the various approximations needed to deal with these nonlinearities. An improvement

is also proposed and implemented in a particular case while the extension of this internal variable formulation to nonlinear

behaviours is discussed. Finally, full-field computations of microstructures are also tackled by considering the particular

situation where regions of the representative volume element have ill-defined mechanical properties. In the linear elastic case,

new bounds for the effective behaviour are derived by marrying the structural analysis and a variational approach. This last work

opens on important prospects for further works: more tightened bounds, nonlinear behaviours, … Considering homogenisation

methods, further works are precisely defined, in particular for polycrystalline materials. In that situation, the field of

investigation widens clearly (Fatigue, Large strains, …) thanks to the internal variables formulation proposed. Lastly, the

simulation of irradiation effects constitutes the third topic of interest for the years to come, the general objective being to better

predict the effects of the swelling strains induced by irradiation on the behaviour of structural components under service.

INSTITUT DE MECANIQUE DE MARSEILLE (I.M.2)

É ole Do torale S ien es pour l'ingénieur :

Mé anique, Physique, Mi ro et Nanoéle tronique

E.D. numéro 353

HABILITATION A DIRIGER DES

RECHERCHES

Renaud MASSON

Soutenue le20 dé embre 2010

Modélisation mi romé anique des matériaux

hétérogènes en régimes transitoires : ontributions

en vue de l'étude du vieillissement des stru tures

en servi e

JURY

M. P. GILORMINI Dire teurde Re her he ENSAM, Paris Rapporteur

M. D. KONDO Professeur UPMC, Paris Rapporteur

M. JCMICHEL Dire teurde Re her he LMA, Marseille Rapporteur

M. P. PONTE CASTAÑEDA Professeur UPenn, USA Examinateur

Remer iements

Fig. 1  Après lasoutenan e, le 20 dé embre 2010. De gau he à droite :P. Suquet,A. Zaoui, P.Ponte-Castañeda, JC. Mi hel, R.Masson,P.GilorminietD.Kondo.

En premierlieu,jeremer ie trèssin èrementl'ensembledesmembresdujuryd'avoir a eptéd'examinermestravauxettoutparti ulièrement,lestroisrapporteurs,D.Kondo, P. Gilormini et JC Mi hel. Bien entendu, que A. Zaoui a epte de présider e jury me tou he tout parti ulièrement, tout omme la présen e dans e même de jury de P. Su-quet et, " erisesur legâteau", de P. Ponte-Castañeda, malgré ladistan e Philadelphie-Marseille(et lesintempériesde dernièreminutesurRoissy!).

Je souhaite aussi saluer eux qui m'ont aidé dans le travail de réda tion de e mé-moire, notamment, trois ollègues du CEA (F. Nguyen, JM. Gatt et I. Ramière) qui ont relu ave soins diérentes versions intermédiaires du mémoire nalement remis aux membresdujury.Con ernant lespréparatifs desoutenan e,je remer ietrès sin èrement R.Bousquet(CEA)dontl'aides'estavéréetrèspré ieusesansoublierMmeCallier(Univ. Méditerrannée). J'ai été aussi très tou hé par laprésen e de nombreux ollègues venus assisterà ettesoutenan e, notamment les ollègues duDépartement d'Etudedes Com-bustibles.Mer iàtouspourvotresoutienetmer iauCEAdem'avoirpermisderéaliser e projet!

fait l'objetd'une ontribution solitaire mais sont au ontraire le fruit de ollaborations formelles ou informelles nouées ave des ollègues de la Division Re her he et Déve-loppement d'eDF,duCEAoudumondea adémique.Cesdiérentes ollaborationssont autantdepassionnantes"aventures"s ientiquesethumaines.De es ollaborationssont néesdiverses ontributionss ientiques(desarti les)dontles o-auteurssere onnaitront dans e qui suit. J'ai eu vraiment beau oup de han e de pouvoir ollaborer ave eux etj'espèrequenousaurons l'o asionde ollaborerànouveau,enparti ulier autourdes thèmesde re her he dénis àlan de emémoire.

Enn, mes pro hes m'ont fait le plaisir de se joindre à nous lors de la soutenan e de es travaux. Je les en remer ie, mes plus vifs remer iements allant à mon épouse, Sandrine,ainsiqu'àmesenfantsqui,ensusdeleursoutiensansfaille esannéespassées, m'ont aidé àorganiser ette soutenan ed'HdR.

1 Introdu tion 3

2 Homogénéisation en élasti ité linéaire 7

2.1 Déformations libresen élasti ité linéaire . . . 9

2.1.1 Exemplesde manifestation mé anique desdéformationslibres . . . 9

2.1.2 Prin ipe de minimumpour leproblème élastique linéaire ave dé-formations libres . . . 10 2.2 Le problèmed'Eshelby . . . 14 2.2.1 Rappels . . . 14 2.2.2 Motivations . . . 15 2.2.3 Nouvelle expression en 3D . . . 17 2.2.4 Résultats . . . 19 2.2.5 Con lusions . . . 20

2.3 Cal uls de mi ro-stru ture surmaillageslibres . . . 22

2.3.1 Motivations . . . 22 2.3.2 Denouvelles bornes . . . 23 2.3.3 Illustration . . . 25 2.3.4 Con lusions . . . 28 2.4 Con lusions . . . 29 3 La vis oélasti ité linéaire 31 3.1 Rappels:lethéorème de orrespondan e . . . 33

3.1.1 Le problèmede lasphère reuse souspression . . . 33

3.1.2 Limitations à l'emploidu théorèmede orrespondan e, dis ussion . 37 3.1.3 Appli ation à l'homogénéisation. . . 38

3.2 Inversiondestransforméesde Lapla e-Carson . . . 43

3.2.2 Laméthode quasi-élastique . . . 44

3.2.3 Inversionde latransforméede Lapla e-Carson : on lusions . . . . 45

3.3 Représentation par variables internes . . . 46

3.3.1 Relationd'équivalen e . . . 46

3.3.2 Casparti ulier des omposites biphasés . . . 47

3.3.3 Avantages de lareprésentation par variables internes . . . 48

3.4 L'appro he par déformation libre . . . 50

3.4.1 Remarquepréliminaire . . . 50

3.4.2 L'appro he par déformationslibres (homogènespar phase) . . . 51

3.5 Con lusions, perspe tives . . . 53

4 Comportements non linéaires 55 4.1 Prin ipe général . . . 58

4.1.1 L'appro he par Milieu linéairede Comparaison . . . 58

4.1.2 Comparaisons pour desrégimes stationnaires . . . 60

4.2 Le modèle Aneetses variantes quasi-élastiques . . . 67

4.2.1 Lemodèle Ane, rappels . . . 67

4.2.2 Lesvariantes quasi-élastiques dumodèle Ane . . . 69

4.2.3 Perspe tives . . . 74

4.3 Formulationave variables internes . . . 76

4.3.1 Formulation dansle asdespoly ristaux . . . 76

4.3.2 Avantages de ette formulation, perspe tivesnouvellesd'utilisation 78 4.4 Con lusions, perspe tives . . . 79

5 Bilan des travaux ee tués 81

1

Introdu tion

L'ingénieur qui onçoit ouétudie unestru turepeutdi ilement é happeràla ques-tiondu omportementdesmatériaux onstitutifsdelastru ture onsidérée.Ainsi,même s'ilselimiteàl'étudede laréponseélastique delastru turepoursondimensionnement, il devra se préo upper de ses modes de ruine et don élargir le adre d'étude de son omportement. Deplus en plus souvent, il va aussiregarder de plus près de quelles hé-térogénéités est onstitué lematériau onsidéré, a minima d'un point de vue qualitatif! Je pense notamment à des exemples on rets tirés du domaine de l'énergie, en parti- ulier au ara tère anisotrope du uage du matériau de gainage onstituant les rayons ombustible des réa teurs à eau sous pression (lié à la texture orthotrope de e maté-riauetàlasymétrie ristalline(hexagonale)deses onstituants),au livageapparaissant dans laferrite des a iers onstituants ertains omposants du ir uit primaire prin ipal des réa teurs à eau sous pression ( uve, oudes moulés, ...), au rle des porosités dans les déformations du ombustible nu léaire, ... D'un point de vue quantitatif à présent, si on veut tenir ompte des eetsde eshétérogénéités sur le omportement ma ros o-pique du matériau onsidéré, il faut développer un modèle mi romé anique (un modèle d'homogénéisation). Or,plusieurs travauxindustrielsdeRe her he etdeDéveloppement s'appuient désormaissurdesappro hesmi romé aniques. Dans ledomaine de l'énergie, on trouve en ore plusieurs exemples allant de la modélisation de la ondu tivité ther-mique de ertains ombustibles au uage propre dubéton desen eintesdes réa teurs à eausouspression, edernierproblème onstituantunexempled'appli ationduthéorème de orrespondan ede Mandel(1966) (vis oélasti itélinéaire) àune situation on rète.

Cependant,l'utilisationquantitativedesméthodesd'homogénéisationpourlesétudes menéesparlesingénieursreste(relativement)modeste,mêmedansdesdomaines, omme elui de l'énergie, pour lequel lasimulation numérique est très développée. Pour quelles raisons?Pourrépondreà ettequestion,examinonsdeplusprèsdessituations on rètes ren ontrées dansdes études relevant du domaine de l'énergieet, pour lesquels,l'emploi de méthodesd'homogénéisation reste limité(voir Figure1.1). Du point devue des solli- itations imposées toutd'abord,les hargements étudiéssontsouvent denature

thermo-mé anique:sionprendl'étudedela uved'unréa teuràeausouspression,parexemple, le hargement est onstitué d'eorts imposés(la pressiondu aloporteurqui s'exer een paroi interne) etde ontraintes thermiques (générées par les dilatations diérentielles à l'÷uvre dans la (forte) épaisseur de e omposant). Bien entendu, e hargement ther-momé anique est dépendant du temps, les évolutions de la pression imposée ainsi que du gradient de température étant relatives à la situation onsidérée. Du point de vue du omportement à présent, la réponse du matériau de stru ture onsidéré est élasto-plastique, tout au moins dans la partie la plus solli itée de la stru ture (au voisinage du défaut, ...). La nature de l'é rouissage joue alors un rle important sur la réponse de lastru ture (voir Lefevre etal. (2001)).Pour ertains omposants, deseetsdiérés sont aussiobservés (uage, relaxation, ...): par exemple, lejeu initial pastille-gaine des rayons ombustibles se ferme progressivement sous les eets ombinés de la dilatation thermiquede lapastilleetdu uage delagaine résultant de lapression du aloporteur. Sion retrouve des eetsde la vitessede hargement dansle asde l'a ier de uve pour l'interprétationdes essais Charpy de ara térisation à l'état irradié(programme de sur-veillan e), eseetsdutempsrestentlimitésdansle asdesréa teursàeausouspression (ditsde2ème(par éle tronu léaire a tuel)et3ème(EPR en onstru tion)générations). Ave l'élaboration de nouvelles lières (ditesde 4ème génération),l'importan e relative de es eets diérés sur la réponse des stru tures étudiées va bien entendu s'a roître du fait des températures de fon tionnement visées, supérieures à elles des haudières nu léaires a tuelles.

Fig. 1.1Cuve et rayon ombustible d'unréa teurà eau souspression (REP)

D'un point de vue théorique, les exemples dé rits i-dessus permettent de dénir le domained'appli ationattendudesméthodesd'homogénéisation.Al'éviden e,ils'agitde omportements non linéaires (apparition de déformations irréversibles) et, ompte-tenu

tone, non radial et anisotherme), on ne pourra réduire le omportement envisagé à un adrethéoriqueplussimple.Enparti ulier,onnepourrapasfaireusagedelathéoriedela déformationpournouslimiteràun omportementélastiquenonlinéaire.Demême,nous nepourronspasnous ontenterd'étudier lesrégimesdeuage stationnaires.Ilnousfaut don étudieri i des omportementsnonlinéairesélastovis oplastiques(le as élastoplas-tiquepouvant êtrevu ommelimitedu asélastovis oplastique, jen'aborderai pas ette question dans e mémoire). Il faut ajouterle quali atifvieillissant pour tenir ompte des eets de l'irradiation sur le omportement des stru tures étudiées (par exemple le gonementinduitparl'irradiationdans ertainsmatériauxdestru ture ommelesa iers austénitiques). Pour appliquer les méthodesd'homogénéisation aux problèmes on rets dénis i-dessus, ilfaut don être apable de simuler par homogénéisationla réponsede matériauxhétérogènesélastovis oplastiquesvieillissantsàdestrajetsde hargement non radiaux, nonmonotones etanisothermes.Di ile d'imaginerplus ompliqué!

Mêmesidessolutionsontétéproposées(nousyreviendrons),iln'existaitpas,lorsque j'aientamé etravaildere her he,uneméthoded'homogénéisationquifassel'unanimité pour traiterleproblème posé et e,pour plusieurs raisons :

 sur de nombreuses questions (le traitement des non linéarités, par exemple), il existait plusieurs propositions diérentes. Des omparaisons ont alors été utiles pour identierlesla unes desdiérentesméthodesetenproposerdenouvelles.Un travailde omparaison etd'amélioration était don né essaire.

 lamiseen÷uvredesméthodesd'homogénéisationétaitlourdeeuégardauxtemps de al uls. Ilyavaitdon untravail d'optimisationà mener.Il ne s'agitpasi i de dé riredes améliorations informatiques, maisles développements analytiques àla basede e travaild'optimisation.

 laformulation de ertains modèles d'homogénéisation laissaitpenser parfoisqu'ils n'étaient pasappropriés à dessituations réelles telles que elles dé rites i-dessus (le vieillissement par exemple). Il s'est avéré fru tueux de formuler diéremment, maisde façon équivalente, lemême modèlean de l'utiliser pour desappli ations on rètes. C'étaitun travailde formulation.

Enn, dansle but de omparerles méthodes d'homogénéisation développées àdes solu-tions de référen e, nous avons aussi abordé la question des al uls de mi rostru tures, e qui nousa onduit à résoudreun problèmenouveau.L'obje tif de e mémoire est de faire lasynthèse de esdiérentes ontributions théoriques.

Pour omprendre la stru ture de e do ument, il est à présent né essaire de faire un ourt rappel on ernant les méthodes d'homogénéisation dont l'obje tif général est de prédire le omportement ee tif d'un matériau hétérogène à partir de la onnais-san e du omportement et de la répartition spatiale de ses onstituants. Pour ela, on onsidère en général un Volume Élémentaire Représentatif (VER) de e matériau hé-térogène. Les dimensions de e VER sont grandes devant la taille des hétérogénéités, elles-mêmes supposées grandes pour être représentées par un ontinuum. Toute pro é-dure d'homogénéisation débute par une phase dite de représentation visant à dé rire

ladistributiondesorientations ristallines d'unmatériau poly- ristallin (satexture). La phasedelo alisation onsistealorsàrelierparunmodèlelesgrandeurslo ales(la défor-mationd'unpore,parexemple)auxgrandeursma ros opiquesimposées (ladéformation ma ros opiqueimposéeauxbordsduVERparexemple).Enn,laphase d'homogénéisa-tion permet par desopérations de moyenne volumique d'en déduire la réponseee tive du VER (la ontrainte ma ros opique par exemple). Lorsque les onstituants du maté-riauhétérogène onsidéréprésentent un omportement élastiquelinéaire,de nombreuses méthodes (lois des mélanges par exemple) permettent d'estimer ou de borner les pro-priétésee tives her hées. Pour des omportementsnon linéaires,une partsigni ative des méthodes proposées ramènent, par linéarisation autour de quantités moyennes par phase,leproblèmeinitial àunproblèmelinéaire(danslasuitedudo ument,nousferons aussiréféren eàdes solutions alternatives).

La résolution d'un problème non linéaire onduisant, par linéarisation, à elle d'un problème linéaire, l'eort de re her he dans le as linéaire reste né essaire pour traiter le problème général déni i-dessus : simuler par homogénéisation la réponse de ma-tériaux hétérogènes élastovis oplastiques vieillissants à des trajets de hargement non radiaux, non monotones et anisothermes. C'est l'objet du hapitre 2 de e mémoire, dans lequel je reviens sur deux ontributions nouvelles dans e as élastique linéaire. J'aborde alors dans les hapitres 3 et 4 qui suivent des omportements dépendants du temps,toutd'abord dansle aslinéaire (vis oélasti ité linéaire)puis, non linéaire (élas-tovis oplasti ité). Chaque ontribution présentée onstitue une réponse aux questions dénies i-dessus : omparaison et amélioration, optimisation, formulation etrésolution d'unproblèmenouveau.

Notations:

Dans e do ument, lesnotations suivantes sontadoptées :



x

= x

i

e

i

(i = 1, 2, 3)

désigne un ve teur de l'espa e (sommation sur les indi es répétés,

(e

1

, e

2

, e

3

)

estun repèreorthonormé);



ε

= ε

ij

e

i

⊗ e

j

désigne un tenseur du deuxièmeordre (

⊗

le produittensoriel),

δ

le tenseurdudeuxième ordreunitételque

δ

ij

= δ

ij

(

δ

estlesymboledeKrone ker); 

L

= L

ijkl

e

i

⊗ e

j

⊗ e

k

⊗ e

l

désigne un tenseur du quatrième ordre, le produit

2

Homogénéisation en élasti ité linéaire

Pourquoi diable nous parler d'élasti ité linéaire alors que, pour l'essentiel, les pro-blèmes d'homogénéisation posés sont au mieux dépendants du temps, au pire non li-néaires?C'est que, même pour des problèmes non linéaires, les méthodesde résolution par homogénéisation font en général référen e à un Milieu Linéaire de Comparaison (Ponte Castañeda (1991)) auquel ilnous faudraappliquer les méthodes d'homogénéisa-tion lassiques (modèle auto- ohérent, Hashin et Shtrikman, ...) qui elles-mêmes font souvent appel à un problème ertes an ien, mais à l'éviden e inoxydable : le pro-blèmed'Eshelby(1961).Or,ils'estavéréné essaireetfru tueuxderevisiter eproblème d'Eshelby an d'y apporter dans le as général une solution plus simple (voir se tion 2.2) qui, je l'espère, fa ilitera l'emploi desméthodes d'homogénéisation dansles années à venir.

Si le problème d'Eshelby est un problème an ien, je me suis également intéressé à des méthodes de résolution plus ré entes :les al uls tridimensionnels de Volumes Élé-mentaires Représentatifs demi ro-stru turesréelles.Denombreuxtravauxont eneet abordé ette question es quinze dernières années :je pense en parti ulier à l'équipe de G. Cailletaud (Barbeet al. (2001)) etd'Anand (Staroselskyand Anand (1998)) pour la simulationdeVERdepoly ristauxparlaméthodedesélémentsnis;auxsimulationsde VERparlaméthodeFFT(Mouline andSuquet(1998))utiliséestantpourlasimulation demi ro-stru turesdetype omposite(Mouline andSuquet(1998))quepoly ristallines (Lebensohn (2001)).La question nouvelle rapportée dans e mémoire m'aété posée par un ollègue d'EDF-R&D, C. Toulemonde, qui her hait à ee tuer des simulations de VER du béton, vu omme une matri e de iment renfor ée par des granulats en forte proportion (

50%

):pourdesraisonspratiquesquenousdétailleronsplusloin,la dis réti-sation spatiale (éléments nisi i mais e pourraitêtre aussides voxels ave laméthode FFT!) onduit àdénirdesmailles ontenant au moinsdeuxphasesdiérentes. Quelles propriétés ae ter à es éléments? Quelle propriété ee tive en déduire? ... Voilà les questionsque j'aborderaidanslase tion2.3.

Que esoitleproblèmed'Eshelbyoulaméthodevariationnelleétudiéedanslase tion 2.3, la notion de déformation libre (équivalente, nous le verrons plus loins, à la notion

de polarisation), joue un rle entral. C'est pourquoi je reviens tout d'abord sur ette notionen se tion2.1.

Parlasuite,on onsidèreunVER

V

d'unmatériauhétérogèneélastiquelinéaire,une déformationma ros opique

ε

homogèneétantappliquéesursasurfa eextérieure

∂V

.Les modulesélastiques de ha unedesphases (indi e

(

s

)

)sont notéspar lestenseursd'ordre quatre

L

s

(

1 ≤

s

≤ n

p

,

n

p

désignant le nombre de phases). En haque point

x

∈ V

, la densitéd'énergie dedéformation est déniepar :

w(x, ε) =

1

2

ε

: L(x) : ε

(2.1)

ε

étant le tenseur innitésimal des déformations tandis que le module élastique

L(x)

estégal à

L

s

si le point

x

onsidéré setrouve dans laphase d'indi e

(

s

)

.Les propriétés ee tives du VER sont déterminées par son énergie ee tive de déformation selon Hill (1963):

W (ε) = min

ε∈K

1

|V |

Z

V

w(x, ε)dx

(2.2)

K

désignantl'ensembledes hampsdedéformation inématiquementadmissiblesave la déformation moyenne

ε

.Le problème (2.2) peutêtre résolu par des modèles d'homogé-néisationanalytiques, ertains s'appuyant sur larésolution duproblème d'Eshelby(voir se tion 2.2). Mais, e problème (2.2) peut être aussi résolu dire tement par un al ul éléments nis (parexemple) surune réalisation donnéedu VER onsidéré(voir se tion 2.3).

2.1 Déformations libres en élasti ité linéaire

2.1.1 Exemples de manifestation mé anique des déformations libres

L'eet mé anique desdilatationsthermiquessur lesstru turesdoitsouvent êtrepris en ompte pour leur dimensionnement. Onpeut iterpar exemple,le dimensionnement deslignesdetuyauteries.La présen ed'an ragesen ertains pointsde laligne de tuyau-terie où des dilatations diérentielles vont induire des eorts qui sont s rupuleusement étudiées en parti ulier dans des zones sensibles (soudures, transitions d'épaisseur, ...). Parailleurs,les omposantsdeforteépaisseur(forteépaisseurné essairepourunebonne tenueàlapression)soumisàdestransitoiresthermiquessont aussilesiègededilatations thermiquesdiérentielles(voirparexempleMassonet al.(2002)pourl'étuded'une uve d'un réa teur àeau souspression soumise àun transitoirethermique).

En ha un des points

x

des stru tures onsidérées dans es exemples, la réponse élastique linéaires'é rit :

σ

_{(x) = L(x) : (ǫ(x) − ǫ}

0

(x)),

la déformation libre

ǫ

0

_(x)

devant être onsidérée omme un paramètre de hargement extérieur.C'estleplussouventunedéformationd'originethermiquemaisonpeut imagi-nerunedéformationinduiteparbiend'autreseets(gonementsinduitsparl'irradiation mais aussi déformation asso iée à une transformation de phase, ...). A noter que ette relation peutaussis'é rire :

σ(x) = L(x) : ǫ(x) + p

0

(x),

le tenseur du deuxième ordre

p

0

_{(x) = −L(x) : ǫ}

0

_(x)

étant symétrique et homogène à une ontrainte. Il estsouvent appelé tenseur de polarisation.

Silastru ture onsidérée estlibredesedilater etquele hampde déformation libre appliqué à lastru ture est uniforme, ette stru ture va se dilater ou se ontra ter sans générer de ontraintes. En revan he,si lastru turen'est paslibrede sedilater (an rage d'une ligne de tuyauterie par exemple) ou si la déformation libre n'est pas uniforme (gradient thermique dans l'épaisseur d'un omposant par exemple), lastru ture va être le siège d'un hamp de ontrainte (des ontraintes dites thermiques dans le as d'une déformationlibred'originethermique).Prenonspasexemplele asd'un ylindre,supposé inniment long selon son axe, libre de se dilater radialement (pas d'eort imposé à sa périphérie)mais soumis à un gradient thermique parabolique de laforme ( oordonnées ylindriques notées

(r, θ, z)

) :

T (r) =

p

4λ

(R

2

_{− r}

2

_{) + T (R).}

Ce gradient thermique a i i pour origine une sour e de haleur, uniformément répartie dansle ylindre (

p

lapuissan e volumique),

R

désignant lerayon extérieurdu ylindre,

λ

sa ondu tivité thermique et

T (R)

latempérature imposéeen périphérie du ylindre. Ladistributiondedéformationlibre(déformation thermique)résultanteestdonnéepar:

ε

0

(r) = α

h

p

4λ

(R

2

_{− r}

2

_{) + ∆T}

R

i

δ,

α

désignant le oe ient de dilatation thermique, supposé indépendant de la tempé-rature, du matériau onstituant le ylindre,

∆T

R

= T (R) − T

0

(

T

0

la température de référen epour laquelle ladilatation thermiqueestnulle).

Qualitativement,le entredu ylindresouhaitantsedilaterdavantagequesa périphé-rie,il va être mis en ompression tandis que lapériphérie sera en tra tion. Le matériau onstituant le ylindreétantsupposéisotrope(moduled'Young

E

, oe ientdePoisson

ν

), ettedistributiondedéformationlibreinduitee tivementun hampdedépla ement. Le ylindre étant supposé inniment long dans la dire tion axiale, nous allons modéli-ser la déformation axiale omme une onstante indépendante du rayon (déformations planes). Le dépla ement radial, solution deséquations de Navier dansle plan

(r, θ)

, est alors donné par:

u(r) =

1 + ν

1 − ν

αp

16λ



3 − 2ν +

16 λ(1 − ν)

pR

2

∆T

R



R

2

_{r − r}

3



e

r

.

La distribution de ontraintes tangentielles (thermiques) dansune se tion droite du y-lindreestalors donnéepar :

σ

_θθ

(r) =

E

1 − ν

αp

16 λ

(3 r

2

− R

2

).

Cemodèletrès simplepeutdire tement être appliquéàun asd'appli ation on ret:la réponsethermomé anique d'une pastille ombustible nu léaire d'unréa teur à eau sous pression en tout début de vie en réa teur (voir Figure 2.1). D'un rayon extérieur d'ap-proximativement

4

mm , es pastilles possèdent les ara téristiques suivantes : module d'Young de

200GP a

, oe ient de Poisson égal à

0, 31

, dilatation thermique s'élevant

approximativement à

10

−5



C

−1

. Elles sont par ailleurs ara térisées par une ondu -tivité thermique médio re (de l'ordre de

2 10

−3

_{W mm}

−1



C

−1

) de sorte qu'en régime de fon tionnement nominal (puissan e volumique produite égale à

0, 4 W mm

−3

, soit approximativement

200 W

par entimètre de olonne ombustible), legradient de tem-pérature entre le entre et la périphérie de la pastille s'élève à

800



C

. Dès la première montéeen puissan e, la ontraintetangentielle en périphérie pastilledépasse

1GP a

.Les onséquen espour ette éramiquefragile( ontrainteà rupturede l'ordre de

100 M P a

) sontvisiblessurlaFigure2.1:onobserve unréseaudessuresradialesquitraversent la éramique!

2.1.2 Prin ipe de minimum pour le problème élastique linéaire ave

déformations libres

En l'absen e de déformations libres (et de for es de volume), l'énergie potentielle d'unestru turesoumise àdes onditions auxlimites mixtes(

u

d

et

T

d

Fig. 2.1 Figuredegau he:pastille ombustible d'unREP.Figurededroite: éramographie d'unepastillededioxyded'Uraniumirradiée :fragmentation radialeinduiteparles ontraintes thermiques.

eorts imposés)s'é rit :

P (u) =

Z

V

1

2

ε

(u(x)) : L(x) : ε(u(x))dx −

Z

∂V

_{T d}

T

d

udS,

(2.3)

u

désignant un hampde dépla ement inématiquement admissibleave ledépla ement

imposé

u

d

,

ε

le hamp de déformation asso ié (gradient symétrisé) et

∂V

T

d

la surfa e extérieure de la stru ture soumise auxeorts

T

d

. Le hampsolution minimise l'énergie potentiellede sorteque, pourles onditionsde hargement endéformation homogèneau bord delastru ture, onretrouvelarelation (2.2) .

Enprésen ed'un hampdedéformationlibre

ε

0

_(x)

àl'÷uvredanslastru ture onsi-dérée et pour des onditions aux limites

(u

d

_{, T}

d

₎

, le hamp de dépla ement solution minimise à présent laquantité suivante :

P (u) =

Z

V

 1

2

ε

(u(x)) : L(x) : ε(u(x)) − ε(u(x)) : L(x) : ε

0

_(x)



dx −

Z

∂V

_{T d}

T

d

udS,

(2.4) ou en oreen remplaçant laquantité (

−L(x) : ε

0

_(x)

) parlapolarisation

p

0

_(x)

:

P (u) =

Z

V

 1

2

ε(u(x)) : L(x) : ε(u(x)) + p

0

_{(x) : ε(u(x))}



dx −

Z

∂V

_{T d}

T

d

udS.

(2.5)

Nous utiliserons ette quantité dansla se tion 2.3 maisnous pouvonsd'ores et déjà en donner un exemple d'appli ation en revenant au problème de la pastille ombustible soumise à ungradient de déformation libre(thermique).Nous avonsvuque, sous l'eet de e gradient thermique, la pastille se fragmente (voir Figure 2.1). Nous allons don onsidérer à présent un fragment de ette pastille (se teur angulaire d'angle

θ

m

et de rayon

R

) soumis à la même distribution de température que pré édemment. Les bords

latéraux du fragment étant libres, le hamp de dépla ement présente une omposante tangentielleetdépenddel'angle

θ

.Sidessolutionspourle oininni sontbienentendu disponibles (voir par exemple Mi hell (1902)), la solution exa te de e problème ( oin ni,distributiondedéformationslibres)n'estpas onnue.Nous her honsi iunesolution appro hée dudépla ement, hoiside laforme

1 :

u

= u

r

(r, θ)e

r

+ u

θ

(r, θ)e

θ

,

ave :

u

r

(r, θ) =

αp

16λ

AR

2

_{r − (1 + Bθ}

2

_)r

3



et

u

θ

(r, θ) =

αp

16λ

Cθr

3

_,

(A, B, C)

désignant trois onstantes qu'il nousreste àdéterminer.

Cette forme du hamp de dépla ement assurequ'il est inématiquement admissible ave l'unique onditionauxlimites inématique(

u

d

_{(0) = 0}

) toutenrespe tant la symé-trie du problème par rapport à l'axe

θ = 0

. Par linéarité, les deux omposantes de e dépla ement sont proportionnelles au hargement (i ile gradient thermique

αp

4λ

). L'emploi du prin ipe de minimum (2.4) ave la ondition aux limites

T

d

_{= 0}

se réduitalorsà her herlestrois onstantes

(A, B, C)

minimisantlepotentiel.Le hampde dépla ement(etdon ladéformation)dépendantlinéairementde es oe ients,l'énergie potentielleestuneformequadratiquedes oe ients

(A, B, C)

.Cestrois oe ientssont don solution d'un système linéaire à trois équations qu'on peutinverser aisément. On obtient :

A = 4(1 − ν)



1 +

4λ

pR

2

∆T

R



,

B =

5

8

3 − 34ν

5(1 − 2ν) + (5 − 2ν)θ

2

m

et

C = −

7

4

.

Cettesolution appro hée donne d'ex ellentsrésultats omme entémoigne laFigure2.2. Sur ettegure sont représentées les variations radiales du dépla ement tangentiel pour diérentesvaleursdel'angle

θ

(

0 ≤ θ ≤ θ

m

).Lesprédi tionsdel'appro heproposéesont omparéesà lasolutionderéféren eétablie parun al ulélémentsnis. On onstateun trèsbon a ordentre ette solutionet lasolutionéléments nis.

Anoter queledépla ement tangentielestnégatif dansle as onsidéré. Il n'yadon pasde onditionsde onta tunilatéral(entrefragmentsvoisins)àtraiterdans e as.Dès qu'ilyafermeturedujeupastille-gaineenrevan he,ilfauttenir ompted'unepressionde onta tenpériphériepastillequivainduireunezonede onta tinter-fragment(...)Cette solutionadon étéamélioréepourtenir omptedesdiérentessolli itationsapparaissant en réa teur (fermeture du jeu pastille-gaine, gonement d'irradiation, ..., voir Masson (2006)etBaron et al.(2008)).

Bienqu'appro hée,laformedu hampdedépla ementestnéanmoinstrèsinstru tive. D'unepart,on onstatequeledépla ementradial (quipilotel'a roissementdediamètre du rayon ombustible)dépend audeuxièmeordrede l'angle

θ

.Lapousséedelapastille

1

Comme pré édemment, nous négligeons les variations radiales de la déformation selon l'axe du ylindre (déformations planes) ainsique les variationsaxiales du dépla ement radial à l'origine de la

Fig. 2.2  Dépla ement tangentiel en fon tion du rayon (

0 ≤ r ≤ 4

mm) pour diérentes valeursdel'angle

θ

(

θ = 0

(rayon0 orrespondantàl'axedesymétrie dufragment)à

θ = θ

m

(ssure délimitant le bord extérieur du fragment) dans une pastille de dioxyde d'Uranium (régime nominal,jeu pastille-gaine ouvert) : omparaisonderésultats exa ts(éléments nis) à euxobtenusgrâ eaumodèlesemi-analytiquedéveloppé(é helle=millimètre).

surla gaineest don relativement homogène sur lagaine. Desur roît, seulle oe ient

B

dépend de la taille du fragment (

θ

m

) alors que la ontribution

Bθ

2

est du deuxième ordre. L'eet de la taille du fragment sur la déformation radiale est don , elles aussi, du deuxièmeordre. Enrevan he,l'ouverture

̟(r)

desfragmentsde pastille(voirFigure 2.3), pilotée par la omposante tangentielle du dépla ement, dépend linéairement de la taille dufragment selon :

̟(r) =

αp

8λ

|C| θ

m

r

3

_.

Or, ette ouverture dans le plan

(r, θ)

, ombinée à la mise en diabolo de la pastille dansleplan

(r, z)

,est lafor emotri ede l'intera tion pastille-gainepouvant onduire à l'apparitiondessuresdanslagaine. Lerésultat obtenupermet don de mieuxappré ier l'eet de lataille du fragment sur ette for e motri e : toutes hoses étant égales par ailleurs(propriétésmé aniquesdelapastille, onta tpastille-gaine, ...),nous onstatons qu'unediminutiondelatailledufragmentestsus eptibledediminuerlerisquederupture danslagaine.

Fig. 2.3  Ouverture entrefragmentsdepastille: lesdépla ementstangentielsdes deux frag-mentsreprésentés onduisentàuné artementdesbordsextérieursde esfragments.Un dépla- ementtangentielnul orrespondàunezonede onta tentre fragments.

2.2 Le problème d'Eshelby

2.2.1 Rappels

Comme Eshelby (1961), on onsidère par la suite un milieu inni obéissant à un omportement élastiquelinéaire,

L

désignant letenseur d'ordrequatredesmodules élas-tiques. Si on soumet une région ellipsoïdale

Ω

de e milieu à une déformation libre uniforme(déformation thermique,gonement,...)

ε

0

,ladéformationrésultante, notée

ε

est, elle aussi,uniforme dans

Ω

etégale à

S

: ε

0

(

ε

ij

= S

ijkl

ε

0

kl

ave sommation sur les indi es répétés), expression dans laquelle

S

est un tenseur du quatrième ordre, appelé aussiletenseur d'Eshelby(

S

ijkl

désignent ses omposantes dansunrepère artésien).

Cetenseurd'Eshelbyprésenteleshabituellessymétriesmineures

S

ijkl

= S

jikl

= S

ijlk

maisn'obéitpasdefaçongénéraleauxsymétriesmajeures(

S

ijkl

6= S

klij

).C'estpourquoi onemploiesouvent letenseurdeHill(1965), noté

P

etdénipar

S

= P : L

.Cetenseur

P

présentel'intérêt d'obéirauxsymétriesmineuresetmajeures(voirl'annexe Cde Bor-nert (1996)). Comme e tenseur

P

relie la déformation de l'in lusion à la polarisation asso iéeà

ε

0

(

p

0

_{= −L : ε}

0

) 2

,onappelle e tenseur

P

letenseur de polarisation deHill. Diérentesexpressions de e tenseur depolarisation deHill sont disponibles dansla bibliographiesur lesujet.Enparti ulier (voir Willis(1981)) :

P

=

1

4π|ζ|

Z

||w||=1

M

_{(w) ||ζ}

−1

w

_||

−3

dS

w

(2.6) ave : 

M

ijkl

(w) =

1

4



A

−1

_jk

w

i

w

l

+A

−1

ik

w

j

w

l

+A

−1

jl

w

i

w

k

+A

−1

il

w

j

w

k



,

A

désignantletenseur a oustique (

A

ik

= L

ijkl

w

j

w

l

); 2

Eneet,ladéformationdel'in lusion estégaleà

S

: ε

0

_{= P : L : ε}

0

_{= −P : p}

0



ζ

letenseurdudeuxièmeordre ara térisant lagéométriedel'ellipsoïde onsidéré:

||ζw|| ≤ 1

,l'origine étant prise au entre del'in lusion.

2.2.2 Motivations

Si lemilieu inni onsidéré estanisotrope,l'expression algébriquedu tenseur de po-larisation deHill dépend d'uneintégrale double(Mura, 1982). Diérentesméthodes nu-mériques ont été proposées pour al uler es intégrales doubles (autant d'intégrales que de omposantes!). Or, ommeillustrésurlaFigure2.4, eproblèmed'Eshelbyestutilisé pour al uler des bornes (Hashin and Shtrikman (1963), Ponte Castañeda and Willis (1995)) oudes estimations (Kröner (1958), Mori and Tanaka (1973)) du omportement ee tif dematériaux hétérogènes.

Dans beau oup de as linéaires, le milieu inni sera isotrope et les in lusions sphé-riques ou sphéroïdalesauxquels as, letenseur de polarisation de Hill peut être al ulé expli itement (voir Ponte Castañeda and Willis (1995) pour le as d'in lusions sphé-roïdales). Dans le as d'un milieu inni isotrope (modules de isaillement et de om-pressibilité

(µ, k)

)etd'une in lusion sphérique,letenseur d'Eshelbya pour expression :

S

=

3k

3k + 4µ

J

+

6(k + 2µ)

5(3k + 4µ)

K,

(2.7) ave

I

= J + K

,

I

ijkl

=

1

2

(δ

ik

δ

jl

+ δ

il

δ

jk

)

et

J

ijkl

=

1

3

δ

ij

δ

kl

.

Cependant, même dans le as élastique linéaire, on peut ren ontrer des situations de symétrie plus omplexes. Par ailleurs, omme rappelé plus haut, les méthodes d'ho-mogénéisation dans le as non linéaire pro èdent généralement par linéarisation de la loi de omportement non linéaire (Milieu Linéairede Comparaison). Lesdiérentes mé-thodes de linéarisation proposées (voir Rekik et al. (2007)) onduisent à despropriétés élastiques fortement anisotropes. Par exemple, pour une linéarisation tangente (Moli-nari et al. (1987),Lebensohn and Tomé (1993), Rougier et al. (1994), Ponte Castañeda (1996)) d'une loi de omportement isotrope non linéaire (voir se tion 4.1), les tenseurs des modules linéarisés exhiberont au mieuxune symétrie de révolution(autour de l'axe detra tion).Dans e as,l'intégraledoublepeutêtreréduiteàuneintégralesimple(voir Kneer(1965)ave des orre tionsdansHut hinson(1976),voiraussiLinandMura(1973) pourunerédu tionsimilairedansle asd'in lusionssphéroïdalesplongéesdansunmilieu inni de symétrie ubique). Dans le asgénéral (matériauxpoly ristallins texturés, ...), les phases duMilieuLinéaire de Comparaisonauront un omportement obéissant à une anisotropiebeau oupplus générale.

En pratique,le al ulnumérique de esintégrales doubles(voirBrenneret al.(2004) pour une omparaison de diérentes méthodes de quadrature) réduit signi ativement les performan es entermes detemps al uldessimulations envisagéeset onstitue don un des verrous à l'utilisation plus intensive de es méthodes d'homogénéisation (dans les odesde al ulde stru ture,par exemple). Comment faire sauter e verrou?Mura (1982)avaitdéjàsuggéré detirerprotde lathéoriedesrésidus,pourréduire ette

inté-Fig.2.4Uneestimation(estimationauto ohérente(Kröner(1958)))etdesbornes(Hashinand Shtrikman(1963))dontle al ulutiliselasolutionduproblèmed'Eshelby.Pourunedéformation ma ros opiqueimposéeaubordduVER

ε

,lesmoyennesparphasedesdéformationssontégales auxdéformationsdesin lusionsreprésentatives.Anoterquedansle asdesbornesdeHashinet Shtrikman,la déformationappliquéeloin del'in lusion

ε

0

est hoisiedefaçonàassurer quela moyennedesdéformationsdans haquephaseestégaleàladéformationma ros opiqueimposée. Dansle asdumodèleauto ohérent,lemodule ee tif

L

˜

her héest solutionde

P

r

L

r

_{: (Q +}

L

r

)

−1

= ˜

L

: (Q + ˜

L)

−1

, le tenseur du quatrième ordre

Q

dépendant de

L

˜

et du tenseur de polarisationdeHillasso iéà ettepropriétéee tiveetàlaformedesin lusions,

Q

= P

−1

_{− ˜}

_L

( 'estletenseurd'inuen edeHill).Labornesupérieured'HashinetShtrikmanest obtenueen hoisissant

L

+

_/−

ommelaplusgrande(ausensdesformesquadratiquesasso iées)desrigidités desdiérentesphases(notée

L

+

dans equisuit).Cettebornepourlemoduleee tifestdonnée par:

L

HS+

₌

P

r

c

r

(Q + L

r

)

−1



−1

− Q

, letenseur duquatrième ordre

Q

faisantà nouveau référen eaumodule dumilieuinni

L

+

et autenseurdepolarisationasso ié,

Q

= P

−1

_{− L}

+

. Inversement,laborneinférieure onduità hoisirlaplusfaibledesrigiditésdesdiérentesphases.

pour dériverdes expressions expli ites de lafon tion de Green en fon tion des ples de l'intégrande(les valeurspropresde Stroh).Plusré emment,Suvorovand Dvorak (2002) ont dérivé desexpressions expli itesdu tenseur de polarisation de Hill dansle as d'in- lusions de formes ylindrique ou disk-shaped (voir aussi Grues u et al. (2005)). Ma ontribution à e sujet(Masson (2008)) sepla edansle asleplus général possible (sy-métrie quel onque du milieu inni et in lusion ellipsoïdale). Elle a débuté par l'étude du as bidimensionnel, nettement plus simple, situation pour laquelle j'ai pu al uler expli itement les diérentes omposantes du tenseur

P

(voir Masson (2008)pour la

dé-monstration et les expressions détaillées). Dans le as tridimensionnel, les expressions sont ertes plus lourdes mais j'ai pu réduire l'intégrale double à une intégrale simple (voir2.2.3).

2.2.3 Nouvelle expression en 3D

On peutmontrer (voir, par exemple, Suvorov and Dvorak (2002)) 3

que l'expression pré édente(2.6) dutenseur de polarisationde Hillest équivalenteà :

P

=

1

4π

Z

||x||=1

M(ζx)dS

x

.

(2.8)

On en déduit quedans les axes prin ipaux de larégion ellipsoïdale

Ω

onsidérée (

ζ

ij

=

1

a

i

δ

ij

),les omposantes dutenseur de polarisation de Hillpeuvent être al ulées par les intégrales doubles suivantes

P

ijkl

=

1

4π

Z

π

θ=0

Z

2π

φ=0

M

ijkl

(y(θ, φ))sin(θ)dθdφ,

(2.9)

leve teur

y

étant dénipar :

y

1

=

sin(θ)cos(φ)

a

1

, y

2

=

sin(θ)sin(φ)

a

2

, y

3

=

cos(θ)

a

3

.

L'inversion du tenseur a oustique intervenant dans l'expression de

M

revenant à diviserla matri e des o-fa teurs par ledéterminant de

A

,les intégrandes apparaissant dans (2.9) sont en fait des fra tions rationnelles dépendant de

(cos(φ), sin(φ))

et de

(cos(θ), sin(θ))

.Si,on onsidèreà présentles fon tionsde l'angle

φ

:

P

_(φ)ijkl

=

1

2π

Z

π

0

M

_ijkl

(θ)sin(θ)dθ,

(2.10)

(expression danslaquelleladépendan ede l'intégrande vis-à-visde l'angle

φ

a étéomise an d'alléger les notations), le hangement de variables

t = 1/tan(

θ

2

)

permet deréduire l'expression del'intégrale pré édente

P

φ

à:

P

_(φ)ijkl

=

1

2π

Z

+∞

0

t p

ijkl

(

t

2

₋₁

2t

)

(1 + t

2

₎

2

_q(

t

2

₋₁

2t

)

dt,

expression danslaquelle

p

ijkl

et

q

sont des fon tions polynomiales de degré sixdont les oe ients dépendent desdiérentes omposantes dutenseur desmodules, de l'angle

φ

3

Pour passer del'expression (2.6) à l'expression (2.8) , ilfaut ee tuer le hangement de variable

x

=

_||ζ

−1

1

w

||

ζ

−1

_w

etdelaforme de l'ellipsoïde 4

.

Si

Im(z)

et

Re(z)

désignentrespe tivementlespartiesimaginaireetréelledunombre 4

Envoi ilesexpressionsenfon tiondesmodules

L

,del'angle

φ

etdesdeuxve teurs

n

= (0, 0,

1

a

3

)

et

m

= (

cos(φ)

a

1

,

sin(φ)

a

2

,

0)

.Lepolynmededegrésix

q(z)

estdénipar:

q(z) =

i=6

X

i=0

q

i

z

i

,

q

6

= ε

mnl

Q

m1

Q

n2

Q

l3

,

q

5

= ε

mnl

(Q

m1

(S

n2

Q

l3

+ Q

n2

S

l3

) + S

m1

Q

n2

Q

l3

),

q

4

= ε

mnl

(Q

m1

(S

n2

S

l3

+ Q

n2

T

l3

+ T

n2

Q

l3

) + S

m1

(Q

n2

S

l3

+ S

n2

Q

l3

) + T

m1

Q

n2

Q

l3

),

q

3

= ε

mnl

(Q

m1

(S

n2

T

l3

+ T

n2

S

l3

) + S

m1

(S

n2

S

l3

+ Q

n2

T

l3

+ T

n2

Q

l3

) + T

m1

(Q

n2

S

l3

+ S

n2

Q

l3

)),

q

2

= ε

mnl

(Q

m1

T

n2

T

l3

+ S

m1

(S

n2

T

l3

+ T

n2

S

l3

) + T

m1

(Q

n2

T

l3

+ T

n2

Q

l3

+ S

n2

S

l3

)),

q

1

= ε

mnl

(S

m1

T

n2

T

l3

+ T

m1

(S

n2

T

l3

+ T

n2

S

l3

)),

q

0

= ε

mnl

T

m1

T

n2

T

l3

,

ave :

Q

ik

= L

ijkl

n

j

n

l

= L

i3k3

n

2

3

,

S

ik

= R

ik

+ R

ki

,

R

ik

= L

ijkl

n

j

m

l

= L

i3k1

m

1

n

3

+ L

i3k2

m

2

n

3

,

T

ik

= L

ijkl

m

j

m

l

= L

i1k1

m

2

1

+ (L

i1k2

+ L

i2k1

)m

1

m

2

+ L

i2k2

m

2

2

.

Lepolynomededegrésix

p

ijkl

(z)

estdénipar:

p

ijkl

(t) =

u=4

X

u=0

( ˆ

A

u

jk

n

i

n

l

+ ˆ

A

u

ik

n

j

n

l

+ ˆ

A

u

jl

n

i

n

k

+ ˆ

A

u

il

n

j

n

k

)

|

{z

}

p

u

(1)ijkl

t

6−u

+

u=4

X

u=0

( ˆ

A

u

jk

(n

i

m

l

+ n

l

m

i

) + ˆ

A

u

ik

(n

j

m

l

+ n

l

m

j

)

+ ˆ

A

u

jl

(n

i

m

k

+ n

k

m

i

) + ˆ

A

u

il

(n

j

m

k

+ n

k

m

j

))

|

{z

}

p

u

(2)ijkl

t

5−u

+

u=4

X

u=0

( ˆ

A

u

jk

m

i

m

l

+ ˆ

A

u

ik

m

j

m

l

+ ˆ

A

u

jl

m

i

m

k

+ ˆ

A

u

il

m

j

m

k

)

|

{z

}

p

u

(3)ijkl

t

4−u

= p

0

(1)ijkl

t

6

+ (p

1

(1)ijkl

+ p

0

(2)ijkl

)t

5

+ (p

2

(1)ijkl

+ p

1

(2)ijkl

+ p

0

(3)ijkl

)t

4

+ (p

3

(1)ijkl

+ p

2

(2)ijkl

+ p

1

(3)ijkl

)t

3

+ (p

4

(1)ijkl

+ p

3

(2)ijkl

+ p

2

(3)ijkl

)t

2

+ (p

4

(2)ijkl

+ p

3

(3)ijkl

)t + p

4

(3)ijkl

(2.11) ave :

ˆ

A

0

ij

=

1

2

ε

ikl

ε

jmn

Q

km

Q

ln

,

A

ˆ

1

ij

=

1

2

ε

ikl

ε

jmn

(Q

km

S

ln

+ S

km

Q

ln

),

(2.12)

ˆ

A

2

ij

=

1

2

ε

ikl

ε

jmn

(Q

km

T

ln

+ S

km

S

ln

+ T

km

Q

ln

),

A

ˆ

3

ij

=

1

2

ε

ikl

ε

jmn

(S

km

T

ln

+ T

km

S

ln

),

ˆ

A

4

ij

=

1

2

ε

ikl

ε

jmn

T

km

T

ln

.

omplexe

z

, ette dernièreintégralepeutêtre simpliéeàl'aide duthéorèmedesrésidus et du lemmede Jordan(voir, par exemple,Carrier et al. (1966))pour donner:

P

(φ)ijkl

=

1

4π

Im



ı p

_ijkl

(ı)

q(ı)



−

3

X

u=1

Re

h

2ln z

u

+

p1 + z

u

2

−ıπ



p

_ijkl

(z

_u

)

(1+z

2

u

)

3

2

q

′

(z

_u

)

i

!

,

(2.13)

(z

1

, z

2

, z

3

)

étant les ra ines omplexes ave partie imaginaire positive de l'équation sex-tique

q(z) = 0

et

z → ln(z)

lavaleurprin ipale du logarithmenaturel.

Finalement, l'expression des diérentes omposantes du tenseur de polarisation de Hill

P

seréduit auxintégrales simplessuivantes:

P

ijkl

=

1

8π

Z

2π

0

Im



ı p

ijkl

(ı)

q(ı)



−

u=3

X

u=1

Re

h

2ln z

u

+

p1 + z

u

2

− ıπ



p

_ijkl

(z

_u

)

(1 + z

2

u

)

3

2

q

′

(z

_u

)

i

!

dφ.

(2.14)

A noterque ette expressionn'est valable quesi lesra ines dela sextique

q(z) = 0

sont simples.Diérentesexpression alternativessont donnéesdanslaplupart des as dégéné-réspossibles(Masson (2008)).

2.2.4 Résultats

Si

N

φ

et

N

θ

désignent respe tivement les nombres de pas d'intégration surles deux angles d'Euler

φ

et

θ

,letemps de al ulasso iéàl'intégration usuelle estproportionnel au produit

(N

φ

∗ N

θ

)

tandis qu'il estproportionnel à

N

φ

ave l'expression réduite pro-posée. Le rapport destemps de al ul (noté

ξ

) entre la méthode réduite et la méthode habituelle varie don en

1

N

θ

. Néanmoins, il faut souligner que le al ul de l'intégrande asso iéà la nouvelle expressionproposée demande plus d'opérations que le al ul habi-tuel.Une appli ation numérique était don bienné essairepour vérierl'e a ité dela méthode proposée.

Pour ela,ona onsidéréune matri eà symétrie ubique(

L

1122

L

1111

= 0.57

,

L

1212

L

1111

= 0.49

) etune in lusionsphéroïdale(

a

2

= a

3

= 1

),l'anisotropieétant ontrléeparleparamètre géométrique

a

1

. Toutes les opérations d'intégration sont ee tuées par la méthode des trapèzesave lesmêmesexigen esdepré ision.Pourdiérentsrapports

a

1

/a

3

,lenombre d'intégrations né essaires pour atteindre le niveau de pré ision exigé

(N

φ

, N

θ

)

a été dé-terminé (résultats reportés dansle tableau 2.1). Comme attendu, plus l'anisotropie est forte, plus e nombre depasestimportant.Nousavonsaussireportédansletableau2.1 le ratio des temps de al ul

ξ

. On onstate tout d'abord que, quand

a

1

/a

3

= 1

,

ξ

est supérieur à

1/N

θ

= 1/32 ≈ 0, 03

. Ce résultat montre bien que l'intégrande asso ié à la

l'intégrande asso iéà l'expressionusuelle maisreste plus e a e qu'une intégration nu-mérique(

ξ

reste inférieurà

1

!). Par ailleurs,onretrouve bienque

ξ

dépend linéairement de

1/N

θ

etque erapportdé roîtsigni ativement quandlerapportdeforme

a

1

/a

3

roît de

1

à

100

. Ces résultats mettent bien en éviden e l'e a ité de la méthode proposée, enparti ulier, lorsquel'anisotropie devient forte.

I i,l'anisotropieétait ontrléeparlaformedel'ellipsoïde.Cependant,dessituations deforteanisotropiesontaussiren ontréesdansbiend'autresappli ations omme l'homo-généisation de matériaux présentant un omportement non linéaire (voir, par exemple, les travaux de Ghahremani (1977)). L'apport de la méthode proposée reste don très général.

Tab. 2.1  Nombre de pas d'intégration

(N

φ

, N

θ

)

et rapport des temps de al ul (

ξ

) en fon tion duparamètre d'anisotropie

a

1

/a

3

a

1

/a

3

1 10 100

N

φ

64 256 1024

N

θ

32 128 512

ξ

0,16 0,04 0,011

2.2.5 Con lusions

Comme illustré dans le paragraphe pré édent, le gain sur le temps de al ul de es nouvellesexpressionsestsigni atif,enparti ulierdansdessituationsdefortes anisotro-pies. Les nouvelles expressions proposées sont don d'un grand intérêt pour la miseen ÷uvrenumérique desméthodes d'homogénéisation.

Parailleurs,parmilesperspe tivesdetravauxsur ettequestion,onpeut iterl'étude des asparti uliers(le asin ompressible,parexemple,quiestutilepourl'étudedes mi-lieux hétérogènes vis oplastiques) ainsi que l'extension aux expressions en vitesse du tenseur

P

(SuvorovandDvorak(2002)).Cesdernières expressionspermettentde traiter lessituationspour lesquellesunedesphasesvoitses propriétésélastiques évoluer ave le temps (parl'intermédiaire de latempérature dansle asd'un hargement thermomé a-nique parexemple).

Les nouvelles expressions proposées pourraient aussipermettre de al uler plus e- a ementlesmomentsd'ordredeuxdes hampsmi ros opiques(parexemplelamoyenne de

σ

ij

σ

kl

sur une des phases onstituant le VER), quantité d'intérêt pour la modélisa-tion des omportements non linéaires omme nous le verrons dans le hapitre 4. Pour les méthodes d'estimation ourantes (modèle auto ohérent par exemple), e al ul des momentsd'ordredeuxné essiteee tivementdedériverletenseurdepolarisationdeHill parrapportautenseurdesmodulesélastiquesatta héaumilieuinni(voirBrenneretal. (2004)pour plus dedétails). Onpourraitdon tirerprot del'expression réduite(2.14) (ou de l'expression établie dans le as bidimensionnel dans Masson (2008)), pour déri-verdire tement la relation

P

(L)

.Pour une omposante

L

mnpq

dutenseur desmodules,

ettedérivéené essiterané essairementde al uler

∂z

s

∂L

mnpq

,letriplet

(z

1

, z

2

, z

3

)

désignant les ra ines omplexes de la sextique dénie dans la se tion i-dessus. Pour al uler es quantités, il sut deremarquerque :

s = 1...3 :

q

0

+

i=6

X

i=1

q

i

z

s

i

= 0,

de sorte que:



_X

i=6

i=1

i q

i

z

i−1

s



∂z

_s

∂L

mnpq

= −

i=6

X

i=0

∂q

i

∂L

mnpq

z

_s

i

.

A noterennquelaméthodedéveloppée dans e travailadepuis étéemployée (Bar-thélémy (2009)) ande al uler lespropriétés ee tivesde milieux élastiquesssurés.

2.3 Cal uls de mi ro-stru ture sur maillages libres

2.3.1 Motivations

Les al uls de VER (par la méthode des éléments nis par exemple) présentent un avantage majeur par rapport aux méthodes d'homogénéisation : 'est un problème de stru ture qui présente ertes des onditions aux limites parti ulières ( onditions en ontrainte ouen déformation homogènes au bord du VER ou onditions depériodi ité) maisqui peutêtre traité omme unproblème destru ture habituel telque dénipar la minimisation (2.2) . C'est pourquoi un mé ani ien des stru turess'intéressant aussià la mé anique desmatériauxhétérogènes sauraaisément appréhender untel al ul.

Cette apparente (et relative) simpli ité a he en réalité des di ultés qu'il ne faut pas oublier. En pratique, un al ul de VER est limité par un nombre de degrés de liberté maximal, dépendant de la ma hine utilisée (et don de l'annéedu al ul ...), de la stratégie de al ul (parallélisation, ...), ... Pour un trajet de hargement donné, on peut en parti ulier se demander quelle est l'inuen e de la taille du VER (nombre de parti ulespourun omposite,nombredegrainspourunagrégat,...)surlerésultatnal. Par ailleurs, lors de l'étape de représentation du matériau hétérogène onsidéré, on va établir un modèle de mi ro-stru ture et don faire des hypothèses (forme des phases, taille minimale, ...). Quelles sont les onséquen es de es hypothèses sur le résultat du al ul?

Cesdi ultésétantintimementliéesàlareprésentationdis rètedelami ro-stru ture (mailles ou voxel), Toulemonde (2006) propose de disso ier la question du maillage de elledu al ul, ommed'autresauteursauparavant(voirZohdiandWriggers(2001)dans le as élastique linéaire ou même Barbe et al. (2001) dansle as d'agrégats de ristaux élastovis oplastiques). Si, pour simplier, on onsidère un matériau biphasé onstitué d'unematri e(phasenotée(m)parlasuite)etd'in lusions(notées(i)).Laméthodologie proposée initialement dans Toulemonde (2006) onsiste à mailler (en vue d'un al ul élémentsnis) une mi ro-stru ture etae terà emaillage :

 mailles ontenuesdanslamatri e :moduleélastique delamatri e (

L

m

);  mailles ontenuesdansles in lusions:moduleélastique desin lusions(

L

i

); Resteà dénirle omportement desmailles intermédiaires( elles ayant desn÷udsdans la matri e et les in lusions). Dans e qui suit, nous supposerons qu'il n'y a qu'un seul typedemaillesintermédiairesetnousnotons

V

2

,levolume onstituéparlesmailles inter-médiaires(fra tionvolumique

c

2

) et

V

1

elui onstituédesmaillesdontle omportement est lairement déni (fra tionvolumique

c

1

= 1 − c

2

).

Le hoix le plus naturel onsiste à ae ter à esmailles intermédiaires le omporte-mentdelaphaselaplusmolleou eluidelaphaselaplusrigide.Leproblèmedestru ture estalorsbienposéetonobtient ainsiunen adrementdu omportementee tif. C'estle StrengtheningTheoremétablipar Hill(1963). Or,on onnaîtdans evolume

V

2

les fra -tions volumiquesdes phases en présen e. Onaimerait pouvoir utiliser ette information pouraméliorerl'en adrementdu omportementee tif.Lesprin ipauxrésultatsobtenus