Simulation des écoulements de polymères branchés avec le modèle pom-pom

Texte intégral

(1)Simulation des écoulements de polymères branchés avec le modèle pom-pom Amine Ammar, Arnaud Poitou, Francisco Chinesta. To cite this version: Amine Ammar, Arnaud Poitou, Francisco Chinesta. Simulation des écoulements de polymères branchés avec le modèle pom-pom. Rhéologie, Groupe français de rhéologie, 2002, 1, pp.1-10. �hal00020732�. HAL Id: hal-00020732 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00020732 Submitted on 31 Mar 2018. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) 1. Simulation des e´ coulements de polymères branchés avec le modèle pom-pom Amine Ammar, Arnaud Poitou LMT-Cachan (E.N.S. de Cachan / Université Paris 6 / C.N.R.S.) 61 Avenue du Président Wilson / 94235 CACHAN CEDEX [email protected], [email protected]. Francisco Chinesta LMSP-ENSAM Paris 151 Boulevard de l’Hôpital / 75013 PARIS [email protected]. Reçu le 16 octobre 2001 - Version finale acceptée le 4 décembre 2001 —————————————Résumé: Dans le but de simuler l’extrusion de polymères, nous utilisons le modèle pom-pom pour décrire le comportement en e´ coulement. Ce modèle décrit l’état du polymère avec deux variables moléculaires : l’étirement et l’orientation des chaˆınes. Nous proposons une partition des déformations e´ lastiques et visqueuses qui permet d’obtenir un problème elliptique relatif aux e´ quations d’équilibres. Dans les simulations numériques, une méthode explicite a e´ té utilisée avec une technique d’éléments finis pour résoudre le problème cinématique et une technique de Galerkin discontinue pour résoudre les problèmes de convection. Nous observons sur un exemple de contraction tridimensionnelle les champs de vitesse et d’étirement. Mot-clés: Extrusion, e´ coulement viscoélastique, modèle pom-pom, simulation 3D, partition des déformations. Abstract: In order to simulate extrusion processes the pom-pom model has been chosen to describe the fluid viscoelastic behavior. This model describes the state of the polymer with two molecular variables : chain orientation and stretch. An elastic-viscous strain splitting is proposed, which allows to obtain an elliptic problem related to the motion equations. In numerical simulations, an uncoupled resolution strategy is used, with a mixed P1+/P1 finite element approximation for the flow kinematics and a discontinuous Galerkin method to solve the advection equations usually involved in the constitutive laws. Velocity and stretch field are shown in the case of the 3D contraction.. 1. Introduction Le comportement viscoélastique d’un polymère branché peut eˆ tre décomposé en ensemble de modes. Chaque mode traduit le comportement d’une structure topologique particulière. Dans chaque structure on a une branche centrale et des ramifications aux extrémités (figure 1). Si on s’intéresse a` un seul mode, le modèle est déterminé géométriquement par la longueur de la branche centrale , la longueur des bras et le nombre de branches . L’existence de deux points d’enchevêtrement sur la chaˆıne lui offre la possibilité d’être e´ tirée. Considérons, pour décrire l’orientation, la vision de chaˆınes linéaires en reptation et le modèle de tube. Si l’existence de branches aux extrémités bloquait le mouvement de reptation, le seul mouvement qui serait possible serait celui d’un.

(3) . . . Figure 1. Modèle pom-pom [ 1]. solide. En réalité, la reptation reste possible avec un seuil d’énergie a` franchir. C’est a` dire qu’une fois que les chaˆınes sont suffisamment e´ tirées, les branches pénètrent dans le tube et abandonnent la partie de leur tube initial en revenant. Nous pouvons donc reprendre l’équation intégrale du modèle de Doi et Edwards [ 2] en utilisant un temps de relaxation qui dépend.

(4) 2 de la reptation des bras dans le tube, l’orientation est donnée par : . . .

(5) . . . . . ,. 3 2. .10. -/.. $&. 0. !. & '. ' $(*). #%$&. . . & ". où. . . $. (1) +. 65. 4. (2). . Le temps de relaxation dépend du temps de re laxation des bras qui, a` son tour, est fonction de la pénétration !7 des bras dans le tube. L’évolution du tenseur d’orientation, sous l’hypothèse d’une relation de fermeture, s’écrit sous la forme d’équation différentielle par : . . . grad 8 4 ;. . 5 9. <. grad 8 9. =. grad 8. :. " . ;. . >@? ". . (3). 4 ;. <. Nous remarquons que l’existence du terme = grad 8 permet au tenseur d’orientation de garder une trace unitaire. L’étirement de la chaˆıne se fait en suivant l’équation différentielle : A. . . . grad 8. <B. " . A. @C. . " . # 2. A. . (4). A. L’é tirement est toujours possible tant que la branche centrale n’a pas atteint la limite (la valeur de représente aussi bien le nombre de branches que la limite d’étirement). Si , la pénétration 7 s’active et est donnée par A : " D7 E <6 7 grad 8 (5) 4 5 4 F7 . Enfin, les contraintes sont calculées grâce a` : G. . IH. ". "KJ 5 0 ,MLON. . 0. A. . P 5 4. 4. D7 65. IH. "KJ ". . . . (6) où est un module d’élasticité. En général, LON le temps de relaxation le plus lent est celui de l’orientation, ensuite c’est celui de l’étirement. Enfin, la pénétration peut eˆ tre parfois tellement rapide que son temps de relaxation puisse eˆ tre négligé devant les deux autres. L’utilisation d’une version simplifiée du modèle pom-pom revient a` ne pas prendre en compte le troisième mécanisme, celui de la pénétration. Ceci ne veut surtout pas dire qu’on néglige ce mécanisme, car c’est lui le responsable de la reptation, par contre. . P=. 0 .. 5 ,QLON. '. '. G. . on considère qu’il se fait très rapidement par rapport aux deux autres. Ainsi, le temps de relaxation est constant et les contraintes s’écrivent [ 1]: P. (7). A. 2. Problème et objectif de la simulation La structure topologique des polymères est telle que l’histoire subie par le matériau influe sur son comportement. Cet effet mémoire, ou encore viscoélastique, peut se mettre en e´ vidence au travers d’écoulements simples (cisaillement simple, e´ longation simple) où le champ de vitesses est connu. L’étude devient cependant plus délicate si le champ de vitesses est inconnu [ 1]. Plusieurs méthodes ont e´ té développées pour traiter les problèmes d’écoulements viscoélastiques avec des lois de comportement différentielles. Après les méthodes mixtes [ 3] et les méthodes E. V. S. S. (Elastic Viscous Split Stress)[ 4] [ 5] [ 6], les méthodes D. E. V. S. S. (Discrete Elastic Viscous Split Stress) [ 7] ont montré plus de robustesse pour traiter les problèmes visco-élastiques. Elles sont en général couplées a` des techniques des Galerkin a` interpolation discontinue entre les e´ léments pour traiter les e´ quations a` caractère hyperbolique [ 8] [ 9] [ 10]. L’objectif de ce travail est de recaler une nouvelle formulation de comportement rhéologique exprimée a` l’aide de variables moléculaire par rapport aux modèles de la littérature dans le cadre de l’extrusion. Si nous voulons maintenant simuler le comportement du modèle pom-pom avec une e´ quation de type (7) (qui donne l’expression des contraintes en fonction de l’orientation) couplée a` l’équation d’équilibre, nous n’obtenons pas un système elliptique en vitesse (c’est a` dire, nous obtenons un système qui n’admet pas de dérivée seconde en vitesse). Le problème tel qu’il est défini est difficile a` résoudre. L’une des solutions proposée par Bishko et al. [ 11] C consiste a` rajouter un solvant de viscosité R . Ainsi les contraintes deviennent données par : G. . SH. " 5. 4 R. CT. "KJ ,. . =. 0 .. 5 LON. A. . (8). Nous sommes bien sûr d’accord sur le fait que le rajout d’une viscosité artificielle peut eˆ tre un remède aux conséquences de la relation de fermeture qui donne un adoucissement de comportement aux forts taux de cisaillement [ 12]. Mais il est décevant que ce terme supplémentaire porte toute l’ellipticité du problème. Nous préférons obtenir le terme elliptique sans changer les lois de comportement initiales..

(6) 3 Par ailleurs, nous observons que dans les conditions statiques le tenseur des extra-contraintes n’est pas nul, mais proportionnel au tenseur d’orientation " >@? isotrope ( ). Ce qui veut dire que la pression de la relation (8) n’est pas la pression hydrostatique. 3. Une partition des déformations en simulation numérique 3.1. Partition e´ lastique - visqueuse des déformations Dans le but de donner un caractère elliptique au problème d’écoulement viscoélastique, l’idée de notre partition e´ lastique - visqueuse consiste a` rée´ crire la forme différentielle de l’équation d’évolution du tenseur d’orientation (3). Soit une. nouvelle dérivée convective qui, en plus de la convection, permet aux tenseurs dérivés de garder une trace unitaire.. . . grad 8 . . grad 8 4 ;. 5 . L’équation d’évolution de. . ε Figure 2. Modèle de Maxwell en petites perturbations. . est la viscosité,. et on définit le temps de relaxation avec. . . ;. . . =. grad 8. . (9). . grad 8 . (10). grad 8 . :. 4 . T. . ; .. . ". >@? " 5. . . . ? 4. ;. " . >@? . . T. (11). Un rapprochement avec le cas de Maxwell en petites perturbations On peut trouver une analogie entre cette e´ quation et le modèle de Maxwell en petites perturbations (figure 2). En effet dans ce dernier modèle on a :. . . 5. G L. où. . 5. . G. Revenons maintenant au modèle pom-pom et réexprimons les contraintes. Celles ci peuvent s’exprimer en fonction des déformations e´ lastiques par : G. SH. ". J. 0 .. 5. 4. L. N. . est le tenseur des taux de déformations visqueuses, est le module e´ lastique,. .. ?. ; 4. . ". >@? . (15). A. On retrouve ici le tenseur de pression hydrostatique pour un tenseur d’orientation isotrope 1 . Les contraintes peuvent aussi s’exprimer en fonction des taux de déformations visqueuses par : G. . SH. ". " ! # %$ & 5. . .. est le tenseur des taux de déformations e´ lastiques,. L. et le taux de déformations visqueuses.. (12). . (14). . Mise en e´ quation 2. l’équation (9) devient e´ quivalente a` :. . S5. . ". . . . On retrouve alors une forme analogue a` celle de ; l’équation (11) en faisant une analogie entre . T " >@? et la déformation e´ lastique ou encore entre

(7). . .. alors, le modèle de Maxwell s’écrit : :. > ? @ ". . . . se rée´ crit alors :. " . <.

(8) . Comme les contraintes sont liées aux déformations e´ lastiques et aux taux de déformations visqueuses selon : G et G (13). Or, comme. . εv. L. . εe. . '. T . . ; .. . " . >@? . (. A. (16) L’expression (16) nous donne une dépendance directe entre les contraintes et les taux de déformation; elle résout au moins analytiquement notre problème de départ.. )+*. est ici différente de la pression de l’équation (7)..

(9) 4 Dans une résolution explicite, si nous voulons calculer le champ de vitesses et de pression, nous de" 5 vons résoudre a` l’itération pour un champ d’orientation donné et un champ d’étirement le problème décrit par : A div 8 " 5 4 T P R 8 div SH (17)

(10) 4 A div R. . . A. ' . Or, nous avons a` l’itération ; " >@? .. . . (. . . . . T. : ". . . ?. . . 4. ;. . ". >@? . (18) Le problème devient donc : div 8 " 5 4 T R div SH T 4

(11) A . div R. . . . . 8 ;. .. . . P . ". >@? . Algorithme 1 Algorithme de résolution d’un problème viscoélastique en extrusion Répète 5 Déterminer les champs 8 et H vérifiant : 2 H H div 8 T P6< " 5 4 8 H R 4 R T A

(12) . ; " >@? < A (20) Calcul des e´ tirements sur chaque e´ lément avec une interpolation A constante par e´ lément et discontinue aux interfaces. Calcul des orientations sur chaque e´ lément avec une interpolation constante par e´ lément et discontinue aux interfaces. Calcul des orientations a` trace unitaire. Jusqu’à Etat stationnaire. . . la résolution des e´ quations se fait de manière découplée : on résout les e´ quations d’équilibre et d’incompressibilité, ensuite les e´ quations d’évolution de l’orientation et de l’étirement, T le tenseur des taux de déformations est calculé a` partir du champ de vitesses a` l’itération précédente et non pas a` partir d’une nouvelle variable.. 3.2. Méthode de résolution numérique Nous désignons par le terme “extrusion” un problème dans lequel tous le domaine est occupé par le fluide et dont l’objectif et de trouver l’état stationnaire a` partir d’un e´ tat initial au repos. Nous maintenons la forme simplifiée du modèle pompom (avec simplement l’étirement et l’orientation et sans pénétration des branches). Dans ce cas, l’utilisation d’un schéma explicite et le découplage de la résolution des e´ quations ne posent pas de problème particulier (c’est l’équivalent d’une méthode de point fixe lors d’une itération d’un algorithme couplé). Nous utilisons l’algorithme (1) pour la résolution d’un problème d’extrusion.. . . . . . . A (19) Finalement, comme dans les méthodes D. E. V. S. S., l’équation d’équilibre du système (19) est e´ quivalente a` l’équation (15) a` laquelle on a rajouté aux deux termes de l’égalité un tenseur d’extra-contraintes relatif aux taux de déformations visqueuses, qui ne s’exprime pas dans le même temps de discrétisation. Cette première forme de partition admet deux différences par rapport a` l’utilisation usuelle des méthodes D. E. V. S. S. :. . Nous utilisons des e´ léments bulles P1+/P1 pour résoudre le problème mixte en vitesse pression. Nous appliquons une technique de Galerkin discontinue avec une interpolation constante par e´ lément pour traiter l’évolution des champs d’orientation et d’étirement. Remarque L’utilisation d’éléments tétraédriques (ou triangulaires en 2D) permet d’affiner localement le maillage contrairement aux e´ léments rectangulaires qui imposent plus de régularités sur le maillage. Nous notons aussi que l’utilisation d’un mélange d’éléments rectangulaires et triangulaires peut eˆ tre une solution pour affiner régulièrement un maillage (voir [ 9] par exemple). La résolution de l’équation d’orientation grâce a` un schéma explicite ne conduit pas a` un tenseur rigoureusement a` trace unitaire. Nous pouvons alors résoudre dans un premier temps [ 11] : " " >@? 5 grad 8 grad 8 : (21) et calculer a` chaque itération l’orientation par : . . Tr . (22). Il est a` noter qu’il existe une relation entre les temps de relaxation des e´ quations (21) et (3) pour qu’elles soient e´ quivalentes..

(13) 5. Dans la première itération, nous effectuons un calcul newtonien.. Remarque Pour le traitement du tenseur des taux de déformations du second membre, une possibilité consiste a` l’exprimer directement a` partir des champs de vitesses a` l’itération précédente : T T 8. Dans notre cas nous choisissons de l’exprimer, comme le tenseur d’orientation, constant par e´ lément. T est calculé sur chaque e´ lément par : Donc T. . T . . . . 8. $. $. . . Il est a` noter que dans ce cas l’intégration des dérivées de la fonction d’interpolation bulle s’annule.. 3.3. Choix de la viscosité arbitraire 1. Imaginons que nous n’ayons pas effectué la partition des déformations. Dans ce cas, nous aurions du introduire une viscosité arbitraire R telle que : G. . . . SH. . . ". 4. !. 5 . R . . 4. ?. T ;. 8. . . . 4 . R. . T. >@? ". 5. (23). A. D’après Baaijens et al. [ 13] [ 14], l’optimum de cette viscosité est obtenu quand les contributions visqueuses et e´ lastiques sont du même ordre de grandeur, ce qui se traduit dans notre cas par : R. !. Ceci donc nous rassure A sur le choix de dans nos e´ quations d’équilibre. R. . A. 2. Les auteurs de [ 15] utilisent une viscosité adaptative dans une variante A. V. S. S. (Adaptative Viscous Split Stress) de la méthode E. V. S. S.. Dans ce qu’ils proposent, la viscosité dépend du nombre de Weissenberg dans chaque e´ lément du maillage. Dans notre cas, nous adaptons seulement la viscosité en fonction de l’étirement car celuici influe sur le module d’élasticité . Nous obtenons par conséquent une répartition de la viscosité qui n’est pas la même dans tous le domaine (car, si on prend l’exemple de l’écoulement entre deux plans parallèles, il existe plus d’étirement a` coté des parois qu’au centre).. !. 3. Essayons de justifier autrement l’expression de la viscosité [ 16]. L’expression (23) peut eˆ tre obtenu a` partir de notre partition si on suppose que le tenseur des taux de déformations est approché avec une expression semi-implicite en" tre les itérations 5 et : 5 " T T T . . . ". avec . Si on substitue cette expres2 sion dans l’équation (16) et si on utilise ensuite l’équation (11) alors on obtient :

(14)

(15) " !#$&%('

(16) )*+,-%.#/' 0

(17) # 1 2!(#43(5768:9.; < =?>?@

(18) 5A B

(19) 2!(#+% '

(20) IJ 2!(#+% '

(21) C D.E F C D.E F HG HG LMOK N7P Q(RS ! R :T

(22) U VWX# (24). . Comme traduit l’approximation dans le temps T de entre les instants actuel et précédent, correspond a` nous concluons que R R " ou encore a` une expression implicite de A T . Nous avons vérifié numériquement, pour un problème d’extrusion bidimensionnel entre deux plans parallèles, qu’on a : $$ 8. . Y 4Z. . []^ \ 8. . $$(%$$ 8. . Y 4Z. . $$ $$. . 8 #. [^ ". . $$. . où 9 désigne une norme vectorielle (ici somme des carrés des composants), 8 Y _Z désigne le champ de vitesses obtenu en utilT isant comme variable (ce qui constitue pour nous la solution de référence) et 8 [ est le champ de vitesses associé a` une viscosité R arbitraire R . A. . . ". En conclusion notre partition ( ) utilisée avec le moindre coût (avec un schéma explicite) est la plus proche de la méthode D. E. V. S. S. 4. Application a` la contraction tridimensionnelle Le problème de la contraction tridimensionnelle est défini par la figure 3. Nous imposons a` l’entrée un profil de vitesses parabolique de vitesse maximale cJc > J d sur l’axe à $ b et une vitesse nulle aux parois. Les temps de relaxation en e´ tirement et en C " ? 4 , . La 9 9 s et orientation sont " fe viscosité initiale vaut R Pa.s et la J . La première itération limite d’étirement est A.

(23) 6 est résolue de manière newtonienne, on démarre sans e´ tirement et avec un champs d’orientation isotrope et on impose ces mêmes conditions au cours du calcul comme conditions au bord d’entrée. Les figures 3 et 4 montrent la géométrie de la contraction e´ tudiée et le maillage du domaine de simulation. Les figures 5, 6 et 7 montrent les champs de vitesses sur des sections particulières et les figures 8, 9 et 10 montrent l’étirement moléculaire. A l’issu de ces résultats nous nous posons principalement la questions suivante sur cette contraction tridimensionnelle : Est ce que le champ de vitesses qu’on obtient représente une vraie recirculation ou un mouvement hélico¨ıdal [ 17]? Notre manière de réaliser la simulation aujourd’hui ne nous permet pas de conclure. Peut eˆ tre l’utilisation des méthodes particulaires pourrais donner plus d’information sur ce caractère.. 7.. 8.. 9.. 10.. 5. Conclusion En conclusion, l’utilisation des e´ léments P1+/P1 permet de localiser les singularités dans des e´ coulements où la géométrie présente des angles vifs. Cependant il est possible que ce type d’éléments ne soit pas le plus adapté a` de tels problèmes d’extrusion. L’utilisation d’autres méthodes (par exemple les méthodes particulaires) peut s’avérer utile dans ce cas.. 11.. 12.. REFERENCES 1. T. C. B. McLeish and R. G. Larson. Molecular constitutive equations for a class of branched polymers : the pom-pom polymer. J. Rheol., 42(1), 81–110, 1998. 2. M. Doi and S. F. Edwards. J. Chem. Soc. Faraday transaction II, 74, 1789–1818, 1975. 3. J. M. Marchal and M. J. Crochet. A new mixed finite element for calculating viscoelastic flow. J. Non-Newt. Fluid Mech., 26, 77–114, 1987. 4. D. Rajagopalan, R. C. Armstrong, and R. A. Brown. Finite element method for calculation of steady viscoelastic flow using constitutive equations with a newtonian viscosity. J. Non-Newt. Fluid Mech., 36, 159–192, 1990. 5. M. J. Szady, T. R. Salmon, A. W. Liu, and R. A. Brown D. E. Bornside, R. C. Armstrong. New mixed finite element method for viscoelastic flows governed by differential constitutive equations. J. Non-Newt. Fluid Mech., 59, 215– 243, 1995. 6. F. P. T. Baaijens. Numerical experiments. 13.. 14.. 15.. 16.. 17.. with a discontinuous galerkin method including monoticity enforcement on the stick-slip problem. J. Non-Newt. Fluid Mech., 51, 141–159, 1994. R. Guenette and M. Fortin. A new mixed finite element method for computing viscoelastic flows. J. Non-Newt. Fluid Mech., 60, 27–52, 1995. F. P. T. Baaijens, S. H. A. Selen, H. P. W. Baajens, G. W. M. Peters, and H. E. H. Meijer. Viscoelastic flow past a confined cylinder of a low density polyethylene melt. J. Non-Newt. Fluid Mech., 68, 173–203, 1997. F. P. T. Baaijens. An iterative solver for the DEVSS/DG method with application to smooth and non-smooth flows of the upper convected maxwell fluid. J. Non-Newt. Fluid Mech., 75, 119–138, 1998. A. C. B. Bogaerds, W. M. H. Verbeeten, G. W. M. Peters, and F. P. T. Baaijens. 3d viscoelastic analysis of a polymer solution in a complex flow. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 180, 413–430, 1999. G. B. Bishko, O. G. Harlen, T. C. B. McLeish, and T. M. Nicholson. Numerical simulation of the transient flow of branched polymer melts through a planar contraction using the pom-pom model. J. Non-Newt Fluid Mech., 82, 255–273, 1999. G. Marrucci. Dynamic of entanglement: A nonlinear model consistent with the cox-merz rule. J. Non-Newt. Fluid Mech., 62, 270–289, 1996. F. P. T. Baaijens, W. M. H. Verbeeten, and G. W. M. Peters. Analysis of viscoelastic polymer melt flow. In XIIIth International Congress on Rheology, Cambridge, UK, 2000. A. C. B. Bogaerds, W. M. H. Verbeeten, and F. P. T. Baaijens. Successes and failures of discontinuous Galerkin methods in viscoelastic fluid analysis, pages 264–270. Springer, 1999. J. Sun, N. Phan-Thien, and R. I. Tanner. An adaptative viscoelastic stress splitting scheme and its applications : Avss/si and avss/supg. J. Non-Newt. Fluid Mech., 65, 75–91, 1996. A. Ammar, A. Poitou, and F. Chinesta. Some numerical difficulties in the flow front treatement of explicit eulerian formulations of viscoelastic flows. In ESAFORM-4 p. 43-46, 2001. I. Sirakov, A. Ainser, and J. Guillet. Three dimensional numerical simulation of viscoelastic planar contraction flow. In ESAFORM, 2001..

(24) 7. . . .

(25) . . . Figure 3. Définition de la géométrie du problème tridimensionnel. Figure 4. Maillage du quart du domaine de contraction.

(26) 8. Figure 5. Champ de vitesses au plan de symétrie. Figure 6. Champ de vitesses au travers d’une section.

(27) 9. Figure 7. Champ de vitesse au travers d’une section. . . Figure 8. Champ d’étirement au plan de symétrie.

(28) 10. . . Figure 9. Champ d’étirement au travers d’une section. .

(29) . Figure 10. Champ d’étirement au travers d’une section.

(30)