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C ONTINUITÉ É QUATIONS C ONTINUITÉ É QUATIONS
Un mathématicien est quelqu'un qui prenant une tasse de thé est capable d'en faire une théorie.
Paul Erdös
1 C
ONTINUITÉDans tout ce paragraphe, f désigne une fonction et I un intervalle inclus dans son domaine de dénition.
1.1 Définition Soit a∈I.
Dire quef est continue en asignie que lim
x→af(x) =f(a).
Dire quef est continue sur I signie que pour tout a∈I,f est continue ena.
Dénition 1.
Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction continue peut se tracer sans lever le crayon .
x y
a
Cf
f est continuea.
x y
• a A
Cf
f n'est pas continue en a.
LYCÉEBLAISEPASCAL
1
S.DELOBEL M.LUITAUD
On peut dénir la notion de continuité à droite (respectivement à gauche) lorsque dans la dénition 1 on remplace limite par limite à gauche (respectivement limite à droite).
Par exemple la fonction partie entière, repré- sentée ci-dessous, est continue à droite en tout aentier, mais pas à gauche.
x y
0 1
1
•
•
•
•
•
@
@
@
@
Exercice 1
Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) =
(x+ 2 si x61
−2x+ 5 si x >1 1. Tracer la courbeCf représentant la fonctionf.
2. La fonction f est-elle continue en 1 ? Exercice 2
Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) =
xcos
1 x
six6= 0
0 six= 0
Étudier la continuité de la fonction f en 0.
Exercice 3
Démontrer que la fonction valeur absolue est continue en 0 et non dérivable en 0.
On admet la proposition suivante :
Les fonctions anes, polynômes, sinus, cosinus sont continues surR.
Les fonctions 1
xn (n∈N∗) sont continues sur
−∞; 0
et sur
0 ; +∞
. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de dénition.
La fonction racine carrée est continue sur
0 ; +∞
La fonction exponentielle est continue surR. . La fonction logarithme népérien1est continue sur
0 ; +∞
. Proposition 2.
La somme et le produit de deux fonctions u etv continues surI est continue sur I. Le quotient de deux fonctions u et v continues sur I (avecv qui ne s'annule pas sur I)
est continue sur I.
Siu est continue sur I et si v est continue suru(I) alors la composée v◦u est continue surI.
1. que vous ne connaissez pas encore ociellement.
1.2 Continuité et limites de suites
Soit(un)une suite dénie par la donnée deu0et la relation de récurrenceun+1 =f(un). Si on sait que (un) converge vers un réell et sif est continue en lalors :
d'une part : lim
n→+∞un+1=l d'autre part : lim
n→+∞f(un) =f(l)
donc l=f(l) (par unicité de la limite)
Il reste à résoudre l'équationl=f(l). On dit que lest un point xe de f. Méthode 3.
Exercice 4
Soit (un) la suite dénie paru0= 2 et, pour tout entier n>0, par un+1=√
4un−3. 1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite (un). 2. Démontrer, par récurrence, que pour toutn∈N,16un6un+163.
3. Démontrer que la suite (un) est convergente, puis déterminer sa limite.
1.3 Lien entre continuité et dérivabilité
Sif est dérivable surI alorsf est continue sur I. Théorème 4.
Soita∈I.
Dire que la fonctionf est dérivable enasignie que la fonctionT, dénie pour touthdiérent de 0, avec a+hdansI, parT(h) = f(a+h)−f(a)
h a pour limitef0(a)quandhtend vers 0.
Pour touth6= 0, on a alorsf(a+h) =f(a) +hT(h).
Comme lim
h→0T(h) =f0(a)alors lim
h→0hT(h) = 0et donc lim
h→0f(a+h) =f(a). Posonsx=a+h. Le résultat précédent devient alors lim
x→af(x) =f(a). C'est-à-diref est continue ena.
Preuve
La réciproque est fausse !
La fonction valeur absolue fournit un contre-exemple : elle est continue en 0, mais non dérivable en 0. La fonction de l'exercice2fournit aussi un contre-exemple.
Ce théorème dit aussi que sif n'est pas continue ena, alors elle n'a aucune chance d'être dérivable en a...
La dérivée d'une fonction continue n'est pas forcément continue.
2 F
ONCTIONS ET ÉQUATIONS:
L’
ANALYSE AU SECOURS DE L’
ALGÈBRE Pour certaines équations, les techniques élaborées dans les classes antérieures ne s'appliquent plus. Y a-t-il d'autres moyens d'étudier ces équations ?Par exemple, l'équation x3 −6x2 + 6 = 0 admet-elle des solutions sur R? Si oui, peut-on les déterminer de façon exacte ? Ou tout au moins les localiser ?
Soient aetbréels (aveca < b) et f une fonction continue sur a;b
.
Pour tout réel λ compris entref(a) etf(b), il existe au moins un réelα ∈ a;b que f(α) =λ. tel
Théorème 5 (Théorème des valeurs intermédiaires).
On admet ce théorème2.
f(a) n'est pas nécessairement inférieur àf(b). L'existence de α est assurée par la continuité def.
On n'a pas nécessairement l'unicité de α. D'ailleurs le théorème n'indique pas le nombre de solution de l'équation ni même les valeurs des solutions.
Exercice 5
Montrer que l'équationx3−6x2+ 6 = 0admet des solutions dans [5; 6].
Dans le cas d'intervalles ouverts, on remplace les images par les limites. Ce qui est le cas pour :
a;b ,
a; +∞
, a;b
,
−∞;b ,
−∞;b et
−∞; +∞
Exercice 6
Montrer que toute équation polynômiale de degré 3 à coecients réels admet au moins une solution réelle.
Soientaetbréels (aveca < b) etf une fonction continue et strictement monotone sur a;b
.
Pour tout réelλcompris entref(a)etf(b), il existe un unique réelα∈ a;b
tel que f(α) =λ.
Corollaire 6 (Théorème de la bijection).
À faire.
Preuve
2. La démonstration nécessite des outils mathématiques de niveau Bac+1.
comme pour le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de la bijection s'étend à tout type d'intervalle quitte à remplacer l'hypothèse sur les images par celle sur les limites ;
la stricte monotonie est une condition susante pour l'unicité deα, mais pas nécessaire ; en pratique, la stricte monotonie defest souvent obtenue en la dérivant. Mais le théorème de la bijection n'impose pas la dérivabilité de f : il couvre donc ainsi même les cas où f ne serait pas dérivable3mais juste continue et strictement monotone ;
le théorème de la bijection, comme le théorème des valeurs intermédiaires sont des théo- rèmes d'existence. Ils ne donnent pas la valeur de α. On peut néanmoins la localiser et en donner un encadrement ou une valeur approchée à l'aide de la méthode par balayage ou par dichotomie.
Exercice 7
On donne le tableau de variation d'une fonctionf dénie surR.
x
f(x)
−∞ −1 4 +∞
−∞
−∞
2 2
−5
−5
+∞
+∞
Déterminer le nombre de solution de l'équation f(x)−3 = 0.
Exercice 8
Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) =x−2 +e−x.
1. Démontrer que l'équation f(x) = 2 admet deux solutions dansR.
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10−2 près de chacune des solutions.
3. Notons cependant qu'au lycée, la plupart du temps les fonctions étudiées sont dérivables...
x y
f(a) f(b)
t u
a b
@ A
λ
α
>
∨
Cf
Exercice 9 Dichotomie
1. Montrer que l'équationx3−6x2+6 = 0admet trois solutionsx1,x2etx3surR(x1 < x2 < x3). 2. On souhaite déterminer des encadrements des solutions à 10−4 près en utilisant la dicho-
tomie.
On calcule m le milieu de[a;b].
Sif(m)est positif, c'est que la solution se trouve dans[a;m]: on aecte àbla valeur de m an de pouvoir continuer le processus.
Dans le cas contraire, la solution se trouve dans [m;b]: on aecte àala valeur dem an de pouvoir continuer le processus.
On continue le processus jusqu'à obtenir un encadrement avec la précision voulue.
Méthode 7 (Dichotomie pour une fonction croissante).
a. Faire tourner cet algorithme à la main en complétant le tableau ci-dessous : Départ Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4
a 5 5,5
b 6
b−a 1
m 5,5
f(m)<0 vrai
b. L'algorithme ci-dessous met en ÷uvre la méthode par dichotomie lorsque la fonction est croissante.
Variables : a, b et m sont des réels.
Initialisation : Entrer a et b.
Traitement : Tant que b-a>0,0001
Affecter à m la valeur (a+b)/2
Si f(m)<0 alors affecter à a la valeur m Sinon Affecter à b la valeur de m Fin de Si
Fin de Tant que Sortie : Afficher a et b
Algorithme
Programmer cet algorithme.
À l'aide du programme, donner un encadrement à 10−4 près dex1 et dex3. c. Modier l'algorithme pour qu'il ache un encadrement dex2 à 10−4 près.
3. Déduire des questions précédentes le signe de f.
![EXERCICE 2 : (points) Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)