Invariance de la Gamma-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension 3

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Invariance de la Gamma-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension 3

Benoît Claudon

To cite this version:

Benoît Claudon. Invariance de la Gamma-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension

3. Mathematische Zeitschrift, Springer, 2010, 266 (2), pp.265-284. �hal-00257966�

hal-00257966, version 1 - 20 Feb 2008

Invariane de la

Γ

familles kählériennes de dimension 3

BenoîtClaudon

Résumé

Dansetartile,onétudielespropriétésd'invarianepardéformation

delaΓ^{-dimensiond'unevariété}kählérienneompateX^{,etinvariantbi-}

rationnelontrlantladimensiondessous-variétésompatesmaximales

ontenues dansle revêtementuniverselde X^{. Pour les surfaes kähléri-}

ennes,ettepropriétéd'invarianerésulteimmédiatementd'unthéorème

deY.-T. Siu.En utilisant un théorème de struturede F. Campanaet

Q. Zhang, on montre également l'invariane par déformation de la Γ^-

dimensionpourertaines famillesde variétés kählériennesompates de

dimension3.

Invariane of

Γ

3-folds families

Abstrat

Inthisartile,westudysomepropertiesofdeformationinvarianeof

theΓ^{-dimension(denedfor} X ^{aompat kähler manifold). This bira-}

tional invariant is dened as the odimension of the maximal ompat

subvarietiesinthe universal overof X^{. Inthe surfaease, thedefor-}

mationinvarianeisastraightforwardonsequeneofatheoremofY.-T.

Siu. Using some results from F. Campana etQ. Zhang, we settle this

invarianeforertaintypeofKählerfamiliesofdimension3.

Introdution

Lathéoriedesfontions,ainsiquelastruturedurevêtementuniverseld'une

variété projetive (ou plus généralement kählérienne ompate), sont onje-

turalementdéritesparl'énonésuivant[Sha74℄:

Conjeture 1 (I.R.Shafarevih, 1974)

SoitX ^{unevariétéprojetivederevêtementuniversel}Xe^{.Lavariétéomplexe}Xe

est alors holomorphiquementonvexe;en partiulier, Xe ^{admetune appliation}

propresurunespae de Stein(appeléerédution deRemmertde Xe^).

Adéfautdepouvoironstruireapriori desfontionsholomorphesnonon-

stantessurXe^{,onpeutonstruireunerédutiondeRemmertpour}Xe ^enunsens

biméromorphe:

Si X ^{est une variété} kählérienne ompate, Xe ^{admet une unique appliation}

méromorphe, presque-holomorphe 1

,propre etàbresonnexes

γ_Xe :Xe 99KΓ(X)e

vériant:siZe^estunesous-variétéirrédutibleompatequiinterseteunebre généralede γ_Xe^,alors Ze ^estentièrement ontenue danselle-i.

De façonéquivalente, il existe surX ^{une uniquebration}presque-holomorphe

γX:X 99KΓ(X)

vériant : si Z ^{est une} sous-variété irrédutible passant par un point général

x∈X^{,de normalisée}Zˆ−→Z ^etsatisfaisant àla ondition

Im(π1( ˆZ)−→π1(X) <+∞

Z ^{estalors ontenue dansla breen} x

Z⊂γ⁻¹_X (γX(x)).

Remarque 0.1

Laonjeture1estalorséquivalenteaufaitqueγ_Xe ^{soitholomorpheetque}Γ(Xe)

soitdeStein.

Remarque 0.2

Indépendament,J.Kolláraégalementproposéune onstrutiondeγX ^dansle

asalgébrique. Dans[Kol93℄, elleest notéeShX ^{et prend lenom}d'appliation deShafarevih.

Dans lasuite, onnoteraπ1(Z)X ^{l'imagedumorphisme}π1(Z)−→π1(X)^pour

unesous-variétéZ ^deX ^etπ1( ˆZ)X ^{l'imagedumorphismeinduitparlanormal-}

isationdeZ^.

Lethéorème0.1permetalorsdedénirl'invariantsuivant.

Dénition0.1

OnappelleΓ^{-dimensionde la variété} X ^{l'entier dénipar :} γd(X) = dim(Γ(X))

C'est uninvariantbirationnel qui ne dépendquedurevêtementuniverselde X

(il esten partiulierinvariant souslesrevêtementsétales nisdeX^).

Laquestiondel'invarianepardéformation(quiseposenaturellement)est

soulevée par J. Kollár dans [Kol95, 18.4, p. 184℄ et étudiée dans [dOKR02℄.

Formulonslaexpliitement:

Conjeture 2

LaΓ^{-dimensionest invariantedansune famillede variétés} kählériennes 2

.

1

elasigniequelelieud'indéterminationnes'envoiepassurjetivementsurlabasedela

bration.

2

voirlasetionsuivantepourlesdiérentesnotionsdefamillesutiliséesii.

déformationpourlesvariétés

3 X ^vériant: γd(X) = dim(X).

Les résultats prinipaux développés dans les setions suivantes traitent le

problème de l'invariane par déformation de la Γ^{-dimension pour ertaines}

familles de dimension 3. Ainsi, on démontrera dans et artile les théorèmes

suivants:

Théorème 0.2

Soit π:X−→B ^{une famille de variétés} kählériennes ompates de dimension 3. Si la famille n'est pas de type général (i.e. si les bres ne le sont pas), la

Γ^{-dimensionestonstantedans la}déformation :l'appliation

B∋b7→γd(X_t)

estloalement onstantesurB^.

Deplus,sousréserved'unrésultatonjetural,laonditionγd(X) = 3^{est une}

onditionouvertedansunedéformation:

Théorème 0.3 (énonéonditionnel)

Soit π:X−→D ^{une famille projetive de variétés de dimension 3. Si la bre}

entraleX₀ vérieγd(X₀) = 3^{,lesbresvoisinesde}X₀ sontalors égalementde type π1^{-général :}

γd(X_t) = 3 ^pourtoutt ^{dansunvoisinage de} 0.

Laonjeture dontdépend lethéorèmepréédentpeutseformulerdelafaçon

suivante:

Conjeture 3

SiS^estunesurfaerationnelleet∆^unQ^{-diviseur(dontlesupportestàroise-}

mentsnormaux) de laforme :

∆ =X

j∈J

(1− 1 mj

)∆j ^(avemj≥2 ^desentiers)

tels que κ(S/∆) ≤ 0^{, le groupe} fondamental orbifolde

4 π1(S/∆) ^{est presque}

abélien (i.e. admetunsous-groupe abélien d'indie ni).

Cepapiereststruturédelafaçonsuivante:lapremièresetionestdévolue

àquelquesrappelssurlesfamillesdevariétéskählériennes,l'existened'uneΓ^-

rédutiongénériquedansunetellefamilleainsiqu'àl'expositionduasdessur-

faeskählériennes.Ladeuxièmepartieaurapourobjetifdemontrerlethéorème

0.2; pour ela, nous nous appuyerons sur un théorème de struture dû à F.

Campana et Q.Zhang.Enn, nousétudierons pluspréisémentlesvariétésde

dimension3vériantγd(X) = 2^{pourendéduirelethéorème0.3.}

3

esvariétéssontditesdetypeπ₁^{-général;voirlasetion2.}

4

voirlasetion3.

1 Propriétés relatives de la

Γ

1.1 Struture loale des familles de variétés kählériennes

Onrappelleii quelques notionsde base sur les famillesde variétéset sur

lastruture loale deelles-i lorsqu'elles sontsuposéeskählériennes.Dans un

souideomplétude,nousredonnonségalementladémonstrationd'unénonéde

ompaitérelativedansl'espaedesyles(pourlesnotionsonernantl'espae

desylesetsatopologie,onrenverrasystématiquementà[Bar75℄et[Lie78℄).

Dénition1.1

Une famille de variétés omplexes est un triplet (X, B, π) ^{dans lequel} X et B

sont desvariétésomplexes et

π:X−→B

unesubmersionholomorphepropredontlesbressontdesvariétésonnexes(et

ompates parpropretéde π^).Lafamille(X, B, π)^{est dite:}

1. kählériennesitouteslesbres dela famillelesont.

2. projetive s'ilexiste unbré endroites A ^surXqui estπ^-ample.

Remarque 1.1

Si π : X−→B ^{est une famille projetiveau-dessusd'une base Stein, onpeut}

toujoursseramener(et 'estequel'onferadanslasuite)auasoùlebréA

est amplesurX.

Lastrutureloale(surlabase)d'unefamilledevariétéskählériennesesten

faitassezsimple:ondisposed'unemétrique"relativementkählérienne".

Proposition1.1

Soit π:X−→B ^{une famille de variétés} kählériennes ompates et b ^unpoint

de B^{. Il existe alors un voisinage (que l'on peut supposer ontratile)} U ^de b

dans B ^et ω ^{une métrique} hermitiennesurX =X_U =π⁻¹(U)^{qui se restreint}

en une métrique kählérienne sur haque bre de la famille π : X −→ U ⁽i.e.

d(ω|Xu) = 0 ^pourtoutu∈U^).

Démonstration :

Onpeutfailements'enonvainreenexaminantladémonstrationduthéorème

de Kodaira surlespetites déformationsdes variétéskählériennes,parexemple

elle proposéedans [Voi02, th. 9.23, p. 222℄.On y onstruit la métriquepour

montrerquelesbresvoisinesdeX_b sontkählériennes.

Dansettesituation,lespropriétésdeompaitérelativedesylessontpréservées

ommelemontrelapropositionsuivante(enomparaisondelasituationabsolue

oùU ^{estréduitàunpoint[Lie78℄).}

Proposition1.2

Si π :X −→ U ^{est une famille de variétés} kählériennes ompates omme i- dessus(U ^{estontratileet}X ^{estmunid'unemétrique}ω ^{quiserestreintenune}

métriquekählériennesurhaquebre),lesomposantesirrédutiblesdeC(X/U)

sont alors U^{-proprespourla projetion}

π∗:C(X/U)−→U

i-dessusestmiseendéfautommelemontrel'exempledeD.Lieberman(ibid^).

Nousredonnonsladémonstrationdeettepropositionfautederéférenesdans

lalittératureexistante.

Démonstration :

CommeU ^{estontratile,lelemme}d'Ehresmann(voir[Voi02, prop.9.3,p.

209℄)montrealorsquelabrationesttopologiquementtriviale:

X ^ϕ //

π@@@@@@

@@ X0×U

pr2

{{

wwwwwwwww U

oùϕ^estundiéomorphismeet0∈U ^{unpointbasequelonque.En}partiulier, lesalgèbresdeohomologieH^•(Xu)^(pouru∈U^)sontanoniquementisomor- phes à H^•(X)^{. Si} ωu ^{désignela restritionde} ω ^{àla bre} Xu^, ωu ^{dénit une}

lasse dans H²(Xu) ^{(ar elle est} d^{-fermée) et elledénit don égalementune}

lasse[ωu]∈H²(X)^.

Soitmaintenant(Ct)t∈T ^{unefamilleanalytiquede}n^{-yles(relatifs)paramétrée}

parunespaeirrédutibleT ^{et supposonsque}

∀t∈T, u(t) =π∗(Ct)∈K

aveK ^unompatdeU^{.Levolumeest alorsdonné par:}

Volω(Ct) = Z

Ct

ωⁿ= Z

Ct

(ωu(t))ⁿ= [Ct]∧[ωu(t)]ⁿ

oùleproduitd'intersetionestalulé(parexemple)dansH^•(X)^.Maislorsque u^déritK^,[ωu]^{dérit unepartiebornéede}H²(X)^{(parompaitéde}K^)etil

estbienonnuquedans,unefamilleirrédutible,lalassed'homologieestxée:

on endéduit que levolumedela familleVolω(Ct)^{est borné.D'autrepart,les}

supports des yles Ct ^{sont ontenus dans le ompat}π⁻¹(K)^{. On peut alors}

appliquer [Lie78℄et onlurequelafamille(Ct)t∈T ^{est ontenuedansunom-}

patdeC(X)^;ommeC(X/U)^{estfermédans}C(X)^,(Ct)t∈T ^{estontenuedans}

unompatdeC(X/U)^{etelamontrelapropretéde}π∗^{enrestritionauxom-}

posantesirrédutibles.

1.2

Γ

Rappelonstout d'abordque laonstrutiondelaΓ^{-rédutionpeutsefaire}

enfamillemais,apriori,seulementgénériquement:

Proposition1.3

Soitπ:X−→B ^{une famillede variétés} kählériennesompates. Ilexistealors

Γ(X/B)^{unespaeomplexenormaletundiagramme :} X_ _ _ _^γπ_ _ _//

π

>>

>>

>>

>> Γ(X/B)

{{ φ

wwwwwwwww B

danslequelφ^{estsurjetifet tellequepour}b∈B ^{général,larestritionde} γπ ^à

X_b :

γπ|X_b :X_b99KΓ(X/B)

soit la Γ^-rédutionde X_b. Démonstration :

On applique les théorèmes 2.2 et 2.7 de [Cam04℄. On pourra également

omparerà[dOKR02,rk.2.7℄

Onpeutmaintenant,grâeàlaproposition1.2 i-dessus,montrer unepro-

priété desemi-ontinuitéinférieure delaΓ^{-dimensionauours d'unedéforma-}

tion.

Théorème 1.1

Siπ:X−→B ^{estunefamilledevariétés}kählériennesompatesetsid^désigne

la valeur générale de la Γ^{-dimensionde la famille}π^,alors d= max

b∈B γd(X_b)

Démonstration :

Notons n ^{la dimension relative de} X sur B ^{et xons} b ^{un point de} B ^et U ^{un voisinage ontratile (par exemple un} polydisque) de b ^{omme dans la}

proposition 1.1. On notera enore X la restrition de la famille π ^{au dessus}

de U^{. Commel'espae} C_n−d(X/U)^{n'a qu'un nombreau plus} dénombrable de omposantes irrédutibles, il en existe une que l'on notera C qui ontient les bresdeγX_u ^pouru^{généraldans}U^{.Or,d'aprèsla}proposition1.2,l'appliation

π∗:C−→U

est propre don en partiulier fermée. D'autre part, π∗(C) ^{ontient le sous-}

ensemble dense des points généraux i-dessus; on en déduit don que π∗ ^est

surjetive.Au dessus dupoint b^, C_b =π⁻¹_∗ (b)^{est donun} sous-ensembleana- lytiquede C_n−d(X_b)^{dontuneomposante}irrédutibleaumoins doitêtreou- vrante(pourX_b).Ilnousrestemaintenantàvérierl'armationsuivante:les (omposantes irrédutiblesdes)yles (Zt)t∈T ^{de dimension}n−d^paramétrés

paretteomposanteirrédutiblevérientdon

Im(π1( ˆZt)−→π1(X_b))<+∞

En eet,sionadmetlefaiti-dessus,onendéduitimmédiatement(pardéni-

tiondel'invariantγd^):

∀b∈B, γd(X_b)≤d

Onvaenfaitmontrerquelesomposantesirrédutiblesdesimagesréiproques

(dansXf_b)desyles(Zt)t∈T ^{sontompates(equi estéquivalentà}l'assertion i-dessus). Si onseplae audessus d'un voisinageompat K ^de b^{, levolume}

des ylesdeC_K =π_∗⁻¹(K)^{parrapport àlamétrique} ω ^dela proposition 1.1 est uniformémentmajoré:

∀Z∈C_K, Volω(Z)≤M

paruneonstante M >0^.PourlesylesZ ^{qui sontlesbresdes}Γ^-rédution

deX_u (u∈K ^généraletu6=b^{),onadonégalement:} Volω˜(Z^j)≤M^′

oùω˜ ^{estl'imageréiproquede}ω ^surXe (lerevêtementuniverseldeX)etZ˜^{j une}

omposante irrédutible de l'imageréiproquede Z ^dans Xe. La onstante M^′

vérieenfaitM^′ =N M ^ave

N =^Card(π1(Z)^X)

(etentiernedépendpasde Z ^{génériquedans lafamille}C_K).En passantàla limite, onendéduit quelessous-variétésZ˜t

j

(t∈T^)defX_b ontunvolumeni; un argument standardde géométrie bornée (voir [Gro91, p. 288-289℄) montre

alorsquelesZ˜t j

sontompates.

1.3 Invariane dans le as des surfaes

Rappelons pour nir que la Γ^{-dimension est eetivement invariante dans}

lesfamillesdesurfaeskählériennesmaise pourdesraisonstenantaufaitque

ladimensionestpetite.Eneet,d'aprèsunthéorèmedeY.-T.Siu,lapropriété

γd(X) = 1^{nedépendquedugroupe}fondamentaldeX ^:

Théorème 1.2 ([Siu87℄)

Si X ^{est une variété} kählérienne ompate, alors γd(X) = 1 ^{si et seulement}

si π1(X)^est ommensurable 5

augroupe fondamental d'une ourbe C ^{de genre} g≥1^.

Les onditions γd(X) = 0 ^et γd(X) = 1 ^{ne dépendent don que du groupe}

fondamental deX^.

Corollaire1.1

SiX ^estunesurfaekählérienneompate,laΓ^-dimensiondeX ^nedépendque

dugroupefondamental ('esten partiulieruninvariant topologique de X^).

Notons queein'estbien entendu plusvalable endimensionsupérieure.Con-

sidérons en eet A ^{une variété projetive lisse de dimension} n ≥ 4 ^{telle que} γd(A) =n^,X ^{unesetionhyperplanede}A ^etZ ^{unesetionhyperplanede}X^.

SiY ^{estobtenueommesetionhyperplanede}P²×Z^{,onvériefailementque} X ^etY ^{sontdeuxvariétésprojetivesdedimension}n−1^vériant:

γd(X) =n−1^et γd(Y) =n−2.

Or,desappliationrépétéesduthéorèmedeLefshetzmontrentque

π1(X)≃π1(Y)≃π1(A).

Ainsi, X ^et Y ^{sontdeux variétésprojetives(de dimensionaumoins 3) ayant}

desgroupesfondamentauxisomorphesmaisdeΓ^{-dimensiondiérentes.}

Corollaire1.2

Si (X, B, π)^estune déformation de surfaeskählériennes audessusd'une base

B ^{onnexe, la} Γ^{-dimension estinvariante dans la famille. En d'autres termes,}

l'appliation

B∋b7→γd(X_b)

estonstantesurB^.

5

onrappellequedeuxgroupesG^etH ^sontditsommensurablessiilspossèdentdessous- groupesd'indiesnisG₁⊂G^etH₁⊂H isomorphes.

D'après le orollaire 1.1, la Γ^{-dimensionne dépend que dugroupe fonda-}

mental pourunesurfaekählérienneompate.Or,dansune famille(X, B, π)^,

lesbressontdeuxàdeuxhoméomorphesd'oùl'invarianepardéformation.

Dans les as des familles de dimension 3, nous sommes don fae àla di-

hotomie suivante : γd(X) = 2 ^ou3^{; dihotomie que nousallons étudierdans}

lessetionssuivantes.

2 Variétés de type

π

2.1 Un résultat de struture

RappelonsquelesvariétésX ^vériantγd(X) = dim(X)^{sont ditesdetype} π1^{-général(voir[CZ05℄et [Cam95,th.4.1℄ pourlajustiationdeette termi-}

nologie).Lastruture deesvariétésest onjeturalementdérite parl'énoné

suivant.

Conjeture 4 ([Kol93℄,[CZ05℄)

Une variété kählérienne ompate X ^{de type} π1^{-général vérie} néessairement

κ(X) ≥ 0 ^{et, à revêtement étale ni et} transformation birationnelle près, X

admet une submersionen toresf :X −→Y ^{surune variété} Y ^{de type général}

etde type π1^-général.

Dans le as projetif, ette onjeture est une onséquene de la onjeture

d'Abondane et desrésultatsdeBogomolov-Yausurlesvariétésàbré anon-

ique trivial. Nous rappelons ii le résultat prinipal de [CZ05℄ qui établit la

onjeture4endimension3.

Théorème 2.1

Soit X ^{une variété} kählérienne ompate de dimension 3ave γd(X) = 3^{. On}

aalors κ(X)≥0^{et de plus,àrevêtementétaleni près,} X ^estbiméromorphe 1. soitàAlb(X)×Alb(J(X))J(X)

2. soit àune submersion en surfaesabéliennes surune ourbe de genreau

moins2.

Enpartiulier,toujoursàrevêtementétaleniprès,labrationd'Iitaka-Moishezon

JX :X −→J(X)^de X ^est(biméromorpheà)unesubmersion entoresetJ(X)

estde type général etde typeπ1^-général.

Les propositions suivantes (immédiates ave le théorème i-dessus) isolent les

asκ(X) = 1^{et 2.}

Proposition2.1

Soit X ^{kähler ompate de dimension 3 vériant} γd(X) = 3 ^et κ(X) = 1^{. A}

revêtementétaleni près, X ^{admet une submersionen toressurune ourbe} J :X −→C

vériantg(C)≥2^et,siT ^{désignelabrede} J^,lemorphismeπ1(T)−→π1(X)

estinjetif.

Soit X ^{kähler ompate de dimension 3 vériant} γd(X) = 3 ^et κ(X) = 2^{. A}

revêtementétaleni près, l'appliation d'Albanese de X ^est

1. soitisotrivialesuruneourbeelliptiqueavepourbreunesurfaedetype

π1^-général.

2. soitunebrationsurunesurfaedetypeπ1^{-généraldontlabregénérale}

F ^vérieπ1(F)X ^{estungroupeinni(avelanotationintroduiteaprèsla}

remarque0.2).

3. soitgénériquement niesurson image.

Pournire paragraphe,rappelonslesfaitssuivants(quinousserontutiles

ultérieurement)onernantl'appliationd'Albanese.Sionnote

αX :X −→Alb(X)

l'appliationd'AlbanesedelavariétéX ^etαd(X) = dim(αX(X))^sadimension

d'Albanese,ondisposealorsdesrésultatssuivants.

Proposition2.3 (prop. 1.4,p. 267 [Cat91℄)

La dimension d'Albanese est un invariant topologique (et même un invariant

d'homotopie).

Proposition2.4

SoitX ^{une variété}kählérienne ompate.Onaalors

γd(X)≥αd(X).

Démonstration :

L'imagedeαX^estunesous-variétédutoreAlb(X)^{etelleestdondetype}π1^-

général.CommelaΓ^{-dimensionest roissante sousles}appliations surjetives, onabien

γd(X)≥αd(X).

2.2

Γ

Danseparagraphe,nousétablissonsunesortederéiproqueàlaonjeture

4.

Proposition2.5

SiunevariétékählérienneompateX ^{admetunesubmersionentores}f :X −→

Y^{,on aalors:}

γd(X)≥dim(f) +γd(Y).

Enpartiulier, X ^{estde type}π1^{-général si}Y ^l'est.

Le omportement de la Γ^{-dimension dans une bration} f : X −→ Y ^entre

variétés kählériennes ompates est en eet assez diile à dérire en toute

généralité.Onsaiteneetqueγd(X)≥γd(Y)^{mais,même silabre générale} F ^de f ^vérieγd(F)>0^, l'inégalitéi-dessusn'estpasnéessairementstrite.