det(aji)1≤j≤l1≤i≤l >0, ∀l ∈J1, nK

Licence Mathématiques et Gestion Mathématiques pour l’actuaire Année 2013-2014

Feuille d’exercices no 3 Analyse matricielle

Toutes les matrices considérées dans cette feuille sont carrées, de taillen.

Rappels.1. La notationA >0signifie queA∈M_n(R)est symétrique et queσ(A)⊂(0,∞). 2. SiAest symétrique, alors nous avons lecritère de Laplace

A >0 ⇐⇒ det(a^j_i)^1≤j≤l_1≤i≤l >0, ∀l ∈J1, nK.

3. Toute matriceAest trigonalisable sous laforme de Jordan. En particulier, il existeP inversible etT triangulaire telles queA=P T P⁻¹, avec :

a) Sur la diagonale deT, on ait les valeurs propres deA(multiplicité comprise).

b) Sij 6=ietj 6=i+ 1, alorst^j_i = 0. c) On aittⁱ⁺¹_i ∈ {0,1},∀i∈J1, n−1K. 4. Lerayon spectrald’une matrice est

ρ(A) := sup{|λ|;λ ∈σ(A)}.

Exercice 1.La matrice Aadmet une factorisationLU si on peut écrire A = LU, avecLtrian- gulaire inférieure etU triangulaire supérieure.

1. Montrer que la matriceA :=

0 1 1 0

n’admet pas de factorisationLU.

2. SoitA > 0. Montrer, par récurrence surn, queAadmet une factorisationLU. [On pourra utiliser le critère de Laplace.]

Si, de plus, on exigelⁱ_i = 1,∀i∈J1, nK, alors la factorisation est unique.

3. Expliquer comment résoudre le systèmeAx=bà partir de la factorisationA=LU. 4. Ecrire, sous R, un programme pour résoudre le systèmeU y =c.

Exercice 2.

1. Rappeler le procédé de Gramm-Schmidt dans Rⁿ. Quelles sont ses entrées ? Ses sorties ? Peut-on le modifier afin que la sortie soit une base orthonormée deRⁿ?

2. En appliquant le procédé de Gramm-Schmidt modifié aux colonnes de A, montrer que toute matrice A a une factorisation A = QR, avec Q orthogonale et R triangulaire supé- rieure.

3. RésoudreAx=bà partir de la factorisationQR.

Exercice 3.SoitA >0.

1. Montrer, par récurrence surn, queAadmet une factorisation de CholeskyA =R^∗R, avec Rtriangulaire supérieure. [On pourra utiliser le critère de Laplace.]

2. Si, de plus, on exigerⁱ_i >0,∀i∈J1, nK, alorsRest unique.

Exercice 4.Trouver « les » factorisationsA=LU,A=QRetA=R^∗RdeA= 1 1

1 2

.

Exercice 5.(Formule du rayon spectral) SoitA∈M_n(R). Soitk k(ou| |) une norme surRⁿ. Nous notons encorek k(ou| |) la norme matricielle subordonnée.

1. Siλ∈σ(A), alorskAⁿk ≥ |λ|ⁿ. 2. En déduire queρ(A)≤ lim

n→∞kAⁿk^1/n ≤ kAk(à supposer que la limite existe).

3. On suppose vrai le résultat suivant : (P) si on se donneε >0, alors il existe une norme| | telle que|A| ≤ρ(A) +ε. Montrer la formule

ρ(A) = lim

n→∞kAⁿk^1/n (quelle que soit la norme). (A)

4. Soitδ >0. Montrer queAs’écrit sous la formeA=P T P⁻¹, avecT triangulaire supérieure, et|t^j_i|< δsij > i. [On pourra s’inspirer de la forme de Jordan.]

5. AvecP =col(f₁, . . . , f_n)comme dans la question précédente, examinerkAkpour la norme

n

X

j=1

x_jf_j

:= max

j∈J1,nK

|x_j|.

6. Conclure.

Exercice 6.SoitA >0.

1. Trouver les valeurs deαtelles que la méthode itérativede Richardson, consistant à prendre M =αI_n, converge.

2. Y a-t-il unαqui semble meilleur que les autres ?

Exercice 7.Mettre en œuvre, sous R, la méthode de Gauss-Seidel.

Exercice 8.Etudier la méthode itérativedes relaxations successives: on décomposeA > 0sous la forme A = D+L+U (comme dans la méthode de Gauss-Seidel), puis on considère la méthode itérative

(x^k+1 =αy^k+1+ (1−α)x^k Dy^k+1+Lx^k+1 =−U x^k+b .

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