Feuille d’exercices – Racines carrées

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Feuille d’exercices – Racines carrées

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CALCULS et TECHNIQUES OPERATOIRES :

Définition

Exercice 1 : déterminer, si possible, la racine carrée des nombres suivants :

a) 100 b) 9 c) −36 d) (−8)^* e) 169 f) −1 g) −52 h) 𝜋

Exercice 2 : sans utiliser de calculatrice, donner la valeur des nombres suivants : a) .√250^* b) .√3^*0 c) .−√160^* d).√0,140^* e) 3(−7)^* f) 30,4^*

Simplifications de produits et de quotients

Exercice 3 : écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎√𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs (𝑏 le plus petit possible) 𝐴 = √8 𝐵 = √20 𝐶 = √49 𝐷 = √300 𝐸 = √810 𝐹 = √27

Exercice 4 : écrire sous la forme 𝑎√3 où 𝑎 est un entier.

a) √5 × √15 b) √75 c) √7 × √21 d) √108

Exercice 5 : écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎√𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs (𝑏 le plus petit possible).

𝐴 = √2 × √6 𝐵 = √3 × √6 𝐶 = √7 × 3√14 𝐷 = 7√2 × 5√70 Exercice A : Simplification de produits et de quotients.

Écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎√𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs (𝑏 le plus petit possible).

𝐸 = √12 × √30 𝐹 = √7 × √28 × √63 𝐺 = 5√26 × √2 𝐻 = ^√ABC

√*×√DC

Exercice 6 : calculer pour rendre le plus simple possible : 𝐴 = E^DF

AF 𝐵 = ^FC

*√*F 𝐶 = E^D*D

AG

Exercice 7 : sans calculatrice, transformer les expressions suivantes de façon à obtenir la racine carrée d’une fraction irréductible.

a) ^√D*_√G b) ^√DAH_√HF c) _I√*C^B√F d) E^*B

A*×^√IC

√AF

Simplifications de sommes

Exercice B : Simplification de sommes.

Écrire 𝐸 = √12 + 5√27 − √3 et 𝐹 = √180 + 3√20 − 7√125

sous la forme 𝑎√𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs (𝑏 le plus petit possible).

Exercice 8 : écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎√𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs (𝑏 le plus petit possible).

𝐴 = √50 + 4√18 − 7√8 𝐵 = √20 − 8√45 + 2√5 𝐶 = √12 + √75 + 4√300 𝐷 = 5√63 − √28 + √7

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Exercice 9 : écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎 + 𝑏√𝑐, avec 𝑎, 𝑏 et 𝑐 entiers relatifs (𝑐 le plus petit possible).

𝐴 = 7 − √12 − 8 + 3√27 𝐵 = 3√50 − √49 + 2√8 𝐶 = 2√18 + √16 − 7√81 𝐷 = √2 + √8 𝐸 = 2√3 + √48 𝐹 = 3 + 2√5 − 1 − √45

Suppression du radical au dénominateur

Exercice 10 : écrire sans radical les expressions suivantes.

a) EÂ_G b) E_DM^D c) EÂG_*F d) ^*_HEÂG_MA

Exercice 11 : écrire les nombres suivants sans radical au dénominateur : 𝐴 =_I√M^* 𝐵 = ^D

√F 𝐶 =^√B_√* 𝐷 =^√*

√I 𝐸 =_*√F^H 𝐹 =_A√*^√I 𝐺 =^I√I

√B

APPLICATIONS ET EXERCICES BILAN :

Exercice 12 : encadrer les nombres suivants entre deux entiers consécutifs :

a) √7 b) √20 c) √75 d) √200

Exercice C : Techniques et méthodes autour des racines carrées.

1. Écrire 𝐴 = √12 × √30 sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers, 𝑏 le plus petit possible.

2. Écrire 𝐵 = √48 + 2√75 sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers, 𝑏 le plus petit possible.

3. Écrire 𝐶 =^√*_√I sans radical au dénominateur.

Exercice 13 : écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎 + 𝑏√3, avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs.

𝐴 = √81 + 7√3 − √27 𝐵 = √3.5 − √30.√3 + 30

Exercice 14 : écrire les expressions suivantes sans racine au dénominateur puis les simplifier.

a) _√*^D b) √3 +_√I^G c) _√*N√I^D d) _√FOD^* Exercice15 : soient 𝑎 = 2√45 et 𝑏 = √80.

1. Calculer 𝑎 + 𝑏.

On donnera le résultat sous la forme 𝑐√𝑑 avec 𝑐 et 𝑑 entiers (𝑑 le plus petit possible).

2. Calculer 𝑎𝑏.

3. Le nombre 𝑎 est-il solution de l’équation 𝑥^*− 2𝑥 − 180 = −12 ? Justifier.

Exercice 16 : montrer que 𝐷 =^F√D*_*√I est un nombre entier.

Exercice 17 : soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐴.

1. Calculer la valeur exacte de la longueur du côté [𝐵𝐶] sachant que 𝐴𝐵 = 5 cm et 𝐴𝐶 = 7 cm.

2. Calculer la valeur exacte de la longueur du côté [𝐴𝐵] sachant que 𝐴𝐶 = 6 cm et 𝐵𝐶 = 11 cm.

Indication : on fera des dessins à main levée pour visualiser les données.

Exercice 18 : 𝐸𝐷𝐹 est un triangle rectangle en 𝐹. On donne 𝐸𝐷 = 5√2 cm et 𝐷𝐹 = 3√2 cm.

1. Déterminer la valeur exacte de 𝐸𝐹. On donnera le résultat sous la forme 𝑎√2 avec 𝑎 entier positif.

2. Donner la valeur exacte du périmètre du triangle 𝐸𝐷𝐹, puis l’arrondi au millimètre.

Exercice 19 : résoudre dans ℝ les équations suivantes :

a) 𝑥^*− 16 = 0 b) 4𝑥^*+ 12 = 0 c) (𝑥^*− 3) × (−3𝑥 + 7) = 0 Exercice 20 : donner les valeurs exactes du périmètre et de l’aire du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷

1. 𝐴𝐵 = 3 et 𝐵𝐶 = √2 2. 𝐴𝐵 = 2√3 et 𝐵𝐶 = √12 3. 𝐴𝐵 = 2√5 et 𝐵𝐶 = 1 + √5

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Exercice D : Diagonale d’un carré

Montrer que dans un carré de côté 𝑐, la longueur 𝑑 de la diagonale vaut √2𝑐.

Exercice 21 :

1. Calculer la valeur de _UWVW^UV.

2. Écrire le résultat précédent sous la forme E^X_Y où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers positifs avec 𝑏 ≠ 0 (on utilisera la définition de la racine carrée).

3. Calculer 𝐴𝐵 puis 𝐴′𝐵′.

4. Comparer les deux écritures de _U^UV_\_VW et trouver un moyen de simplifier ^√I*_√H*.

Exercice 22 : 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube d’arête 4 cm.

1. Calculer la valeur exacte de 𝐺𝐷 et écrire le résultat sous la forme 𝑎√2 avec 𝑎 entier.

2. Quel est le périmètre du triangle 𝐵𝐺𝐷 ? Donner la réponse sous la forme 𝑎√2.

3. Calculer la valeur exacte de 𝐺𝐾.

4. Calculer l’aire du triangle 𝐵𝐺𝐷. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au centième.

Exercice E : Périmètre et aire d’un rectangle.

On considère la figure suivante (l’unité est le cm).

1. Écrire 5√12 − √75 sous la forme 𝑎√𝑏

où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers relatifs, et 𝑏 le plus petit possible.

2. Quelle est la nature exacte de 𝐴𝐵𝐶𝐷 ? Justifier.

3. a) Déterminer le périmètre de 𝐴𝐵𝐶𝐷 sous la forme la plus simple possible.

b) Donner l’arrondi au millimètre de cette valeur.

4. Déterminer la valeur exacte de l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Exercices supplémentaires :

Exercice 𝜶 : soient 𝑎 = √5 − √2 et 𝑏 = 5 + √2 a) Calculer 𝑎^* et 𝑏^*.

b) En déduire les valeurs de 𝑎^*+ 𝑏^* et de √𝑎^*+ 𝑏^*

Exercice 𝜷 : développer et simplifier les expressions suivantes :

𝐴 =^√*_* `√2 +_√*^Da 𝐵 = √18 `√2 −^√DB_DBa 𝐶 = √3.2 − 5√30

𝐷 = 5√2.√2 − 7√180 𝐸 = .√6 + 20√2 𝐹 = 2√12.√12 − √3 + √60

Exercice 𝜸 : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle. On sait de plus que 𝐴𝐵 = √300 − √147 et que 𝐵𝐶 =^√DFC_√* − √12.

1) Démontrer que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré.

2) Calculer l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷. On donnera le résultat sous forme simplifiée.

Exercice 𝜹 :

1) Soit 𝐸 =_√*N√DB^F + ^I

√*O√DB.

2) Écrire 𝐸 sous la forme 𝑎√𝑏 où 𝑎 est une fraction irréductible et 𝑏 un nombre entier.

Indication : il faut mettre les deux fractions au même dénominateur.

Exercice 𝜺 : l’unité choisie étant le centimètre, on considère un rectangle ayant pour longueur √75 et pour largeur √48.

1. Déterminer le périmètre exact de ce rectangle. On donnera la réponse sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers relatifs, 𝑏 étant le plus petit possible.

2. Calculer l’aire exacte du rectangle. On donnera la réponse sous la forme la plus simple possible.